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Introducción
Para lograr resultados más eficientes en el diseño de experimentos, Casler (2015) mencionó que se deben analizar las repeticiones, la aleatorización, la definición de bloques y las unidades experimentales; señaló, además, que el tamaño de la parcela experimental es el aspecto menos entendido y el que posee la menor cantidad de resultados teóricos y empíricos. De acuerdo con Sripathi et al. (2017), el tamaño de la parcela experimental es una de las principales causas de la alta variación residual en los experimentos de campo, que afecta la eficiencia estadística de la parcela usada como unidad experimental.
De acuerdo con Smith (1938), existe una relación asintótica negativa entre la varianza por unidad y el tamaño de la parcela. Para la caña de azúcar se han realizado investigaciones en Guatemala, como los trabajos de Palencia (1965); Álvarez (1982), en Brasil, el de Igue et al. (1991) y en la India Mahalanobis et al. (1939). Sin embargo, la validez de estas investigaciones es de carácter local.
Barrantes-Aguilar et al. (2020) estimaron el tamaño óptimo de la parcela experimental con caña de azúcar en la Región Brunca de Costa Rica con modelos de regresión segmentada, pero hizo falta aplicar otros métodos para comparar sus resultados y seleccionar el mejor. La presente investigación se centró en determinar el tamaño óptimo de la parcela experimental en el cultivo de caña de azúcar en la región Brunca de Costa Rica, mediante la comparación de cinco métodos para determinar el más eficiente estadísticamente y que mejor se adapta a las condiciones del cultivo y de la región donde se efectuó el estudio.
Materiales y métodos
La definición del tamaño de la unidad experimental debe tener el objetivo de minimizar el error experimental. Con el fin de calcular el tamaño óptimo, se han usado con mayor frecuencia ensayos de uniformidad, en los cuales se siembra una única parcela de una misma variedad, tratada de forma uniforme en cuanto a prácticas y manejo del cultivo, el único factor que varía es el suelo y la heterogeneidad de este es uno de los factores que más inciden en el error experimental y en la eficiencia (Sripathi et al., 2017).
El ensayo de uniformidad se divide en unidades experimentales básicas (UEB), que posteriormente se agrupan en distintos tamaños y formas. Smith (1938) demostró que existe una relación asintótica negativa entre la variación y tamaño de la parcela, la cual expresó como: Vx=V1/xb 1) Donde: Vx = corresponde a la varianza del rendimiento o cualquier otra variable de interés por unidad de área entre parcelas de tamaño x, V1= es la varianza entre parcelas de una unidad básica; x= el número de UEB que componen la parcela; y b es el índice de heterogeneidad del suelo, donde: 0< b < 1.
Con este coeficiente y una relación de costos, Smith (1938) se propuso encontrar el tamaño óptimo de parcela como aquella superficie con la que se obtiene la mayor cantidad de información por unidad de costo; es decir, x0=bC1/((1-b)C2) 2). Donde:C1= es la parte del costo total que es proporcional al número de parcelas por tratamiento; yC2 = la parte del costo total que es proporcional al área total por tratamiento. Algunos métodos han sido propuestos a partir del trabajo de Smith (1938). Los cinco métodos que se sometieron a evaluación en esta investigación son explicados a continuación.
Método de curvatura máxima (MCM)
Lessman y Atkins (1963) explican la relación entre los coeficientes de variación (CVx) y el tamaño de la parcela con la siguiente expresión: CVx= a/xb 3). Donde: a y b se obtienen mediante el método de mínimos cuadrados de Gauss-Newton para modelos no-lineales; y x corresponde al tamaño de la parcela.
De la primera y segunda derivadas de (3) se construye una función de curvatura; y de la primera derivada de esta se obtiene el punto crítico (x0), que corresponde al tamaño de parcela de mayor tasa de variación del coeficiente de variación (Meier y Lessman, 1971):
4.)
Donde:
son estimadores de a y b, respectivamente.
Método de curvatura máxima del coeficiente de variación (CMCV)
Este método tiene la ventaja de que no requiere la agrupación de las unidades básicas ni de ajustar un modelo, como en otros casos (Sari y Lúcio, 2018). El método fue propuesto por Paranaíba et al. (2009a) y se basa en la estimación del coeficiente de autocorrelación espacial de primer orden entre las unidades experimentales básicas:
5).
Donde: εi es el error experimental asociado a cada observación;
Zi; εi-1 es el error de la observación anterior; y
6).
A partir de la primera y segunda derivada de la ecuación (6) se obtiene la función de curvatura:
7)-
El punto donde la función de curvatura es máxima es el tamaño óptimo:
8).
Este método ha sido considerado adecuado para obtener el tamaño óptimo de parcela en arroz, trigo y yuca.
Regresión lineal con constante (LRP)
Este modelo describe la relación entre el coeficiente de variación y el tamaño de la parcela en dos segmentos. El primero es una recta con pendiente negativa que decrece hasta cierto valor y luego, se comporta como una recta constante. Este modelo fue propuesto por Paranaíba et al. (2009a) y se representa matemáticamente como:
9).
Donde: CVx es el coeficiente de variación entre los totales para parcelas con xi unidades básicas; CVP= es el coeficiente de variación en el punto donde se unen los dos segmentos; y εi = corresponde al error asociado a CVx, εi N (0,σ2). Por la condición de continuidad de los dos segmentos que son iguales en el punto x0, se puede escribir:
x0 = ((CVP-β0))/β1
10).
Regresión cuadrática con constante (QRP)
Este modelo está representado por dos segmentos: el primero, descrito por una ecuación polinomial de segundo grado y el segundo, por una recta constante. Al igual que en el caso anterior, el tamaño óptimo de parcela está definido por el punto de encuentro entre los dos segmentos. De acuerdo con Moreira et al. (2016), el modelo QRP puede ser representado como:
11).
La función debe ser continua y suavizada, lo que significa que las primeras derivadas con respecto a x en ambos segmentos deben ser iguales en el punto x0. Bajo esta condición, el tamaño óptimo de la parcela experimental es:
x0 = β1/2β2
12).
El método de máxima distancia (MMD)
Este método, propuesto por Lorentz et al. (2012) busca solventar la subjetividad de algunos métodos, como el de inspección visual, a partir de la geometría formada por yc=a/xb 13) y una recta secante a la función (13), definida como:yR=cx+d 14). En (13) a y b se pueden obtener del modelo de Smith (1938) o bien de Lessman y Atkins (1963). Este método procura encontrar el punto donde la curva yC esté a la mayor distancia posible de la recta yR o lo que es lo mismo, procura encontrar una recta que hace máxima esa distancia.
El ensayo de uniformidad como fuente de la información
Se emplearon los datos de un ensayo de uniformidad que se estableció el 29 de mayo de 2018 en la finca El Porvenir, propiedad de CoopeAgri RL, la cual está ubicada en La Fortuna de San Pedro del cantón de Pérez Zeledón, que pertenece a la región Brunca, Costa Rica. Se plantó caña de azúcar de la variedad RB 99-381 en 40 surcos de 84 m de largo con una separación de 1.5 m.
En total fueron 5 040 m2 de área experimental, la cual fue tratada de forma homogénea en todas las prácticas y labores del cultivo, una vez descontado el borde fueron 4 800 m2 de parcela útil. La unidad experimental básica (UEB) se definió con 2 m de largo por 1.5 m de ancho (3 m2), con lo cual se obtuvo un total de 1 600 UEB. La cosecha y obtención de pesos del ensayo se realizaron de forma manual, los días 6 y 7 de marzo de 2019. Se evaluó la variable de rendimiento en campo y se cuantificó el peso de cada parcela medido en kg, para lo que se empleó una balanza electrónica previamente calibrada bajo el sistema métrico decimal.
Para la mayoría de los métodos fue necesaria la agrupación de UEB adyacentes método de curvatura máxima (MCM), regresión lineal con constante (LRP), regresión cuadrática con constante (QRP) y método de máxima distancia (MMD), en distintas formas y tamaños, al considerar que siempre se debe emplear la totalidad del área experimental. Cuando fueron necesarias las pruebas de homogeneidad de varianzas, se aplicó una prueba F, en el caso de que fueran únicamente dos formas; y se aplicó una prueba de Bartlett (Bartlett, 1937) cuando se trató de tres o más formas de agrupación.
En ambos casos, se contrasta la hipótesis nula de homogeneidad de varianzas. Si la prueba resultaba significativa, se tomaba la varianza de menor valor para asociarla al tamaño correspondiente; en caso contrario, se procedió a promediar las varianzas. El análisis estadístico de la información se efectuó con los paquetes: Microsoft Office Excel 2016, R versión 4.2.1 (R Core Team, 2022), SAS versión 9.3 (SAS Institute, 2011) y Python versión 3 (Van-Rossum y Drake, 2009).
Resultados y discusión
Se agruparon los datos de 63 formas diferentes, equivalentes a 20 tamaños de parcela y se consideraron únicamente combinaciones que resultaron en tamaños de parcela que se ajustan exactamente al área total. Para cada forma se calculó el promedio y la varianza muestral, así como el coeficiente de variación. Como se esperaba, la tasa de disminución del coeficiente de variación decrece rápidamente en el segmento de parcelas pequeñas, pero disminuye más lentamente para las parcelas de mayor tamaño (Figura 1).
Figura 1. Relación entre el coeficiente de variación (CV %) del rendimiento de caña de azúcar con el tamaño de la parcela medido en UEB.
El método de curvatura máxima (MCM)
Para aplicar este método fue necesario: primero, agrupar las UEB en diferentes tamaños y formas y segundo, ajustar dos modelos, uno con base en pruebas de homogeneidad de varianzas y otro en el que se consideran los casos en los que, para un mismo tamaño, existe más de una forma posible de agrupación (por ejemplo, las formas:1x2 2x1representan parcelas de 6 m2).
En las pruebas de homogeneidad de varianza los tamaños más pequeños siempre mostraron resultados significativos (p< 0.05), por lo que las varianzas obtenidas de agrupaciones del mismo tamaño, pero en diferente forma, fueron estadísticamente diferentes. A partir de los 96 m2 solamente en algunos casos se rechazó la hipótesis nula de igualdad de varianzas. Una vez ajustada la varianza según los resultados de estas pruebas, se obtuvo el coeficiente de variación asociado a cada tamaño (CVx).
Esta información se utilizó para ajustar el modelo 1 (n=20). Para el modelo 2 se consideraron los datos de todas las formas y tamaños, en este caso n=63 (Cuadro 1 ). Ambos modelos se basan en la ecuación (3) y sus coeficientes fueron significativos (p< 0.01), con coeficientes de determinación superiores a 90%. Mediante el modelo uno, el tamaño óptimo fue de 3.98 UEB, equivalente a 11.94 m2 y con el modelo dos el resultado fue de 4.67 UEB, lo que significa parcelas de 14.01 m2. Con el modelo uno se obtuvieron los errores estándar más pequeños.
Cuadro 1 Resultados del ajuste del modelo 1 y 2 por el método de curvatura máxima (MCM).
| Modelo 1 | Modelo 2 | |||
|---|---|---|---|---|
| Constante | 2.8843 | ** | 3.0984 | ** |
| (0.0334) | (0.077) | |||
| ln x | -0.492 | ** | -0.525 | ** |
| (0.0085) | (0.0195) | |||
| n | 20 | 63 | ||
| F | 3 344.27 | 721.32 | ||
| R2 ajustado | 99.43 | 92.07 | ||
|
|
17.89 | 22.16 | ||
|
|
0.49 | 0.53 | ||
| x0 | 3.98 | 4.67 |
Error estándar entre paréntesis. Significancia estadística al 5% (*) y al 1% (**), respectivamente.
El método de curvatura máxima del coeficiente de variación (CMCV)
Con los datos del ensayo de uniformidad se estimó el promedio (
El coeficiente de variación para cada tamaño de parcela (x) es:
15).
Con la primera y segunda derivada de (15) es posible obtener los valores de la función de curvatura para cada tamaño de parcela (x). Esos valores y los coeficientes de variación estimados se sustituyen en la ecuación (8). Del análisis de esos resultados con el método CMCV se concluyó que el tamaño óptimo de parcela experimental es de 4.17 UEB, equivalente a una parcela de 12.5 m2.
Regresión lineal y cuadrática con constante (LRP) (QRP)
Se ajustaron los modelos de regresión segmentada para el escenario donde se
aplicaron pruebas de homogeneidad de varianzas (n=20) y para el caso en que se
emplearon todas las formas y tamaños del ensayo de uniformidad (n=63). Los
resultados se muestran en el Cuadro 2 y
el ajuste de los modelos en la Figura 2.
Los coeficientes fueron significativos (p< 0.01) al igual
que el estadístico
Cuadro 2 Resultados del ajuste del modelo 3, 4, 5 y 6 con los métodos LRP y QRP.
| LRP | QRP | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Modelo 3 | Modelo 4 | Modelo 5 | Modelo 6 | ||||||
|
|
16.7225 | ** | 12.6093 | ** | 19.3581 | ** | 14.1172 | ** | |
| (1.3021) | (0.6728) | (1.5162) | (0.8055) | ||||||
|
|
-1.3254 | ** | -0.4338 | ** | -2.589 | ** | -0.7654 | ** | |
| (0.2201) | (0.0537) | (0.5113) | (0.1149) | ||||||
|
|
0.0991 | ** | 0.0123 | ** | |||||
| (0.032) | (0.0031) | ||||||||
| n | 20 | 63 | 20 | 63 | |||||
| F | 61.49 | 114.34 | 88.1 | 136.25 | |||||
| R2 ajustado | 77.48 | 61.62 | 96.2 | 76.96 | |||||
| P | 2.35 | 2.17 | 2.44 | 2.23 | |||||
| x0 | 10.85 | 24.05 | 13.07 | 31.07 | |||||
Error estándar entre paréntesis. Significancia estadística al 5% (*) y al 1% (**), respectivamente.
Figura 2. Relación entre el coeficiente de variación (CV) y el tamaño de parcela medido en UEB y ajuste mediante los métodos. a y b) LRP; c y d) QRP.
Las estimaciones de tamaño de parcela se encontraron entre 10.85 UEB
Método de máxima distancia (MMD)
Para la aplicación del MMD se tomó en cuenta el escenario en el que se aplicaron
las pruebas de homogeneidad de varianzas (n=20) y en el que no aplicaron (n=63).
Para los valores de
Cuadro 3 Resultados del ajuste del modelo 7 y 8 por el método de máxima distancia (MMD).
| Modelo | n |
|
|
CV asociado a x0 | Tamaño (x0) |
|---|---|---|---|---|---|
| 7 | 20 | 17.8908 | 0.492 | 2.4645 | 56.2109 |
| 8 | 63 | 22.163 | 0.525 | 2.7433 | 52.4943 |
† a^ b^ = son estimados mediante el MCM.
El resumen de las estimaciones para los diferentes métodos se muestra en el Cuadro 4. Para el MCM los estimadores resultaron ser más eficientes cuando se hicieron las pruebas de homogeneidad de varianzas (n=20); sin embargo, la diferencia con el otro escenario fue de apenas 2 m2 aproximadamente.
Cuadro 4 Tamaño de parcela (m2) con caña de azúcar estimado por los distintos métodos.
| Método | Tamaño (m2) | ||
|---|---|---|---|
| (n= 20) | (n= 63) | ||
| Método de curvatura máxima | MCM | 11.9 | 14 |
| Curvatura máxima del coeficiente de variación | CMCV | - | 12.5 |
| Regresión lineal con constante | LRP | 32.5 | 72.2 |
| Regresión cuadrática con constante | QRP | 39.2 | 93.2 |
| Método de máxima distancia | MMD | 168.6 | 157.5 |
Note que el método CMCV no requiere agrupar las UEB, por lo que se emplearon los 1 600 datos. Las estimaciones por este método fueron muy semejantes a las obtenidas por el MCM. Las diferencias más grandes se encontraron con el MMD, que difieren significativamente de todos los demás. Y como resultados intermedios están las estimaciones por los métodos LRP y QRP.
El método de curvatura máxima (MCM) de Lessman y Atkins (1963) es uno de los métodos más aplicados (Paranaíba et al., 2009b), aunque tiende a subestimar el tamaño de la unidad experimental. Silva et al. (2003) aplicaron este y otros dos métodos con clones de eucalipto, concluyeron que este método para la determinación algebraica del punto de máxima curvatura utiliza a esta y al vértice de la curva, pero no al punto de estabilización de los valores del coeficiente de variación experimental, lo que significa que aumentos en el tamaño de la unidad experimental por encima del punto crítico (x0) todavía aportan ganancia significativa a la precisión experimental.
Por su parte, Henriques-Neto (2003), con el método MCM, halló valores de parcela pequeños que no representan tamaños apropiados para la investigación en trigo. Silva (2014) encontró diferencias en sus estimaciones de hasta 60% al comparar el MCM y el MMD, concluyó que la estimación del tamaño óptimo de parcela varía con el método empleado y con la característica evaluada. Henriques-Neto et al. (2009) llegaron a una conclusión semejante al evaluar características de rendimiento de granos de trigo. Cipriano et al. (2012) aplicaron el MCM y evaluaron once características de crecimiento en café, hallaron que el tamaño de parcela muestra un comportamiento diferente de acuerdo con la característica evaluada y las diferencias son de hasta un 75%.
Leite et al. (2005), encontraron tamaños de parcela que tampoco fueron considerados adecuados, sus estimaciones mediante MCM arrojaron resultados menores a una planta por parcela para la estimación de parámetros genéticos en familias de caña de azúcar. Paranaíba et al. (2009b) sometieron a comparación cuatro métodos, entre ellos el MCM, emplearon experimentos de trigo (cuatro variedades) y yuca (dos variedades y dos características). Para las variedades de trigo, el menor tamaño de parcela siempre fue el estimado por el MCM, con diferencias de hasta un 83%. Con yuca, los métodos CMCV y MCM produjeron estimaciones semejantes, con diferencias entre un 1 y 3%.
El MCM no es el único que presentan problemas de subestimación. En general, los resultados pueden variar en función del método aplicado y será responsabilidad del investigador el seleccionar el que mejor se ajuste a su situación. Por otra parte, Paranaíba et al. (2009b) afirman que el valor de la abscisa de curvatura máxima deber ser interpretada como el límite mínimo de tamaño de parcela y no como el tamaño óptimo.
El tamaño mínimo de la parcela experimental con caña de azúcar en la zona es 72 m2. Este es el tamaño óptimo, porque, entre todos los tamaños de parcela experimental, es el que minimiza el coeficiente de variación y porque es el que tiene el costo experimental más pequeño entre las demás parcelas que tienen un coeficiente de variación cercano al del método LRP con n= 63, pero con un mayor tamaño de parcela y consecuentemente, con un mayor costo experimental.
Conclusiones
Los resultados obtenidos al aplicar los cinco métodos para la estimación del tamaño óptimo de la unidad agrícola experimental en caña de azúcar presentan diferencias muy marcadas de 145 m2, la región Brunca utiliza parcelas con un tamaño aproximado de 80 m2. La falta de viabilidad en la aplicación de los resultados de los métodos MCM, CMCV y MMD indica que se les deberá descartar. Con los modelos de regresión segmentada se obtuvieron valores más acordes con las condiciones y características del cultivo de caña en la región.
Los que arrojaron estimadores más eficientes fueron aquellos que consideraron todos los tamaños y formas del ensayo de uniformidad (n=63). Se concluyó que los modelos LRP y QRP son apropiados para la determinación del tamaño de parcela experimental en caña de azúcar en suelos con condiciones semejantes a las de la región Brunca de Costa Rica. El tamaño recomendable para utilizar en la zona es 72 m2.
