Introducción

Los materiales compuestos se conforman por la unión de dos o más materiales, quedando separados éstos por regiones o dominios. Estos materiales son utilizados por el hombre desde la antigüedad en la construcción de sus viviendas. En la actualidad se emplean para cubrir un sinnúmero de aplicaciones, desde elementos estructurales y arquitectónicos en construcción, hasta las aplicaciones más avanzadas en la industria aeroespacial, automotriz y electrónica (^{Mieres, 2003}).

Entre los métodos de homogeneización, uno de los más empleados es el de homogeneización asintótica. Entre los trabajos más destacados en este tema se encuentra el de J Bravo-Castillero, en el que se encuentran los coeficientes efectivos de un compuesto multilaminado termo-magneto-electro-elástico (^{Bravo-Castillero et al., 2009}). En laminados, destaca asimismo, el de J Hernández Cabanas, donde se estudia la influencia de la dirección de polarización en un laminado magneto-electro-elástico (Cabanas et al., 2010). Además, entre los trabajos en compuestos fibrosos se encuentra el de J Bravo-Castillero, en el que se estudian los compuestos periódicos de distribución cuadrada y hexagonal (^{Bravo-Castillero et al., 2012}). Se tiene en fibras, también el de R Rodríguez-Ramos, en el que se estudian celdas con forma de paralelogramo tanto de manera analítica como numérica con el uso de elementos finitos con comparaciones de ambos métodos con resultados teóricos (^{Rodríguez-Ramos et al., 2010}). En la obtención de coeficientes efectivos por el método de homogeneización asintótica destaca asimismo el trabajo de AV Georgiades, KS Challagulla y AL Kalamkarov. En éste se presenta la homogeneización de un material inteligente que es una lámina compuesta por una rejilla de fibras ortotrópicas inmersa en una matriz. Este trabajo se divide en dos partes, la primera es un estudio teórico (^{Challagulla et al., 2010}) y en la segunda se presentan algunas aplicaciones de este material (^{Georgiades et al., 2010}). Por otra parte, DA Hadjiloizi, AV Georgiades y AL Kalamkarov, desarrollan un modelo de homogeneización asintótica a múltiple escala para compuestos termo-magneto-electro-elásticos (^{Hadjiloizi et al., 2012}). En 2013, JA Otero, presenta un método semi-analítico de homogeneización para la obtención de coeficientes efectivos elásticos en un compuesto con contacto imperfecto (^{Otero et al., 2013}). MRE ^{Nasution y otros, en 2014}, presentan un nuevo modelo de homogeneización asintótica, para trabajar propiedades termodinámicas en compuestos 3D con espesor finito, donde toman en cuenta las bondades de la homogeneización 2D (Nasution et al., 2014).

En otro orden de importancia, relacionado con el método de homogeneización asintótica, el trabajo de U Gabbert, se vincula el método de elementos finitos con la homogeneización para la resolución del problema inverso de buscar la distribución a microescala que optimice, a nivel de macroescala, las propiedades deseadas para una aplicación (^{Gabbert et al., 2010}). Aunque el trabajo que más destaca es el de AL Kalamkarov, IV Andrianov y VV Danishevs'kyy, donde se hace una revisión del estado del arte en los métodos de homogeneización, así como un estudio de cuales son más convenientes utilizar en dependencia del caso de estudio, además de la presentación de nuevas aproximaciones (^{Kalamkarov et al., 2009}).

El presente trabajo presenta el método semianalítico de homogeneización asintótica para compuestos tridimensionales. Éste se basa en el empleo del método de homogenización asintótica con resolución numérica de los problemas locales mediante el método de elementos finitos. Se calculan los coeficientes efectivos de un compuesto de inclusiones elipsoidales de aluminio embebidas periódicamente en distribución ortoédrica en una matriz de carburo de silicio. Al ser los elementos constituyentes materiales isotrópicos y la geometría del compuesto tener una dirección diferenciada, es de esperar que el compuesto resultante pierda esta propiedad. Se presentan algunos de los resultados numéricos obtenidos, que muestran la variación de sus coeficientes efectivos al variar la fracción volumétrica de las inclusiones para distintas razones de aspecto de los elipsoides, además de mostrar que el compuesto pierde la isotropía.

Modelación del problema en compuestos 3D

Se considera un medio heterogéneo que ocupa un volumen con fronteras y consistente en un material de dos fases, donde las inclusiones elipsoidales y la matriz son materiales isotrópicos. Las inclusiones elipsoidales tienen una distribución periódica a lo largo de los ejes , y , como se puede apreciar en la sección del compuesto que se muestra en la Figura 1(a). Dichas inclusiones son elipsoides de revolución sobre un eje paralelo al eje por lo que presentan dos ejes de igual longitud y otro menor que estos en el eje de longitud tal y como muestra la Figura 1(b). La razón de aspecto de estos elipsoides se calcula por la relación entre el eje menor y el eje mayor .

Figura 1 Sección de la distribución periódica del compuesto y celda unitaria 

Las ecuaciones que gobiernan el problema elástico heterogéneo son

donde y , , son las componentes del tensor de esfuerzos, del vector desplazamiento y del vector unitario normal a , respectivamente. Las ecuaciones constitutivas y las componentes del vector deformación están dadas por

Los coeficientes de elasticidad () son funciones periódicas. La celda periódica se toma como un ortoedro tal que con , donde el dominio está ocupado por la matriz y su complemento es la inclusión elipsoidal de revolución sobre el eje y centro en el origen . La interfase de contacto entre el elipsoide y la matriz es denotada por Los valores asociados a la matriz y la inclusión serán señalados mediante superíndices en paréntesis (2) y (1) respectivamente. Asumiendo contacto ideal entre las fases, se puede expresar dicha condición mediante

Método

Método de Homogeneización Asintótica

El método de homogeneización asintótica a doble escala se basa en el empleo de dos variables, una global o lenta sobre el compuesto y otra local o rápida sobre la celda. La relación entre éstas es , donde es un parámetro lo suficientemente pequeño que expresa la relación entre las dimensiones de la celda periódica y las dimensiones características del compuesto. La otra característica de este método es plantear un desarrollo asintótico de la variable involucrada en el problema para a partir de éste, y utilizando la periodicidad del problema, obtener las soluciones mediante integración. Es posible encontrar expresiones homogeneizadas de las ecuaciones involucradas en el problema a resolver.

Se plantea el desarrollo asintótico de la componente del vector desplazamiento de la siguiente forma

donde . Sustituyendo (6) en (3) y (4) se obtienen

donde

Usando entonces (6) y (7) en (1), y reagrupando términos según el exponente de , se tiene para y respectivamente

Sustituyendo (9) en (13) se tiene

donde la función puede ser expresada mediante

siendo las componentes Y-periódicas de los seudo-desplazamientos locales.

Los problemas locales en la celda periódica pueden obtenerse mediante la sustitución de (16) en (15). Obteniendo de esta forma

donde las componentes del tensor de los esfuerzos locales están dadas por

Sustituyendo (16) en las ecuaciones (9) y (11) se obtienen

Se define el operador promedio sobre la celda como

donde es el volumen de la celda. Promediando la expresión (10) y utilizando la periodicidad de , el problema estático homogéneo es obtenido en la forma

siendo entonces las ecuaciones constitutivas del problema homogéneo

son los coeficientes elásticos efectivos. Aplicando el operador promedio en la expresión (20) y usando la periodicidad de, el tensor de deformaciones homogéneo es

Asimismo las condiciones de contorno dadas en (2) son transformadas en

El problema de la obtención de los coeficientes efectivos radica en la obtención de soluciones periódicas en , de seis problemas locales , en términos de la variable local , donde . Cada problema se desacopla en un conjunto independiente de ecuaciones. En la Tabla 1 se muestra la correspondencia entre los coeficientes efectivos y los problemas locales.

Tabla 1 Coeficientes efectivos relacionados a cada problema local 

Los problemas locales se pueden plantear de la siguiente forma:

-Problemas , con y

-Problemas , con

-Problema

En el presente problema, la celda unitaria presenta las simetrías propias del grupo puntual , según la teoría de grupos (^{Landau et al., 1977}), por lo que presenta simetría respecto a los planos coordenados. Además, los coeficientes elásticos son funciones pares respecto a , y , por lo que satisfacen las condiciones

donde , siendo la semi-longitud de la celda en la dirección y

Utilizando las condiciones (30) y (31) los problemas locales sobre la celda unitaria pueden ser transformados en problemas de contorno sobre de la celda periódica (^{Bakhvalov et al., 1989}), esta sección de la celda se presenta en la Figura 2. Se pasan ahora los problemas locales a la nueva variable según

donde . La ecuación (18) puede ser escrita como

Para esto se ha denotado

y las ecuaciones (17) y (24) se transforman en

Figura 2 Sobre la octava parte de la celda los problemas locales pueden convertirse en problemas de contorno. 

Finalmente, los problemas locales pueden ser escritos en esta forma, utilizando la notación abreviada para los coeficientes elásticos . Se tiene que el problema local sobre 1/8 de la celda se expresa por

Donde

siendo y .

Las condiciones de contorno se expresan, con , de las siguientes maneras:

-Problema

-Problema

-Problema

-Problema

-Problema

-Problema

Los coeficientes efectivos se pueden calcular mediante (37), quedando de la forma:

-Problema

-Problema

-Problema

-Problema

-Problema

-Problema

Resolución de los problemas locales por el método de elementos finitos

En muchas ocasiones, la solución exacta de los problemas locales del método de homogeneización es imposible de obtener mediante métodos analíticos. Solamente para geometrías muy específicas de las inclusiones es posible obtener las soluciones analíticas. Una solución alternativa es el empleo de métodos numéricos aproximados como el método de las diferencias finitas y el método de elementos finitos. Por esta razón se utiliza el método de elementos finitos a partir del principio de mínima energía potencial. La energía potencial para un sólido elástico puede ser expresada mediante

En esta expresión se encuentran relacionadas la energía de deformación por unidad de volumen del cuerpo, la energía potencial asociada a las fuerzas sobre el cuerpo , a las fuerzas de tracción y a las cargas puntuales respectivamente. En el caso presente se tiene que .

Las relaciones (38 - 42) pueden expresarse en forma matricial como

Donde

)

La región de estudio que sería en este caso de la celda unitaria es dividida en un número finito de elementos tetraédricos. Cada uno de estos elementos se define mediante 4 nodos ubicados en sus vértices. Los seudo-desplazamientos, para cada punto del elemento, pueden expresarse en función de los valores de éstos en los nodos, a través de las funciones de interpolación, como

Donde

siendo es la i -ésima componente del seudo-desplazamiento en el j-ésimo nodo y las funciones son las funciones de interpolación del elemento dadas en coordenadas naturales

La relación entre las deformaciones y los seudo-desplazamiento (64) puede ser escrita de la forma

donde son los coeficientes de la matriz inversa del Jacobiano de la transformación

Utilizando las relaciones (66) y (70) las deformaciones se pueden escribir en forma matricial como sigue

donde es la matriz de la relación entre las deformaciones y los seudo-desplazamientos del elemento

Al ser las funciones de interpolación tan sencillas y sus derivadas son 1 o -1, al desarrollar se obtiene una matriz que toma valores 1, 0 o -1, por lo que la matriz B quedaría explícitamente como

donde , para .

Ahora es necesario calcular las tensiones para cada uno de los elementos. Usando las relaciones (64) y (72) se obtiene

La energía de deformación asociada a un elemento e se obtiene

Sustituyendo (64) y (63) en (76) se obtiene la energía de deformación en la forma

)

donde es la matriz de rigidez del elemento

Tomando en consideración la contribución de todos los elementos a la energía potencial de deformación del sistema se obtiene

donde es la matriz de rigidez global y Q es el vector seudo-desplazamiento global.

La sustitución de los correspondientes, (66) y (70) en (49-50) se obtiene la contribución del elemento e en el coeficiente efectivo del material como

siendo en cada caso:

-Problemas

-Problema

-Problema

-Problema

Tomando en consideración las aportaciones de cada elemento al coeficiente efectivo, éste queda de la forma

Resultados

Para la obtención de los resultados se utilizan las propiedades de los constituyentes obtenidas por ^{Sabina y otros colaboradores en 1993}, mostradas en la Tabla 2 (Sabina et al., 1993). En el caso del cálculo mediante el uso del método de elementos finitos, se hace una discretización del espacio en elementos tetraédricos definidos por 4 nodos ubicados en los vértices de los elementos. En la Figura 3 se muestra un ejemplo de esta discretización.

Tabla 2 Propiedades de los materiales constituyentes. 

Figura 3 Ejemplo de mayados para 1/8 de la celda 

Se realizaron cálculos para diferentes valores de la fracción volumétrica en varias razones de aspecto de las inclusiones de aluminio y se comprobó que los resultados obtenidos en los compuestos perdían la propiedad isotrópica de los materiales constituyentes. Los resultados obtenidos muestran en todos los casos que los compuestos presentan isotropía solo en las direcciones de los ejes y , siendo posible apreciarlo en los valores que se muestran a modo de ejemplo en la Tabla 3. En ésta se comprueba que los coeficientes , y se diferencian de los coeficientes a los que son iguales en el caso de los materiales isotrópicos, mientras que el resto de las igualdades se mantiene, con lo cual se puede verificar dicha pérdida de isotropía, principalmente con la diferenciación de y con .

Tabla 3 Valores de los coeficientes efectivos para algunos de los cálculos realizados. 

La variación de los coeficientes efectivos, y la pérdida de la propiedad de isotropía se pueden apreciar al comparar las gráficas de los valores de los coeficientes que son iguales en un material isotrópico. En las Figuras 4 y ⁵ pueden verse estas gráficas para la comparación de los coeficientes -, - y - en las subFiguras (a), (b) y (c) respectivamente en cada una. Se aprecia que los coeficientes , y se hacen menores al perder la isotropía por ser el eje menor del elipsoide de revolución coincidente con la dirección del eje . La variación de los coeficientes que provoca la pérdida de la isotropía de los constituyentes en el compuesto, es mediante la diferenciación de los coeficientes que involucran la dirección diferenciada, en este caso justamente los tres coeficientes mencionados más los que por la simetría del compuesto son iguales a éstos como el , y los simétricos a ellos.

Figura 4 Variación de los coeficientes efectivos dependiendo de la fracción volumétrica para una razón de aspecto de  

Figura 5 Variación de los coeficientes efectivos dependiendo de la fracción volumétrica para una razón de aspecto de  

En la Figura 6 se muestran los gráficos de los coeficientes efectivos obtenidos en función de la variación de la fracción volumétrica. En cada subFigura se graficaron estos valores para cada una de las razones de aspecto trabajadas en curvas diferentes para su comparación. Es apreciable, salvo en el caso del coeficiente , que los valores de éstos varían al variar la razón de aspecto a pesar de que no haya una coincidencia en las fracciones volumétricas utilizadas para el cálculo en cada curva. De esta forma es posible ver que al aumentar la deformación de los elipsoides, los coeficientes y aumenten también, Figuras 6(a) y 6(f), mientras que , y disminuyen su valor, Figuras 6(c), 6(d) y 6(e). Esto enfatiza aún más la diferencia descrita anteriormente en la Tabla 2 y las Figuras 4 y 5, donde se mostraba que los coeficientes que involucran la dirección diferenciada disminuían con respecto a los otros, que como muestran los gráficos, tienden a aumentar marcando aún más esta diferencia.

Figura 6 Variación de los coeficientes efectivos dependiendo de la fracción volumétrica de carburo de silicio variando la razón de aspecto de la inclusión de aluminio. 

Conclusiones

En el presente trabajo queda mostrado explícitamente el método semianalítico de homogeneización asintótica, desde su formulación hasta el desarrollo de su solución. Se muestra que, si los componentes son materiales isotrópicos y la geometría del compuesto presenta una dirección diferencial manteniendo las otras dos iguales entre sí, el compuesto resultante pasará de tener un comportamiento isotrópico a tener solamente isotropía en las direcciones de los ejes y . Además, se muestra cómo van variando los coeficientes efectivos del compuesto de inclusiones elipsoidales periódicas al variar la fracción volumétrica y la razón de aspecto de las inclusiones. Se aprecia cómo se diferencian los coeficientes efectivos provocando la pérdida de la propiedad de isotropía y cómo disminuyen o aumentan al variar la razón de aspecto, según se relacionen con la dirección diferenciada o no.