Introducción

Las diferentes tasas de crecimiento de los árboles en el bosque son las respuestas fisiológicas, demográficas y filogenéticas a las limitaciones de los factores bióticos y abióticos del entorno en que se desarrolla cada uno de ellos (^{Chave, 1999}). Es indispensable conocer las relaciones estructurales entre componentes para entender las adaptaciones al ambiente que presentan los organismos, el bosque o un ecosistema en particular (^{King, 1996}).

Las funciones alométricas como medio para representar la relación funcional entre dos o más variables de un individuo son útiles en la comprensión de la dinámica del crecimiento total de un árbol, con respecto alguna de sus partes o componentes (^{Núñez et al., 2010}; ^{Gayon, 2000}). El uso de esta herramienta en la biología vegetal ha sido para desarrollar las relaciones entre variables de tamaño, para su posterior aplicación al manejo forestal o en la comprensión del ecosistema ^{(Niklas y Enquist, 2002}).

Ejemplos de ese tipo de trabajos son las relaciones del diámetro normal (dn) en función al volumen (V), biomasa (B), índice de área foliar (IAF) o carbono (C) (^{Martín et al., 1998}); las relaciones de dn con la altura total (H) (^{Zeide y Vanderschaaf, 2002}); las funciones de dn-H para los estudios de crecimiento (Delgado et al., 2005); o la relación funcional entre el diámetro de tocón (dt) con el dn (^{Pompa et al., 2011}); la H y el V (^{Quiñonez-Barraza et al., 2012}; ^{Martínez y Acosta, 2014}); la B (^{Návar et al., 2013}) o el carbono.

Determinar la relación entre dt y dn puede ser referencia de predicciones en variables como la H que, posteriormente, es posible utilizarlas como base para realizar estimaciones de volumen (^{Aigbe et al., 2012}).

Debido a que no siempre se cuenta con las dimensiones del dn para hacer cálculos de volumen; por ejemplo, cuando ocurren aprovechamientos clandestinos; en la cuantificación de los aprovechamientos en grandes extensiones; en la evaluación de las prácticas silvícolas aplicadas en el bosque después del aprovechamiento; o simplemente por extravío de la información del inventario, cobra importancia conocer la relación alométrica y la función proporcional entre dn y el dt, ya que se usa para cuantificar el volumen maderable removido (^{Benítez et al., 2004}).

La relación alométrica y proporcional entre el diámetro del tocón y el diámetro normal son una herramienta cuantitativa de utilidad para los administradores de los recursos forestales y evaluadores de las prácticas de aprovechamientos aplicadas en los bosques; por ello, se planteó generar ecuaciones y factores de proporción que permitan predecir el dn, a partir del dt en plantaciones forestales de Pinus greggii Engelm., con fines de restauración, establecidas en Metztitlán, Hidalgo.

Materiales y Métodos

Las plantaciones consideradas en el análisis se localizan en el ejido Fontezuelas municipio Metztitlán, Hidalgo. El clima presente corresponde al templado semi-seco (^{García, 1988}; ^{Inegi, 1992}; ^{Hernández et al., 2014}), a una altitud que varía entre los 2 000 y 2 500 m y se ubican entre las coordenadas 98°54 ́ W y 20°29 ́ N; están establecidas en suelos de tipo Feozem háplico y Regosol eútrico (Inegi, 1992).

Se procesó información proveniente de 621 árboles con categorías diamétricas en el dt de 5 a 45 cm y en el dn de 5 a 35 cm (Cuadro 1). El dn se midió con una cinta diamétrica (Forestry Suppliers P. O. BOX 8397) de cinco metros, 1.30 m, y el dt a una altura variable, en función de la técnica de corte empleada para árboles derribados (altura de tocón, ht), (^{Bava y López, 2006}).

Cuadro 1 Estadísticos básicos de la muestra en plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

Los modelos evaluados (Cuadro 2) fueron los propuestos por ^{Quiñonez-Barraza et al. (2012}) para Pinus arizonica Engelm., P. ayacahuite Ehrenb. ex Schltdl., P. durangensis Martínez, P. leiophylla Schiede ex Schltdl. & Cham., P. teocote Schiede ex Schltdl. & Cham y Quercus sideroxyla Bonpl.; así como los de ^{Pompa et al. (2011)} para P. durangensis para la estimación del dn a partir del dt, debido a que esta sección tiene una forma de tipo neiloide truncado.

Cuadro 2 Modelos para estimar el diámetro normal a partir del diámetro del tocón en plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

Dn = Diámetro normal; dt = Diámetro de tocón; ht = Altura de tocón; b0 y b1 = Parámetros por estimar.

El ajuste de los modelos se realizó con el paquete estadístico SAS, mediante el procedimiento MODEL y la técnica gmm; este ajuste mejora la eficiencia de la estimación de parámetros en la presencia de heterocedasticidad, debido a que emplea el método generalizado de momentos a través de la matriz de covarianza (^{SAS, 2015}). Se usó el método de ajuste de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), tal como lo emplearon ^{Diéguez et al. (2003}) y ^{Pompa et al. (2011)}.

La calidad de ajuste y la exactitud en la predicción de las ecuaciones se hizo con los estadísticos comúnmente utilizados en los estudios de modelación y biometría forestal (^{Castedo y Álvarez, 2000}; Corral et al., 2007): Coeficiente de Determinación Ajustado (Raj2), la Raíz del Error Medio Cuadrático (REMC), el Sesgo (E), la Desviación Agregada (DA) y la DA en porcentaje (DA %) (^{Prodan et al., 1997}). También se empleó el criterio de información de Akaike (AIC) y el criterio de información Bayesiano (BIC), que toman en cuenta la máxima verosimilitud y penalizan según el principio de parsimonia de acuerdo al número de parámetros del modelo (^{Posada y Rosero, 2007}; ^{Gómez et al., 2013}) con las siguientes ecuaciones:

Donde:

log Lik = Logaritmo de máxima verosimilitud

K = Término proporcional al número de parámetros del modelo

N = Número total de datos

Se llevó a cabo un análisis gráfico de los valores estimados por cada modelo para verificar si se cumple la tendencia hacia una línea recta con respecto a los valores observados ^{(Posada y Rosero, 2007}; ^{Augusto et al., 2009}), así como el de estos para identificar y corregir problemas de heterocedasticidad (^{Huang, 2002}).

Para evaluar estadísticamente la normalidad de los datos procesados, se aplicó la prueba de Shapiro-Wilk, que verifica la estimación lineal insesgada de la desviación estándar dividida por la varianza de los errores con respecto a la muestra (^{Molinero, 2003}).

Se calcularon los intervalos de confianza de los parámetros para conocer la variación de los valores esperados de cada uno de ellos (^{Cepeda et al., 2008}); así, se tomó el valor estimado del parámetro (b_j ), + o - el valor de t considerando los grados de libertad del modelo a 95 % de confiabilidad, multiplicado por el Error Estándar de Aproximación (Eea) en la siguiente forma:

Se graficaron las tendencias de los valores predichos, con respecto a los observados para mostrar la fidelidad o la desviación y el ajuste de ellos a la información utilizada. Igualmente, se determinó el factor de proporción promedio (fp) entre el dt y el dn de la población, así como de las estimaciones realizadas con el modelo de mejor ajuste.

Resultados y Disc1usión

En el Cuadro 3 se presentan los parámetros y los estadísticos de bondad de ajuste de los modelos evaluados para la estimación del dn a través del dt en árboles de P. greggii.

Cuadro 3 Valores de los estadísticos de bondad de ajuste y de los parámetros obtenidos en los modelos evaluados en plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

Eea = Error estándar aproximado.

Se observa que en los modelos (1) y (3), el parámetro b₀ y sus estimadores de ajuste son idénticos, debido a la estructura matemática de las ecuaciones; el b₀ indica el intercepto entre el dt y el dn. Además, se evidencia que los valores de los errores estándar aproximados del parámetro b₀ en esos dos modelos son superiores en comparación con el valor del mismo parámetro del modelo (2), que tiene una interpretación diferente, por considerar la altura a la cual fue tomada la medición del dt.

Al comparar el valor del coeficiente de determinación ajustado, el modelo (2) tiene el mayor ajuste, ya que alcanza un valor de 0.9486; al respecto, ^{Alder (1980}) y ^{Gujarati (2010}) argumentan que son aceptables valores superiores a 0.7 y 0.8, respectivamente. En este contexto, se asume que todos los modelos son satisfactorios en sus estimaciones. Para este mismo modelo, la condición del Raj2 coincide con el valor más bajo del REMC que evalúa la precisión de las estimaciones, como lo describen ^{Pompa et al. (2011)} al utilizar un modelo dendrométrico para la estimación del diámetro normal a partir de las dimensiones del tocón, en los que los mejores modelos son los que presentan valores más bajos.

Adicionalmente, con base en los valores de la máxima verosimilitud de información y el peso por el número de parámetros utilizados (AIC y BIC) se deduce y ratifica que el modelo con la mejor calidad de ajuste estadístico es el (2) por tener los valores más bajos en estos criterios, con respecto de los cuatro modelos utilizados; dicho criterio también lo siguieron ^{Tamarit et al. (2013)} y ^{Quiñonez-Barraza et al. (2014)} para la elección de las mejores ecuaciones en la estimación de volumen y ahusamiento.

El uso de esos criterios tiende a seleccionar los modelos más sencillos, debido a que penalizan el valor de acuerdo al principio de parsimonia ^{(Gómez et al., 2013)}. Sin embargo, si la diferencia numérica entre los modelos en los valores de AIC y BIC es muy estrecha, el complemento con los valores del RMSE y la Raj2 será el criterio de decisión para la elección de alguno de ellos (^{Wintle et al. 2003}; ^{Gómez et al ., 2013}).

En el Cuadro 4 se resumen los valores de los estadísticos que evalúan la capacidad predictiva del modelo (2), la desviación de sus estimaciones y los resultados de la prueba de Shapiro- Wilk de normalidad de los errores.

Cuadro 4 Estadísticos de evaluación de la capacidad predictiva del modelo (2) en plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

La desviación del modelo (2), respecto a los valores observados contra los predichos (E) es baja, al igual que los valores de la media de los residuales (DA). Esta situación es semejante a la descrita por ^{Benítez et al. (2004)} en un estudio de índice de sitio para P. caribaea Morelet, y a la experiencia de Barreto et al. (201) quienes, al estimar el diámetro normal con base en las dimensiones del tocón en plantaciones de Casuarina equisetifolia L., utilizaron la DA como indicador de las desviaciones de los modelos empleados. El valor negativo de la DA y de la DA %, se debe a que se tiene una ligera sobrestimación en los valores del dn predichos en función del dt para plantaciones de P. greggii.

La prueba de Shapiro-Wilk mostró normalidad de los errores, por presentar un valor de W=0.9977 (p =0. 0001) cercano a 1, mientras que al analizar la dispersión de los residuales no evidenciaron problemas de heterocedasticidad, ya que al ajustar el modelo se corrigió con el procedimiento gmm de SAS (^{SAS, 2015}).

En el Cuadro 5 se muestran los intervalos de confianza (IC) de los parámetros que se utilizarán para estimar el ancho de aplicabilidad de las estimaciones del modelo dentro del intervalo de la información usada y verificar los valores que se pueden esperar en los parámetros, como lo señalan ^{Cepeda et al. (2008)}.

Cuadro 5 Intervalos de Confianza de los parámetros en el modelo (2) para plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

En la Figura 1, se observa la línea de tendencia de los valores estimados con el modelo (2) y los datos observados. La tendencia de las estimaciones hacia una línea recta (^{Diéguez et al., 2003}; ^{Benítez et al., 2004}) y los valores de los estadísticos de bondad de ajuste del modelo, además de los resultados en las pruebas de exactitud del modelo (2) hacen confiable su aplicación dentro del intervalo de los datos utilizados para predecir el dn, a través del dt en árboles de P. greggii provenientes de plantaciones con fines de restauración en Metztitlán, Hidalgo. Sin embargo, como lo registran ^{Benítez et al. (2004)}, los resultados obtenidos, y de acuerdo a la tendencia de la función, así como de la geometría del modelo, esta ecuación puede ser aplicable como referencia fuera del intervalo de datos usados en el ajuste, sin ser específicos a la muestra empleada.

En la Figura 1, se observa la línea de tendencia de los valores estimados con el modelo (2) y los datos observados. La tendencia de las estimaciones hacia una línea recta (^{Diéguez et al., 2003}; ^{Benítez et al., 2004}) y los valores de los estadísticos de bondad de ajuste del modelo, además de los resultados en las pruebas de exactitud del modelo (2) hacen confiable su aplicación dentro del intervalo de los datos utilizados para predecir el dn, a través del dt en árboles de P. greggii provenientes de plantaciones con fines de restauración en Metztitlán, Hidalgo. Sin embargo, como lo registran ^{Benítez et al. (2004)}, los resultados obtenidos, y de acuerdo a la tendencia de la función, así como de la geometría del modelo, esta ecuación puede ser aplicable como referencia fuera del intervalo de datos usados en el ajuste, sin ser específicos a la muestra empleada.

Figura 1 Comparativo gráfico de las estimaciones del dn en función del dt con el modelo (2) versus los observados para árboles provenientes de plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

Al analizar los resultados por categoría diamétrica y determinar el factor de proporción (fp) entre el dt y dn, se tiene que el fp promedio con las estimaciones del modelo es de 0.6822, valor conservador con respecto al obtenido para los datos observados, que fue de 0.7879. Las diferencias entre el empleo del modelo (2) y los factores de proporcionalidad al estimar el dn, mediante las dimensiones del tocón fueron inferiores a 1.4 cm del total de la muestra, situación que hace confiable a las estimaciones (Cuadro 6).

Cuadro 6 Estimación del dn, factores de proporción (dt/dn) y diferencias entre los métodos para estimar el dn mediante las dimensiones del dt para árboles en plantaciones de Pinus greggii Engelm. en Metztitlán, Hidalgo. 

El uso del modelo (2) para la predicción del dn a partir del dt incluye como variable independiente la altura del tocón, como lo recomiendan ^{Diéguez et al. (2003}) al estimar el diámetro normal y del volumen del tronco con base en las dimensiones del tocón para seis especies forestales comerciales de Galicia, España, debido a que el fuste distorsiona su forma circular a medida que la altura aumenta. ^{Corral et al. (2007)} sugieren tomar en cuenta esta variable en el desarrollo de modelos cuando se conozca la altura del tocón, al utilizarlo para estimar el diámetro y volumen en las principales especies de pinos en Durango, México.

Para ejemplificar la aplicación de este modelo, de manera práctica se plantea el supuesto de una tala clandestina en una plantación con características homogéneas, y coetánea de una superficie de 0.5 hectáreas y 300 árboles derribados, en la cual, de acuerdo a la altura de los árboles aledaños, se clasifica en un índice de sitio (IS) de 16 m (^{Hernández et al., 2014}) y el promedio de los diámetros de los tocones residuales es de 25 cm, con una altura del tocón aproximada de 0.31 m.

Por lo tanto, al aplicar la ecuación propuesta (2), se tiene:

El diámetro normal promedio estimado es de 18.89 cm. Con este valor de dn estimado, y al aplicar la ecuación de volumen total para P. greggii propuesta por ^{Muñoz et al. (2012)} en esta región:

El volumen total promedio sería de 0.2356 m³ por árbol, lo que arrojaría un aproximado del volumen extraído ilegalmente de 70.6776 m³. Con ese resultado, combinado con una distribución de productos maderables se podrán realizar valoraciones económicas para la cantidad de madera extraída.

Cabe resaltar que el procedimiento ideal sería aplicar el modelo a cada individuo, estimar el dn, considerar la altura promedio y aplicar la ecuación de volumen total, todo ello para que finalmente se sumen todos los resultados y se obtenga una estimación con mayor precisión.

Conclusiones

El ajuste del modelo (2) muestra una tendencia lineal entre las variables diámetro del tocón y diámetro normal, un buen ajuste estadístico, una predicción confiable de la variable dependiente y un bajo sesgo en las estimaciones. La inclusión de la altura de tocón (ht) como variable independiente en los modelos de estimación del dn a través del dt, mejora significativamente las predicciones realizadas.

Debido a las diferentes técnicas de derribo aplicadas en México y la topografía accidentada en las áreas de aprovechamiento y frentes de corta, se justifica la medición e inclusión de la altura del tocón en trabajos de inventarios forestales maderables.

Con la estimación confiable del diámetro normal en función del diámetro de tocón, es posible realizar la cuantificación y evaluación confiable por cortas o talas clandestinas, desastres naturales, la reconstrucción de la estructura del bosque antes de una intervención o la evaluación de las prácticas de aprovechamiento aplicadas cuando ocurre una pérdida de información. Además, puede contribuir a realizar estimaciones de la altura total, volumen, biomasa o carbono de manera precisa.

Conflicto de intereses

Los autores declaran no tener conflicto de intereses.

Contribuciones por autor

Jonathan Hernández Ramos: apoyo de la investigación, análisis de los datos de campo, redacción, estructura y presentación de los resultados dentro del documento; Xavier García Cuevas: análisis de la información de campo, evaluador del análisis estadístico y ajuste de los modelos probados, y revisión del documento; José Jesús García Magaña: planeación, diseño y supervisor de trabajo de campo, revisor del documento y análisis de la aplicación de los resultados; Hipólito Jesús Muñoz Flores: planeación, diseño y supervisión de trabajo de campo, análisis de la aplicación de los resultados y revisión del documento; Juan Cosme Velarde Ramírez: evaluación de la aplicabilidad de la información obtenida en campo, evaluación y apoyo en el ajuste de las ecuaciones; y Edgar Hugo Olvera Delgadillo: diseño de la investigación, levantamiento de la información de campo, análisis de la aplicación de los resultados y revisión del documento.