Algunos elementos teóricos del enfoque ontosemiótico

La elaboración del fislet-MCH se basa en el EOS (^{Godino, Batanero y Font, 2007}), teoría desarrollada en el campo de la matemática educativa y que, recientemente, ha sido adaptada al contexto de la física escolar (^{Moreno et al., 2016}) para la interpretación de los fenómenos didácticos relacionados con la enseñanza y la comprensión de las nociones físicas.

Desde la perspectiva del EOS, dado un problema de la física escolar, se entiende por práctica la realización de una secuencia de acciones sujetas a reglas físicas y matemáticas, que llevan a la solución de la tarea propuesta (^{Moreno et al., 2016}). En esa práctica interviene un conjunto de objetos físico-matemáticos primarios: lenguaje, símbolos, expresiones algebraicas, representaciones pictóricas, entre otros; conceptos, tanto físicos como matemáticos; propiedades, que relacionan los conceptos, y pueden ser físicas y matemáticas; procedimiento, que se vincula con la serie de pasos para la resolución del problema; y argumentos, aquellas proposiciones empleadas para justificar el procedimiento de solución empleado. Desde la perspectiva del EOS, los objetos físico-matemáticos primarios pueden ser visualizados, es decir, además de ser observados, también pueden ser interpretados, manipulados (operaciones visuales) y relacionados a través de la práctica (^{Godino, Gonzato, Cajaraville & Fernández, 2012}).

Según el EOS, en la práctica se llevan a cabo ciertos procesos cognitivos, como idealización, que hace que el sujeto vaya de lo concreto a lo abstracto, por ejemplo, un cuerpo físico considerado como una partícula (el proceso de materialización puede ser entendido como proceso inverso a la idealización); generalización, que permite considerar al sistema en estudio como un sistema ideal cualquiera que puede ser resuelto con base en las leyes newtonianas; significación, se establecen relaciones semánticas entre las representaciones observables (símbolos, expresiones algebraicas, representaciones pictóricas, entre otras) y los objetos físico-matemáticos; y argumentación, mediante la cual se enuncian propiedades o proposiciones que justifican el procedimiento de solución empleado, por citar algunos.

Por otra parte, el significado en el EOS es entendido como función semiótica, a través de la correspondencia entre un antecedente (expresión) y un consecuente (significado o contenido) establecidos por un sujeto (persona o institución) de acuerdo con ciertos criterios (convenios, reglas físico-matemáticas). El rol de antecedente o consecuente puede asumirse por algún par de objetos físico-matemáticos primarios.

La representación gráfica de la práctica de resolución de un problema físico

El mapa conceptual (^{Novak, Gowin & Johansen, 1983}) es una red de conceptos ordenados jerárquicamente e interconectados mediante ligas o líneas y a través de "frases de enlace", que al ser leídas producen una proposición. En su conjunto, estas relaciones son una red de estructuras proposicionales, de manera que el significado de una proposición no solo se encuentra en la relación entre concepto y concepto, sino que depende de las relaciones que estos tienen, a su vez, con otros conceptos. La implementación del mapa conceptual en otros campos de conocimiento ha dado lugar a otros desarrollos, como el de los MCH que resultan de la "fusión" de la red jerárquica de conceptos (característica del mapa conceptual) con la representación gráfica de procesos (característica de un diagrama de flujo).

Desde la perspectiva del EOS, el MCH puede ser interpretado como una representación gráfica de la práctica de resolución de una situación física problematizada (^{Moreno, 2017}) o, de manera equivalente, como una representación gráfica de la configuración de objetos físico-matemáticos primarios, ya que considera: lenguaje, que permite representar de manera ostensiva objetos no ostensivos (conceptos a través de nombres o símbolos, propiedades mediante expresiones matemáticas, etcétera); conceptos, que se organizan jerárquicamente en el MCH; propiedades, que se expresan con rutas de lectura que conforman enunciados sobre conceptos (propiedades algebraicas o geométricas); procedimiento, representado por medio de la componente procedimental del diagrama de flujo en el mapa conceptual; y argumentos, obtenidos de las diferentes rutas de lectura que constituyen enunciados que validan o explican las proposiciones y procedimientos deductivos o de otro tipo.

El fislet-MCH desde la perspectiva del enfoque ontosemiótico

El fislet que describimos en este trabajo muestra al estudiante una animación que consta de dos partes: una presenta el MCH y la otra representa la situación física animada en la parte inferior o junto al MCH.

Desde la perspectiva del EOS, el fislet-MCH representa una organización de objetos físico-matemáticos de tipo visual. El fislet-MCH muestra simultáneamente el objeto físico-matemático tanto en el MCH como en la animación de la situación física, lo que permite establecer en forma explícita una función semiótica o relación semántica entre ambos tipos de registro de representación.

Un concepto en el MCH puede aparecer como símbolo (F→, m,a→, entre otros) o como expresión algebraica a través de iconos (^{Filloy, Puig & Rojano, 2008}), los cuales resultan de la imbricación de índices (letras) y símbolos (+, -, >, por señalar algunos). Aunque las inscripciones simbólicas no son consideradas de tipo visual, pues son signos en los que la relación entre el objeto representante y lo representado es convencional, en el fislet-MCH estas fungen como índices (y también como botones en el MCH que activan elementos de la animación) al señalar posiciones u objetos en la situación física evocada en la animación. Por otra parte, en la situación física animada, el mismo concepto puede aparecer como un tipo de representación material (representación pictórica animada) o como concepto figural mediante lenguaje visual (por ejemplo, el sistema de representación cartesiana) que incluye, a su vez, conceptos de naturaleza visual y espacial (arriba, abajo, derecha, izquierda, entre otros).

Las propiedades, que expresan las relaciones entre conceptos, se presentan por medio de proposiciones (que no son de tipo justificativo) y pueden ser leídas en algunas rutas de lectura del MCH. En este último aparecen a través de lenguaje visual de tipo icónico representadas con expresiones algebraicas (f=μN, F→=ma→) y, al igual que los conceptos, también se desempeñan como índices en el sentido de que se muestran como propiedades de los procedimientos visuales en la animación, por ejemplo, la conservación de la dirección de la acción de ciertas fuerzas a lo largo del desplazamiento de un cuerpo en la animación, o bien, el crecimiento simultáneo de dos flechas que tienen la misma dirección, pero de sentido opuesto (que representan el equilibrio mecánico de fuerzas).

De igual modo, en el fislet-MCH se tienen procedimientos u operaciones visuales que son presentados, por un lado, en el MCH mediante iconos representados por expresiones algebraicas a lo largo del proceso de tratamiento matemático (componente de diagrama de flujo en el MCH) y, por otro, se visualizan en la animación al trasladar los cuerpos o deslizarlos a lo largo de una dirección, al transformar representaciones visuales en otras representaciones (por ejemplo, al transformar una representación pictórica en un punto) o por medio de la descomposición (por ejemplo, un vector representado como una flecha se proyecta en la dirección x e y). El procedimiento visual motiva la realización de los procesos de idealización y argumentación.

También se cuentan con argumentos o justificaciones visuales y pueden ser vistos a través de algunas rutas de lectura en el MCH que tienen que ver con la justificación del procedimiento empleado. En la animación, se trata de justificaciones visuales de las propiedades y los procedimientos, por ejemplo, el movimiento (caída o deslizamiento) de un cuerpo como resultado de cumplirse alguna condición física.

El paso de una jerarquía a otra en el fislet-MCH sugiere la realización de algunos procesos señalados por el EOS; por ejemplo, el de idealización es motivado cuando en la animación aparece un punto que representa el cuerpo en estudio, y en el MCH, la idealización es sugerida cuando se conecta el concepto "cuerpo bajo estudio" con el concepto de partícula. El proceso de generalización se advierte en el MCH al emplearse la segunda ley de Newton para representar la condición de equilibrio mecánico o de movimiento, mientras que en la animación aparece con la acción conjunta de fuerzas sobre una partícula que experimenta movimiento, o bien, reposo. El proceso de materialización se manifiesta en la representación ostensiva (observable) de los conceptos físico-matemáticos, por ejemplo, la representación de las fuerzas mediante flechas. El proceso de argumentación es sugerido a través de las diferentes rutas de lectura que se pueden seguir en el MCH.

Diseño de la investigación

La metodología de la investigación prevé dos etapas: la primera (que ahora reportamos) implicó el diseño y la prueba del fislet-MCH; posteriormente, una vez hechos los ajustes y otros desarrollos necesarios, probaremos el fislet y su impacto en el aprendizaje de los estudiantes mediante la aplicación de pretest y postest para la comparación entre grupos de control y experimental.

Elaboración del fislet-MCH

El desarrollo de los fislets-MCH se llevó a cabo en cuatro fases: selección de las situaciones físicas problematizadas a partir de un libro de texto empleado comúnmente por profesores y estudiantes; resolución de las situaciones físicas por parte de un grupo de docentes; elaboración de los MCH que representan de manera gráfica la práctica de resolución de los problemas por parte de los docentes; y elaboración de los fislets-MCH mediante Java y MATLAB. Estas etapas se describen a continuación.

a) Selección de las situaciones físicas problematizadas

Elegimos un conjunto de tres problemas de física en los que la noción de fuerza de fricción juega un rol importante para su resolución (ver figura 1 ). Estos fueron seleccionados de una serie de problemas que se proponen en un libro de texto de física empleado de manera regular en la institución donde llevamos a cabo la investigación (^{Resnick, Halliday & Krane, 1999, pp. 139-140}). Se trata de situaciones cotidianas que fueron nombradas como el problema del cono, el problema del corredor y el problema del bloque. La situación del cono y del corredor se problematizaron en relación con la optimización del volumen y la aceleración, respectivamente, mientras que la situación del bloque se problematizó en referencia a la predicción del movimiento del cuerpo a partir de ciertas condiciones iniciales.

Fuente: ^{Resnick et al. pp. 139-140}.

Figura 1 Situaciones físicas problematizadas. 

La resolución de estos problemas plantea un gran reto para los estudiantes; por ejemplo, para la resolución del problema del corredor, es fundamental el proceso de idealización (^{Moreno et al, 2016}) para pensar al corredor como una partícula situada en el punto de contacto entre la suela del zapato y el piso, y sobre la cual actúa el peso, la fuerza normal y la fuerza de reacción al empuje del corredor; sin embargo, el proceso de idealización es sugerido explícitamente a través de las representaciones gráficas y la animación que se muestran en el fislet-MCH.

b) Resolución de las situaciones físicas problematizadas

La resolución de los tres problemas descritos fue propuesto a tres profesores de física que han impartido la asignatura de Estática y dinámica en la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México. Cada profesor resolvió un problema distinto con el empleo de una pluma electrónica Smartpen (Livescribe Echo) que digitaliza audio y escritura de manera sincronizada. La figura 2 ilustra la producción oral y escrita del docente que resolvió el problema del bloque; la producción escrita del docente se presenta en color naranja, y el texto en los recuadros representa la producción oral enumerada para señalar el orden discursivo.

Figura 2 Producción de un docente en la resolución del problema del bloque. 

c) Elaboración de los MCH

El MCH se elaboró a través del proceso reportado en ^{Moreno (2017)}. Para ello, se diseña una tabla de objetos físico-matemáticos primarios para clasificar los elementos de la producción oral y escrita en alguna de las categorías señaladas por el EOS, según se trate de conceptos, propiedades, argumentos o procedimientos.

A partir de la tabla, la elaboración del MCH se inicia con el concepto de situación-problema como pregunta de enfoque. En la segunda jerarquía aparecen conceptos materiales que se refieren a los cuerpos que se encuentran en interacción. Posteriormente, en la segunda jerarquía se conectan conceptos que describen los atributos de los cuerpos interactuantes (masa, volumen densidad, entre otros), conceptos que dan cuenta del modo en que el docente modela dichos cuerpos (cuerpos considerados como partículas, movimiento en una dimensión) y cómo interactúan (la acción de las fuerzas sobre el cuerpo en estudio).

En la siguiente jerarquía aparecen las propiedades, que se enuncian mediante proposiciones representadas con rutas de lectura en el MCH en las que no se justifica el procedimiento de solución, pero sí se establece una relación físico-matemática entre conceptos; por ejemplo, una de las propiedades empleadas en los fislets es la segunda ley de Newton, la cual relaciona los conceptos de masa de un cuerpo, aceleración y distintos conceptos que se agrupan con el nombre de fuerza (fuerza de gravedad, fuerza de fricción y fuerza normal). Esta propiedad es la que desencadena el tratamiento matemático, objeto primario del procedimiento.

El procedimiento efectuado por el sujeto en la resolución del problema es incorporado en el MCH a través de la componente del diagrama de flujo, el cual muestra la aplicación de una serie de propiedades tanto físicas (leyes de newtonianas, propiedades de tipo empírico como) como matemáticas (propiedades algebraicas, sustituciones, despejes, leyes de signos, etcétera) que guían al sujeto hacia la resolución del problema.

La argumentación oral proporciona la componente justificativa del procedimiento empleado, representado mediante la trama de rutas de lectura del mapa.

d) Elaboración de los fislets-MCH

El fislet-MCH muestra la animación de la situación física problematizada que se sincroniza con el MCH elaborado. Algunos de los elementos del MCH funcionan como botones que activan determinadas partes de la animación. En general, se elaboraron tres fislets-MCH para la enseñanza de la fuerza de fricción; el problema del cono de arena se desarrolló en lenguaje Java, mientras que los otros dos, en el software MATLAB. Cabe señalar que el fislet en Java permite cambiar la velocidad de evolución de la animación, reproducir hacia adelante o hacia atrás o congelar la reproducción. El fislet en MATLAB se presenta por etapas y facilita estudiar en detalle cada etapa del proceso de resolución del problema; sin embargo, no permite regresar o adelantar la reproducción hasta que haya mostrado todos los desarrollos. Los fislets-MCH que se reportan en este trabajo pueden ser consultados en línea en formato de video (^{UASLP, 2017}).

En la elaboración del fislet-MCH para el problema del cono de arena se empleó Processing, cuyas instrucciones se basan en lenguaje Java. Recurrimos al software Processing por la facilidad de manejo de gráficos y animaciones, además de que cuenta con una herramienta para convertir los programas desarrollados (llamados sketchbook) en applets. El software MATLAB es un lenguaje de programación orientado a la investigación que cuenta con funciones avanzadas que ayudan a realizar cálculos complejos y la graficación de funciones multivariables. MATLAB no está diseñado para generar applets, de manera que, para representar a los MCH y las animaciones de las situaciones físicas, se debe efectuar mediante renderizado con ayuda de funciones matemáticas que indiquen qué y dónde dibujar con pixeles en la pantalla, lo que representa una desventaja en tiempo de desarrollo.

Pese a la desventaja en el tiempo de desarrollo del fislet-MCH en MATLAB respecto a Java, podemos destacar dos aspectos importantes de los fislets-MCH: las características del software empleado y el sustento teórico. En cuanto al primero, al ser MATLAB un software científico, ofrece la ventaja de hacer cálculos complejos de forma sencilla que podrían requerirse en el desarrollo de otros fislets-MCH, y mediante Java, al ser un lenguaje más popular para el desarrollo de apps, tiene la ventaja de ser más portable, ya que el fislet-MCH podría ser ejecutado desde una página web o un celular.

Con referencia al segundo aspecto, el sustento teórico es el que guía el desarrollo del fislet-MCH, ya que señala los objetos físico-matemáticos que participan en la práctica de resolución de la situación física problematizada, y considera una perspectiva visual de esos objetos que permite visualizar la animación de la situación y el MCH de manera conjunta.

Características de los fislets-MCH

a) El fislet-MCH del cono de arena

La figura 3 ilustra el fislet-MCH desarrollado en Java, correspondiente al problema del cono. Junto al fislet, presentamos un esquema de sus componentes principales.

Figura 3 Fislet-MCH que describe la práctica de resolución del problema del cono. 

Al ejecutarse el fislet-MCH, en la parte superior de la pantalla aparece la primera jerarquía del MCH y muestra conceptos materiales de la situación física (tierra, cono de arena, grano de arena) que fungen como símbolos/índices que señalan su componente visual en la animación que aparece en la parte inferior de la pantalla mediante la representación icónica de estos conceptos (visuales).

En la segunda jerarquía del MCH se presentan conceptos que señalan atributos geométricos del cono (volumen, área de la base y altura) y el concepto de partícula, que se refiere a la manera en que el grano de arena, es interpretado lo que sugiere al usuario la realización del proceso de idealización. Enseguida, al pulsar el concepto "tierra", se despliegan otros conceptos que indican la acción de la fuerza de gravedad y del cono sobre la "partícula", que apuntan la realización del proceso de argumentación a través de las distintas rutas de lectura. Al presionar el botón "procedimiento", surge la tercera jerarquía del MCH, que revela la descomposición de las fuerzas en componentes (operación visual) y, en la animación, estas fuerzas representadas mediante flechas de colores (proceso de materialización). En la animación también aparecen expresiones algebraicas que figuran como iconos/índices que relacionan estos objetos con la tercera jerarquía del MCH.

Posteriormente, al activar la barra de reproducción (ver figura 3) o presionar el concepto de "partícula", se sugiere el proceso de generalización y aparecen otros conceptos de la tercera jerarquía: concepto de equilibrio mecánico (funge como símbolo/índice/ícono), referido mediante la segunda ley de Newton, y expresiones matemáticas de los atributos. De modo simultáneo, el tamaño de las flechas en la animación se incrementa (operación visual) y mantiene perpendicularidad y sentido (propiedad visual). A través del proceso de tratamiento, se expresa el coeficiente de fricción en función del ángulo formado por el radio de la base y la generatriz y, por último, cuando las flechas adquieren su tamaño máximo, se presenta el volumen máximo del cono que resuelve el problema.

b) El fislet-MCH del problema del corredor

El fislet-MCH del corredor se ilustra en la figura 4. El fislet fue programado en MATLAB. En su parte superior se despliega el MCH y en la inferior, la animación. La animación muestra flechas que representan las fuerzas y una extremidad del corredor apoyada sobre el piso.

Figura 4 Fislet-MCH que describe la práctica de resolución del problema del corredor. 

En el fislet del corredor, la animación se controla desde un conjunto de botones (botones pasos 1 a 4 en la figura 4) ubicados en una barra vertical situada a la izquierda de la animación. Los elementos en la animación aparecen según si estos se encuentran en una misma jerarquía del MCH. La animación presenta en forma explícita la relación semiótica entre los conceptos del MCH y la componente visual de esos objetos en la animación. En particular, la animación destaca el procedimiento visual, que consiste en el crecimiento de las flechas que representan la fuerza de empuje del corredor y la fuerza de reacción del piso.

c) El fislet-MCH del problema del bloque

Este fislet también se desarrolló en MATLAB y cuenta con el mismo mecanismo (conjunto de botones localizados en la barra vertical izquierda del fislet-MCH) del fislet del corredor que permite describir en detalle los conceptos que aparecen en cada jerarquía del MCH. Puesto que la situación problema requiere la realización de más operaciones matemáticas, el MCH cubre tanto la parte superior como la inferior de la pantalla, y deja en el costado derecho un espacio para la animación (ver figura 5).

Figura 5 Fislet-MCH que describe la práctica de resolución del problema del bloque. 

Al ejecutar el fislet-MCH del problema del bloque, presionando el botón "Paso 1", aparecen en la primera jerarquía del MCH conceptos materiales símbolos/índices (tierra, pared, bloque y agente externo) al mismo tiempo que su componente visual mediante iconos en la animación. En la animación, el agente externo empuja el bloque (caja de color rosado) hacia la derecha contra la pared representada como una barra vertical de color gris.

El botón "Paso 2" muestra la segunda jerarquía del MCH y también sugiere la realización del proceso de idealización. Se presentan conceptos (iconos/índice) que señalan la interpretación del bloque como partícula (operación visual) y las fuerzas que actúan sobre la partícula (peso, fuerza de fricción, fuerza normal, fuerza del agente externo) representadas de forma visual en la animación mediante flechas (proceso de materialización). El botón "Paso 3" indica el tratamiento físico-matemático que se apoya en la tercera ley de Newton (propiedad que sugiere el proceso de generalización); se resuelve el inciso b) del problema. El botón "Paso 4", que resuelve el inciso a), sugiere el proceso de generalización mediante el empleo de la segunda ley de Newton. Por último, aunque no fue empleada para resolver el problema, el botón "Paso 5" determina la fuerza de fricción dinámica. Los resultados de los cálculos anteriores fungen como índices que señalan su correspondiente componente visual en la animación.

d) Implementación del fislet-MCH

Los fislets-MCH fueron puestos a prueba con un grupo de estudiantes universitarios con el objeto de indagar las opiniones de los alumnos acerca de la utilidad, ventajas y desventajas del fislet. La implementación se llevó a cabo en un taller que consistió en cinco sesiones con duración de una hora cada una y que tuvo lugar en el centro de cómputo de la facultad con el propósito de que los estudiantes pudiesen manipular el fislet-MCH de manera individual. En la primera sesión se evaluaron los conocimientos previos de los alumnos a través de cinco preguntas y la resolución de un problema (^{Resnick et al., 1999, p. 140}) relacionado con la fuerza de fricción (ver figura 6).

Figura 6 Preguntas y problema para evaluar el conocimiento previo de los alumnos. 

En las tres sesiones posteriores se abordó cada situación física problematizada mediante el apoyo del fislet-MCH correspondiente y una secuencia de actividades que consistían en resolver el problema de manera individual con lápiz y papel, discutir en parejas la solución del problema, ejecutar el fislet-MCH y analizar el proceso de solución, verificar si la solución que se obtuvo coincidía con la del fislet-MCH y la discusión entre los estudiantes y el investigador sobre los hallazgos. En la quinta sesión se aplicó de nuevo la prueba de la primera sesión y se indagó de modo grupai las opiniones de los estudiantes acerca del trabajo con los fislets-MCH.

Preguntas:

1. ¿Qué es la fuerza de fricción?

2. ¿Qué es el coeficiente de fricción estática μ _s ?

3. ¿Qué es el coeficiente de fricción estática μ _K ?

Problema. Un bloque de 7.96 kg descansa sobre un plano inclinado a 22^o respecto a la horizontal, como se muestra en la figura de abajo. El coeficiente de fricción estática es de 0.25, mientras que el coeficiente de fricción cinética es de 0.15. i) ¿Cuál es la fuerza mínima F, paralela al plano, que impedirá que el bloque se deslice por el plano hacia abajo? ¡i) ¿Cuál es la fuerza F necesaria para mover el bloque hacia arriba a velocidad constante?

Al taller asistieron de manera voluntaria ocho estudiantes de entre 18 y 20 años de edad de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México. Los estudiantes cursaban la asignatura de Estática y dinámica (principios de la mecánica newtoniana y la noción de fuerza de fricción).