Enseñanza

Solving the time–dependent Schrödinger equation using finite difference methods

R. Becerrilª, F.S. Guzmánª, A. Rendón–Romero^b, and S. Valdez–Alvaradoª

ª Instituto de Física y Matemáticas, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Edificio C–3, Cd. Universitaria, 58040 Morelia, Michoacán, México.

^b Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Edificio B, Cd. Universitaria, 58040 Morelia, Michoacán, México.

Recibido el 9 de agosto de 2007
Aceptado el 21 de febrero de 2008

Abstract

We solve the time–dependent Schrödinger equation in one and two dimensions using the finite difference approximation. The evolution is carried out using the method of lines. The illustrative cases include: the particle in a box and the harmonic oscillator in one and two dimensions. As non–standard examples we evolve two solitons and show the time–dependent solitonic behavior in one dimension and the stabilization of an atomic gas model in two dimensions. The codes used to generate the results in this manuscript are freely available under request, and we expect this material could help students to have a better grasp of the solution of partial differential equations related to dynamical systems.

Keywords: Finite difference methods; computational techniques; Schroedinger equation.

Resumen

Resolvemos la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una y dos dimensiones usando diferencias finitas. La evolución se lleva a cabo usando el método de líneas. Los casos ilustrativos incluyen: la partícula en una caja y en un potencial de oscilador armónico en una y dos dimensiones. Como ejemplos poco comunes presentamos la evolución de dos solitones y mostramos la dependencia temporal del comportamiento solitónico en una dimensión y la estabilización de un modelo de gas atómico en dos dimensiones. Los códigos usados para generar los resultados en este manuscrito se encuentran disponibles a la menor petición, y esperamos que este hecho ayude a los estudiantes a adquirir un mejor entendimiento de la solución de ecuaciones diferenciales parciales relacionadas con sistemas dinámicos.

Descriptores: Método de diferencias finitas; técnicas computacionales; ecuación de Schröedinger.

PACS: 02.70.Bf; 02.70.–c

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Acknowledgments

This work is partly supported by projects CIC–UMSNH: 4.9 and 4.11, PROMEP: UMICH–PTC–121 and UMSNH–CA–22.

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