Las ecuaciones presentadas son parte del grupo de las leyes de potencia, distribuciones hiperbólicas o leyes de Pareto, cuya identidad fue establecida empíricamente en numerosos fenómenos naturales, económicos y sociales durante los últimos 150 años (Mandelbrot, 2002).

Los fractales son construcciones geométricas con propiedades específicas, cuya su complejidad se deriva de su textura no homogénea y su importante rugosidad externa (Smith et al., 1996). La lagunaridad A(r) y la dimensión de la masa fractal D_M son medidas de la primera, mientras que la dimensión de la superficie fractal D_S lo es de la última. Las principales medidas de los objetos fractales varían como una potencia fraccionaria de la escala (ley de potencia). La auto-similitud es la propiedad más estricta de los fractales isotrópicos, cuyas piezas son geométricamente similares a la forma completa (auto-similitud estadística), y cuyos momentos estadísticos (media, desviación estándar y otros) son los mismos independientemente de la escala (Mandelbrot, 1983; Turner et al., 1998). La invarianza al traslado de un fractal auto-similar se mide mediante la lagunaridad. Todos los neologismos y medidas específicas introducidas [A(r), D_M, D_S] son las herramientas más comunes de la rica caja que maneja la geometría fractal. Estas herramientas se utilizan como pruebas mucho más potentes que las medidas alternativas, y no destruyen las tendencias empíricas observadas(Mandelbrot, 2002).

Auto-afinidad es otro concepto fractal básico que es especialmente útil cuando se analizan superficies rugosas, trazas o perfiles. Para los objetos auto-afines, las diferentes direcciones geométricas se escalan de distinto modo para preservar la forma o los momentos estadísticos (Carr, 1997).

La principal ventaja del enfoque fractal aplicado al análisis de los sistemas naturales es la posibilidad de extrapolar las propiedades del objeto, conocidas a una escala dada, o cualquier otra si su forma o las medidas de su complejidad son auto-similares o auto-afínes.

Análisis fractal de los conglomerados

El diseño de TRISA se deriva de la suposición básica que parte de la idea que el modelo de Sierpinski (el fractal auto-similar más conocido), es útil para realizar un análisis objetivo de los conglomerados que forman los grupos co-existentes de variables en diferentes niveles jerárquicos de cualquier subsistema ABC ternario ubicado dentro del triángulo-madre. Para superar la incompatibilidad de variables de naturaleza drásticamente opuesta (ecológica, económica y social), que en términos generales representan los vectores (o tensores) multi-componentes, transformamos todas las variables de interés a variables escalares adimensionales, que llamaremos p_econ, p_soc, p_ecol, normalizándolas en el intervalo [0,1]. Posteriormente, comprobaremos que la suma de las variables transformadas es igual a 1, ya que, en caso contrario, no se puede utilizar el sistema ternario de clasificación. El algoritmo puede ser aplicado en comparaciones de diversos tipos: entre países, zonas agrícolas del mismo país, etc. Un ejemplo del análisis a realizar podría ser la comparación entre la labranza tradicional, la de conservación (o mínima), y la labranza

Descripción del algoritmo

El algoritmo fue presentado por primera vez en el décimo séptimo Congreso Mundial de la Ciencia del Suelo (Oleschko et al., 2002). Por considerar relevante esta información, se describe en detalle los ocho pasos básicos del algoritmo que resulta en la construcción completa de TRISA.

Paso 1

Se selecciona un número N_econ (entre 15 y 20) de patrones económicos, derivados de un manejo específico del agroecosistema (se puede seleccionar cualquier variable que caracterice este sistema desde el punto de vista de su sustentabilidad económica), donde la magnitud del indicador económico pertenece a las clases ECON₁, ECON₂, ... , ECON_Necon. Si el patrón económico se caracteriza por un vector m_econ-dimensional, cuyo iésimo componente se ubica dentro del intervalo [min_econ,i, max_econ,i], entonces cada una de las clases tiene que ser un dominio convexo del espacio euclidiano m_econ- dimensional, por lo que

y para

Las clases ECON₁, ECON₂, ... , ECON_Necon pueden arreglarse en orden creciente de importancia, de tal manera que, según algún criterio económico, ECON_i es más importante que ECON_i-1.

De manera similar, se seleccionan las variables sociales, y se dividen en un número N_soc de 15 a 20 posibles clases SOC₁, SOC₂, ... , SOC_Nsoc, en orden creciente de importancia.

Los parámetros ecológicos se clasifican de modo similar en N_ecol (15 a 20) grupos ECOL₁, ECOL₂, ... ,ECOL_Necol

En el caso de trabajar con las variables escalares, si se tienen los datos de N países; E_max y E_min son los valores máximo y mínimo del parámetro E seleccionado para el análisis, y N_econ es el número de clases, el número j (j=1,2, ...,N_econ) de la clase con el valor E del iésimo país, que pertenece al (i=1,2, ...N), se define como:

donde E_i es el valor del parámetro seleccionado correspondiente al iésimo país. En este caso E puede ser cualquier variable escalar ECON, SOC o ECOL.

Paso 2

Se seleccionan los datos estadísticos conocidos (o tomado de la literatura) referentes a N países (u otras unidades de organización consideradas de interés para la investigación como áreas agrícolas, unidades de producción, etc.), y un año de interés. Con estos datos se construyen histogramas empíricos de la distribución de las variables ECON, SOC, ECOL entre las clases definidas en el Paso 1. Es importante, en esta etapa, seleccionar variables representativas de los diferentes sistemas económicos y sociales, así como condiciones geográficas contrastantes.

Paso 3

Se busca una función de bienestar (W), objetiva y significante, que permita caracterizar el grado de desarrollo de un país, por ejemplo: Producto Agrícola Bru-to/ Área cultivada. Si suponemos que la función de bienestar del iésimo país es W_i (i_¡=1,2.....N), y el país i pertenece a la clase económica ECONj, social SOC_k, ecológica ECOL_l, entonces:

Paso 4

La función W se ajusta a un modelo lineal

donde los coeficientesl λ , μ, ν se definen como óptimos en el sentido de mínimos cuadrados:

Paso 5

Los histogramas que se construyen en el Paso 2 definen tres distribuciones de probabilidades. Para el caso de la economía, por ejemplo, ya que hay N países y N_econ clases económicas, si hay N₁^(econ),N₂^(econ),... países en las clases ECON₁, ECON₂,..., tales que entonces:

y se llega a una distribución de probabilidades completa.

De manera similar se definen las distribuciones de probabilidades completas para las clases sociales y ecológicas

y

El conjunto de las probabilidades Ρ_j^(econ) • Ρ_k^(soc) • Ρ₁^(ecol) refleja el hecho de que un país dado entra a la clase económica (i), social (k) y ecológica (l), formando también una distribución completa

 Paso 6

Regresando al concepto de entropía de Shannon de la distribución de probabilidades (Rényi, 1987), supongamos que f(p) es una medida de la información obtenida vía observación directa de que el evento A ocurre con una probabilidad p. Si B es otro evento, independiente de A, que ocurre con probabilidad q, la probabilidad de la ocurrencia simultánea de A y B será pq y la información obtenida es f(p+q). Entonces, para eventos independientes

Según la ecuación de la función de Cauchy (Aczel, 1966), la única solución continua no trivial de la Ec. (7)

donde c es una constante positiva y ln es el logaritmo natural. El valor esperado de la información, obtenido mediante la observación de un resultado aleatorio de un conjunto de eventos independientes

Con c=1 se llega a la entropía de Shannon, es decir:

Paso 7

La entropía total de Shannon para la distribución completa de probabilidades {Ρ_j^(econ) •Ρ_k^(soc) •Ρ₁^(ecol)}_j,k,l es

Si se observa un evento (país) A={ECON_j, SOC_t, ECOL₁}, éste contribuye con una entropía parcial

a la entropía total H_tot. Los pesos relativos de la información aportada por las variables económicas, sociales y ecológicas H_jkl son:

y, de modo similar,

Estos tres pesos relativos de información son adimensionales, fluctúan entre 0 y 1 y su suma es igual a 1:

Estas tres variables se utilizarán como coordenadas a lo largo de los lados del triángulo equilátero ECON-SOC-ECOL, y ocupan el lugar de las variables no comparables ECON, SOC y ECOL. Se construirá un mapa de elevación de cualquier función F(ECON,SOC,ECOL) de las variables originales dentro del triángulo:

Paso 8

Ahora es posible construir diagramas ternarios de la dinámica relativa de entropía, de la función de bienestar o de cualquier función F(ECON, SOC, ECOL). N_econson las posibles clases económicas, N_soc las sociales y N_ecol las ecológicas, resultando en total valores de la función a graficar dentro del diagrama ternario N_econN_soc N_ecol. La combinación de las variables {ECON ∈ ECON_j; SOC ∈ SOC_K; ECOL ∈ ECOL ₁} corresponderá a las coordenadas ternarias a lo largo de los lados del triágulo, donde tienen computacinalmente a partir de las ecuaciones 4 a 6, 12 a 14.

En la gráfica ternaria de la entropía se grafica la entropía relativa del evento A={ECON_J, SOC_K, ECOL} con respecto a la entropía total:

donde H_total es dada por la ecuación 10.

En la gráfica ternaria de la función de bienestar, si para el iésimo país los parámetros son {ECON_i, SOC_t,ECOL₁}, en el punto del triángulo se grafica el valor suavizado del W_i original

(ver Ecs. 4 a 6), lo que permitirá minimizar las fluctuaciones aleatorias.

Un ejemplo de la construcción de TRISA

En la Figura 1 se presenta la gráfica de las entropías relativas y funciones de bienestar construidas mediante el algoritmo diseñado a partir de los datos seleccionados de la bibliografía (su naturaleza no tiene ninguna importancia en la discusión). En la Figura 2 se muestra el resultado de la construcción jerárquica de TRISA compuesta por los cinco niveles de la triangulización (resultado de cinco iteraciones del algoritmo diseñado). Se tiene una jerarquía perfecta, donde cada variable depende exactamente de tres parámetros. Para simplificar el ejemplo, en cada iteración se utilizó el mismo banco de datos que fue llenando primero el triángulo-madre (iniciador de la construcción fractal), y posteriormente todos los otros triángulos más pequeños, de manera totalmente independiente. Se consideró en cada caso sólo el área del triángulo correspondiente al número de la iteración aplicada como disponible, resultando el área restante un vacío impermeable. En un caso real, las variables pueden depender de un número infinito de parámetros, lo que a su vez requerirá de un número infinito de iteraciones. El proceso de construcción se inicia en el nivel 0 partiendo del iniciador, que en el caso de TRISA es un triángulo madre. El estado del sistema a este nivel se describe vía tres variables ECOL₀, ECON₀ y SOC₀, cuya naturaleza tiene que ser general e integradora. Por ejemplo, las tres bases de la agricultura sostenible son la sustentabilidad económica, ecológica y social. Para cada una de ellas se selecciona un sólo indicador, lo más general posible, y se construye poco a poco la jerarquía completa de las variables involucradas en cada una de las sustentabilidades mencionadas.

Como resultado de la primera iteración, el triángulo-madre se divide en cuatro partes auto-similares, copias exactas de éste. Sin embargo, sólo tres de estas partes serán aptas para ubicar los nuevos puntos que se introducirán en la siguiente iteración. Cada etapa de la construcción representa un paso de lo general a lo local (específico), un acercamiento al sistema y, por tanto, el cambio de la resolución del análisis. En tanto es mayor el número de iteraciones del algoritmo, más cercana es la vista del sistema, más precisa su imagen, pero más lejano de lo general es el análisis.

El TRISA hereda un sentido físico riguroso del modelo fractal utilizado (el triángulo de Sierpinski). Con cada división del triángulo-madre (i.e. con cada iteración del algoritmo), se incrementa la densidad de la información necesaria para caracterizar el sistema, y disminuye la variabilidad en el espacio de su patrón estructural y la dinámica de sus propiedades.

Es de esperar que la variabilidad máxima en el espacio la tenga el sistema dentro del triángulo-madre, que sean más generales las variables que lo caracterizan y más integral y voluminosa, la información necesaria para identificar el sistema. Todo lo contrario se puede decir acerca de los triángulos de las etapas avanzadas de división: las variables utilizadas para la descripción del sistema serán específicas, estables y menos variables.

El ápice izquierdo de TRISA acumula las variables económicas que forman conglomerados con diferentes rasgos. El ápice derecho corresponde a los parámetros sociales y el ápice superior abarca los datos ecológicos. Entonces, en el primer nivel de la construcción, ECOL₀, por ejemplo, depende de tres variables ecológicas seleccionadas por el investigador: ECOL_1-1, ECOL_1-2, ECOL_1-3. y su información mutua se despliega dentro del primer triángulo ecológico, producto de la primera iteración del algoritmo generador de las estructuras jerárquicas. El investigador puede definir cuántos niveles de jerarquía le interesan. Cuando la construcción está terminada se llega al mapa de los puntos experimentales que forman conglomerados específicos en función del equilibrio entre los parámetros evaluados (Fig.1). Al tocar cualquier punto de este mapa con el ratón de la computadora, se despliega en la pantalla la información completa sobre el número de la iteración responsable del mapeo de este punto específico, sus coordenadas y, por tanto, los valores de las tres entropías relativas que lo definen (Fig. 3). Si se desea construir mapas de los contornos de elevación que unirán los puntos con la misma magnitud de entropía, es fácil hacerlo directamente dentro del triángulo correspondiente.

Conclusiones

Se han desarrollado las primeras bases matemáticas y de simulación computacional necesarias para introducir en las ciencias agrícolas una nueva disciplina virtual: la Agroecometría. Su desafío es unir la información recopilada de las áreas ecológica, económica y social dentro de los mismos esquemas, utilizando variables conmensurables entre sí. Consideramos que la construcción de los espacios métricos efectivos dentro del espacio cibernético general permitirá, en un futuro cercano, crear un lenguaje común para los científicos de diferentes áreas de las ciencias agrícolas, los productores y los gobernantes.

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