Introducción

México posee una gran diversidad de especies forestales con importancia maderable, entre las que destacan por su abundancia, distribución y aprovechamiento comercial las del género Quercus (encino). En el año 2013, se registró una producción maderable en el país de 51 461 m³ r de encino, lo que representó 8.7 % con respecto al total nacional, que correspondió a la segunda más importante, después del Pinus (^{Semarnat, 2014}). Aunque el número de especies de Quercus en México no se conoce con exactitud, ^{Valencia (2004)} cita para el estado de Puebla 33 taxones de un total de 161 identificados en el territorio nacional.

El aprovechamiento de la madera de encino constituye una fuente importante, en términos de volumen e ingresos, para los silvicultores no solo del estado de Puebla, sino de México. Sin embargo, en la elaboración de programas de manejo forestal, la estimación del volumen fustal para árboles de Quercus spp. se realiza con modelos que datan de hace más de 35 años. Por tanto, en la entidad existe la necesidad de realizar estudios para generar modelos que permitan realizar estimaciones de volumen maderable precisas; que se fundamenten en procedimientos estadísticos rigurosos y que resulten justos al utilizarlos como apoyo en las operaciones de compra - venta.

En la actualidad, hay consenso, a nivel mundial, sobre la necesidad de aplicar en los sistemas forestales de todo el planeta lo que se ha definido como una gestión forestal sostenible; es decir, con una filosofía ambientalmente responsable, socialmente beneficiosa y económicamente viable (^{Diéguez-Aranda et al., 2009}). Un factor que contribuye a lograr este objetivo es obtener funciones de volumen para árboles individuales como una alternativa de cuantificación confiable. A través de un mayor y mejor uso de técnicas estadísticas, particularmente, de los procedimientos de regresión y de la modelación matemática, tales ecuaciones permiten alcanzar reducciones considerables de costos, en la búsqueda de optimizar la distribución de productos forestales maderables previo a su industrialización, sin menoscabo de la precisión en las estimaciones (^{Pompa-García y Solís-Moreno, 2008}).

En México, recientemente se han desarrollado modelos de volumen total y comercial; sin embargo, han sido, en su mayoría para especies de Pinus (^{Corral Rivas-Rivas et al., 2007}; ^{Hernández et al., 2013}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2014}); por lo que son escasos los modelos de volumen para especies mexicanas de Quercus. La ^{SARH (1978)} consigna un modelo de volumen para encinos de Puebla, y el cual se utiliza para estimar el volumen en los inventarios forestales. ^{Pompa-García y Solís-Moreno (2008)} y ^{Pompa-García et al. (2009)} desarrollaron para Chihuahua modelos de ahusamiento, que al integrarlos matemáticamente generan una ecuación que estima el volumen comercial y total. Ante este escenario, es necesario desarrollar modelos y sistemas de cubicación para Quercus bajo las condiciones de manejo técnico que prevalecen en el estado de Puebla.

Por lo antes expuesto, el objetivo del presente trabajo fue desarrollar, a partir de un modelo de ahusamiento de tipo segmentado, un sistema de cubicación a nivel de árbol individual (SCAI) para encinos que crecen en bosques bajo manejo en la entidad referida. El sistema constituye una herramienta técnica de utilidad práctica y operativa de apoyo para el tomador de decisiones que se encarga del manejo y aprovechamiento técnico de ese importante recurso forestal maderable.

Materiales y Métodos

Los datos de ahusamiento y volumen que se utilizaron fueron colectados en la Unidad de Manejo Forestal (Umafor) 2108 “Chignahuapan-Zacatlán” y en la 2101 “Izta-Popo”. El tamaño total de la muestra procesada fue de 124 árboles de Quercus laurina y Q. rugosa, la cual se conformó de arbolado con diferentes categorías diamétricas y de altura, seleccionados en varios frentes de corta en bosques bajo manejo distribuidos en el área de estudio.

La toma de datos se realizó mediante el método destructivo. Cada árbol seleccionado se derribó, seccionó y desramó. En un formato predefinido se registraron las mediciones de diámetro con corteza en centímetros y alturas (HM) correspondientes, en metros, desde la base (ras del suelo), a la altura del tocón (hb), a los 30 cm y 60 cm posterior a este, y a 1.3 m con un flexómetro Stanler ^® de 5 m.

A partir del diámetro normal se seccionó a cada 2.5 m hasta la altura total (H). Se consideraron 1 709 pares de observaciones diámetro-altura distribuidas a lo largo de los fustes. También se obtuvieron, por separado, las variables diámetro normal (D), altura del tocón y altura total (H); además de la georreferenciación, la pendiente, exposición y altitud del sitio de colecta de cada árbol con un geoposicionador tipo eTrex Vista marca Garmin y un clinómetro tipo PM-5 Tandem marca Suunto. En el Cuadro 1 se muestra un resumen de los estadísticos descriptivos básicos de las principales variables de la muestra colectada.

D.E. = Desviación estándar.

Cuadro 1 Estadísticos básicos de la muestra de árboles de Quercus spp 

La cubicación de las secciones se realizó con la fórmula de Smalian y la última sección, que corresponde a la punta del árbol, se cubicó con la fórmula del cono. El volumen total del fuste se calculó a partir de la sumatoria por árbol a partir de cada una de las secciones cubicadas de cada árbol.

Previo al procesamiento de la información, la base de datos de ahusamiento fue auditada. Mediante la elaboracion de gráficos, se verificó que en cada árbol se presentaran comportamientos lógicos de las variables que involucran al perfil fustal y al volumen acumulado, con respecto a la altura (Figura 1a y Figura 1b).

Figura 1 Comportamiento gráfico lógico del perfil fustal (a) y del volumen acumulado con respecto a la altura sobre el fuste (b). 

También, como parte de la auditoría, se elaboró un gráfico de los diámetros relativos (d/Dn) versus las alturas relativas (h/H) (Figura 2), en el que se verificó el correcto comportamiento lógico de la información, que de acuerdo con ^{Pompa-García y Solís-Moreno (2008)}: la amplitud de los datos refleja la magnitud de la forma de los árboles que conformaron la muestra utilizada.

Figura 2 Dispersión de los diámetros relativos frente a las alturas relativas de la muestra de árboles colectada y procesada en el ajuste de modelos de ahusamiento. 

Se evaluaron seis modelos de ahusamiento (d) de tipo segmentado (Cuadro 2) para modelar el perfil fustal de los árboles de Quercus spp., los cuales se caracterizan por ser compatibles con su respectiva función de volumen comercial. Estos modelos asumen puntos de cambio de cuerpo dendrométrico (neiloide, paraboloide y cono) que conforman el fuste del árbol.

Los modelos 1, 2, 4 y 5 asumen, teóricamente, la existencia de dos puntos de inflexión en el fuste, por lo que suponen tres formas geométricas (segmentos) en que se integra el fuste: la base, como un neiloide; la parte central, como un paraboloide; y la punta, como un cono. Esos modelos describen las tres formas dendrométricas a través del ajuste de las ecuaciones de los segmentos descritos, que están unidos matemáticamente formando una sola expresión de ahusamiento. El resto de los modelos (3 y 6) suponen que existe un solo punto de inflexión.

Cuadro 2 Modelos de ahusamiento de tipo segmentado evaluados para generar el sistema de cubicación a nivel de árbol individual de Quercus spp. 

Los diferentes componentes de los modelos referidos se anotan enseguida.

I₁, I₂ = Variables indicadoras sobre el cambio de cuerpo dendrométrico del fuste.

a₀-a₂, B₁-B₄, c₀, p₁, p₂ = Parámetros por estimarse

El ajuste de los modelos de ahusamiento se efectuó con método de máxima verosimilitud, con información completa (FILM, por sus siglas en inglés), mediante el procedimiento MODEL del paquete estadístico SAS/ETS^® (SAS, 2008). La calidad del ajuste de los modelos se determinó comparando cuatro estadísticos utilizados con frecuencia en la modelación forestal (Corral-Rivas et al., 2007; Hernández et al., 2013; Tamarit et al., 2014): el coeficiente de determinación ajustado (R ² _adj), el sesgo (E), la raíz del cuadrado medio del error (RCME) y el criterio de información de Akaike (AIC), mismos que se expresan como:

Donde:

Con la finalidad de facilitar la elegibilidad del mejor modelo, además de los cuatro estadísticos referidos, también se consideraron como criterios de selección: la suma de cuadrados del error (SCE), el cuadrado medio del error (CME) y el valor de verosimilitud (logLik).

Con base en ^{Sakici et al. (2008)}, se utilizó un criterio de calificación que consistió en jerarquizar los estadísticos de los modelos; para ello, se asignaron valores consecutivos del 1 al 6, en función del orden de importancia (1 correspondió al mejor valor del estadístico y 6 al más deficiente); la calificación total de cada modelo se obtuvo por la sumatoria de los valores obtenidos. El mejor modelo correspondió al de menor calificación.

El mejor modelo de ahusamiento seleccionado se ajustó, de manera simultánea, con su respectiva función de volumen comercial, esto para aprovechar la compatibilidad existente entre ellas, ya que comparten los mismos parámetros. Para efectos de comparación en la calidad de ajuste, primero se ajustó el sistema por mínimos cuadrados ordinarios no lineales (NLS), enseguida se usó la técnica de modelos de efectos mixtos (MEM), la cual en su formulación incluye los parámetros fijos comunes a toda la muestra y un parámetro aleatorio específico de cada unidad de muestreo.

Al usar el MEM se mejora la calidad de los parámetros fijos haciéndolos más eficientes, ya que su varianza es menor debido a que sus errores son bajos, y por tanto, los estimadores son más eficientes, precisos y confiables; por lo que es posible hacer estimaciones promedio de las variables de interés con alta certidumbre (^{De los Santos-Posadas et al., 2006}).

Actualmente, los MEM se han convertido en un método común para analizar datos de naturaleza longitudinal, en sitios donde se han realizado mediciones repetidas sobre la misma unidad experimental, y la estructura de las observaciones es irregular y desbalanceada (^{Budhathoki, 2006}); características que se tuvieron en el presente estudio.

Con base en ^{Hall y Clutter (2004)} y ^{Fang y Bailey (2001)}, se usó un arreglo de los datos en forma de estructura bivariada que permitió incluir el efecto aleatorio al incorporrar en el ajuste la técnica de MEM. El sistema compatible de ahusamiento-volumen quedó expresado de la siguiente manera:

El efecto aleatorio se definió e incluyó solo sobre el parámetro B₁, se definió así para controlar la variación específica a nivel de árbol, con ello evitar tener una sobre parametrización, para no hacer un sobreajuste al modelo y que los parámetros fijos no pierdan sensibilidad, ya que sobre éstos se realizan las inferencias. Quedó expresado de la forma:

Los ajustes se realizaron usando el paquete NLME del programa estadístico R, versión 2.14.0 (^{R Development Core Team, 2009}). Para compensar posibles pérdidas en grados de libertad y lograr una convergencia más rápida y estable, en el ajuste del sistema por MEM se consideró máxima verosimilitud restringida y se corrigieron los problemas de heterocedasticidad y de autocorrelación, lo que permite llevar a cabo de manera sólida las pruebas de hipótesis habituales sobre los parámetros; además de, estimar intervalos de confianza más realistas (^{Zimmerman y Núñez-Antón, 2001}; ^{Fang y Bailey, 2001}).

La heterocedasticidad se corrigió mediante la modelación y ponderación de la varianza de los errores, con la función exponencial (e). El factor de ponderación fue sobre HM solo para el ahusamiento (di) y se dejó constante el volumen comercial (Vi), la función quedó estructurada como:

La corrección por autocorrelación se hizo modelando el término de error (e_ij), para ello se utilizó una estructura continua autorregresiva de primer orden (AR(1)), expresada como:

Resultados y Discusión

Comparativo del ajuste de los modelos de ahusamiento

Los valores de las estimaciones de los parámetros de los seis modelos de ahusamiento probados se presentan en el Cuadro 3. Para los modelos 3 y 6 que teóricamente asumen la existencia de un punto único de inflexión, se determinó que al menos uno de sus parámetros fue estadísticamente no significativo; razón suficiente por la que fueron descartados, sin que hayan sido objeto de mayor análisis.

En los modelos que asumen tres formas geométricas (segmentos), y por tanto dos puntos de inflexión en que se conforma el fuste, se determinó que solo los modelos 4 y 5 fueron, en todos sus parámetros, altamente significativos, por lo que se infiere que los fustes de las especies de encino estudiadas presentan esta condición.

Así, para estos modelos, el primer punto de inflexión en donde ocurre el cambio de neiloide a paraboloide (p₁) es a 39 % y 4 % con relación a la altura total, respectivamente. En tanto que, el segundo punto de inflexión (p₂) en el que sucede el cambio de paraboloide a cono es 89 % y 78 %, respectivamente.

Los resultados antes descritos son similares a los obtenidos por ^{Vargas-Larreta (2013)} con el modelo de ^{Fang et al. (2000)} para encinos del estado de Chihuahua. El autor indica que tales cambios de geometría suceden a 9 y 80 %, con respecto a la altura total de los árboles. Los modelos 1 y 2 presentaron parámetros no significativos, por lo que también fueron descartados.

^* = Valor no significativo; ^** = Valores de los parámetros a₀, a₁, y a₂ de 0.00006, 1.96361 y 0.80361 respectivamente; ^*** = Valor del parámetro c₀ = 0.000197

Cuadro 3 Estimaciones de los parámetros de los modelos segmentados para ahusamiento para describir el perfil diamétrico de árboles de encino 

Comparativamente, el modelo 5 (^{Fang et al., 2000}) mostró ser el de mejor calidad de ajuste, ya que tuvo la calificación total más baja (Cuadro 4); dado sus menores valores en la SCE, CME, RCME y AIC, además del mayor valor de verosimilitud (logLik) y el más alto de la R² _adj Este modelo explica en 97.59 % la variabilidad total del ahusamiento observado, con la más alta precisión. Asimismo, todos los criterios de bondad, excepto el sesgo, fueron los más favorables; por lo que fue seleccionado para describir el perfil diamétrico del fuste de árboles de encino.

El segundo mejor modelo, aun cuando algunos de sus parámetros fueron no significativos, resultó ser el 1 (^{Max y Burkhart, 1976}); seguido en orden de importancia con base en la calificación, por el modelo 2 propuesto por ^{Cao et al. (1980)}. Los de menor calidad de ajuste correspondieron a los que asumen un solo punto de inflexión.

Lo anterior, es similar a lo señalado por ^{Corral-Rivas et al. (2007)} y ^{Quiñonez-Barraza (2014)} para especies del género Pinus de Durango; también coincide con lo documentado por ^{Tamarit et al. (2014)} para Tectona grandis establecida en plantaciones en el sureste de México; para Pinus patula de bosques bajo manejo de Zacualtipan, Hidalgo (^{Hernández et al., 2013}) y para árboles de Quercus en Chihuahua (^{Pompa-García et al., 2009}). En tales casos, el mejor modelo fue el de ^{Fang et al. (2000)}, lo que confirma su alta flexibilidad de adaptación a diferentes especies. El hecho de que los modelos de ahusamiento que asumen tres cuerpos dendrométricos en el fuste hayan resultado como los mejores, puede atribuirse, en parte, a que los taxa de encino analizadas provienen de bosques bajo manejo técnico, en los que la densidad y espaciamiento, resultado del manejo de la estructura horizontal, favorecen la existencia de las tres formas dendrométricas.

La ventaja del modelo seleccionado consiste en tener en forma explícita una ecuación de volumen total, que corresponde al modelo de Schumacher-Hall (parámetros a₀, a₁, y a₂ en la función de ahusamiento); aunque es posible incorporar cualquier otra con estructura similar. Además, cuenta con una ecuación implícita de volumen comercial que al obtenerla mediante integración analítica, resulta compatible con la función de ahusamiento; por lo que forman un sistema, el cual es susceptible de ajustarse de manera simultánea ^{Fang et al. (2000)}.

Cuadro 4 Estadísticos de bondad de ajuste y calificación de los modelos de ahusamiento para describir el perfil diamétrico de árboles de Quercus. 

Ajuste simultáneo ahusamiento-volumen comercial por NLS y por MEM

Los valores de los parámetros del ajuste simultáneo del sistema de ahusamiento - volumen comercial por NLS para el modelo 5 resultaron altamente significativos y con errores estándar muy bajos (Cuadro 5). En este sentido, ^{Fang et al. (2000)} señalan que al estimar todos los parámetros del sistema simultáneamente, se optimiza la suma de cuadrados total de los errores, y con ello se minimiza los errores de predicción, tanto del diámetro a diferentes alturas como del volumen; sin embargo, ^{Diéguez-Aranda et al. (2009)} refieren que la elección de la alternativa de ajuste del sistema depende del uso principal que tendrá cada función que lo compone, en cuyo caso la función de interés se deberá ajustar, en forma independiente, para optimizar las estimaciones de la variable prioritaria.

Cuadro 5 Estimación de los parámetros y estadísticos del ajuste simultáneo del sistema conformado por los modelos de ahusamiento y volumen comercial al usar NLS. 

La prueba de razón de verosimilitud, que compara entre el ajuste simultáneo del sistema al usar NLS y MEM, sin corregir aún por heterocedasticidad y autocorrelación (MEM-1) resultó significativa (p < 0.0001), con el mejor ajuste cuando se usa MEM (Cuadro 6); dados los menores valores en el criterio de información de Akaike (AIC) y en el criterio de información Bayesiano (BIC); así como el mayor valor en la verosimilitud (logLik). El MEM-3 corregido por heterocedasticidad y por autocorrelación fue estadísticamente mejor que cuando solo se corrigió por heterocedasticidad (MEM-2). Con tal corrección, los residuales del MEM son mucho más homogéneos como demuestra la configuración de estacionariedad y no significancia en los primeros retardos (Figura 3), lo que garantiza que los estimadores obtenidos, además de ser insesgados también son los más eficientes (^{Myers, 1990}; ^{Kozak, 1997}).

¹gl = Grados de libertad; ² = Razón de Verosimilitud.

Cuadro 6 Estadísticos del ajuste simultáneo del sistema y prueba de verosimilitud al efectuarlo por NLS y como MEM al corregir heterocedasticidad y autocorrelación 

Figura 3 Comportamiento gráfico de los residuales (a) y de retardos (b) después de la corrección por autocorrelación del sistema compatible, al usar una estructura tipo AR(1). 

El ajuste simultáneo del sistema compatible d-Vc, mediante MEM corregido por heterocedasticidad y autocorrelación (MEM-3) de la más alta calidad se presenta en el Cuadro 7. Los intervalos para los parámetros con efectos fijos fueron estrechos, indicativo de un mayor nivel de exigencia y mejor calidad, lo cual evidencia que el uso de la técnica de MEM es un refinamiento favorable en la técnica de ajuste del sistema para hacer estimaciones e inferencias más precisas del ahusamiento y del volumen comercial.

El beneficio adicional del ajuste con el enfoque de MEM se aprecia mejor al observar el comportamiento de los residuales contra los valores predichos, principalmente, los que corresponden al ahusamiento (Figura 4), en los que además de tener una distribución que tiende a ser aleatoria alrededor de cero, la escala en la dispersión es menor, comparativamente, con los residuales del ajuste por NLS. Al respecto, ^{Fang y Bailey (2001)} indican que bajo el enfoque MEM es posible mejorar las características de los parámetros, al compensar por el efecto de variables tomadas en una misma unidad experimental. Este enfoque considera la correlación contemporánea, que ayuda a reducir, en forma considerable, el error estándar de los parámetros del modelo, y a que los valores por componente se unifiquen.

Cuadro 7 Parámetros fijos estimados y bondad de ajuste del modelo 5 corregido por heterocedasticidad y autocorrelación (MEM-C). 

^{Diéguez-Aranda et al. (2006)} y ^{Li y Weiskittel (2010)} citan que el modelo segmentado de ^{Fang et al. (2000)} se comporta bien para estimar, tanto el volumen total como los diámetros a diferentes alturas en árboles de coníferas, con diferente tamaño en diámetro normal y altura total.

Figura 4 Comportamiento de residuales contra predichos para el ahusamiento en los diferentes ajustes: (a) NLS, (b) MEM sin corregir, (c) MEM corregido por heterocedasticidad y (d) MEM corregido por heterocedasticidad y por autocorrelación. 

Sistema de cubicación para árboles de Quercus spp.

El sistema de cubicación a nivel de árbol individual (SCAI) para Quercus spp. quedó conformado por la expresión de ahusamiento d (modelo 5), por la función que estima el volumen comercial (Vc) propuesta por ^{Fang et al. (2000)}, así como la expresión correspondiente para estimar la altura comercial (HM) a un diámetro mínimo comercial (d), y la ecuación de volumen total (V). El SCAI se expresa en la forma que enseguida se indica.

La ecuación de volumen total que corresponde al modelo de Schumacher-Hall, definida en función del diámetro normal y la altura total, facilita la construcción de una tabla de volumen fustal total. Por otro lado, con la combinación del resto de las ecuaciones puede estimarse el volumen comercial a un diámetro mínimo en punta del fuste, así como estimar la altura a la que se alcanza un determinado diámetro en función de los requerimientos de la industria y uso comercial.

Un comparativo entre el modelo de volumen total para Quercus spp. de Chihuahua, propuesto por ^{Pompa-García y Solís-Moreno (2008)} que derivaron de un modelo de ahusamiento y que corresponde al de factor de forma constante (V= 0.25226855D²H), contra el generado en el presente estudio de Schumacher-Hall (V= 0.0000427D^1.7339635H^1.2070785), obtenido con base en un modelo de ahusamiento, demuestra que el primero tiene la tendencia a realizar subestimaciones, en tanto que en el segundo con estimaciones de volumen total son más consistentes y cercanas a los volúmenes observados, lo que evidencia la utilidad y beneficio de generar modelos y sistemas de cubicación de este tipo, para regiones geográficas específicas en donde crecen y se desarrollan las especies maderables de interés comercial.

El SCAI generado cumple con la siguiente condición, si el diámetro mínimo es cero, entonces el volumen comercial es igual al volumen total, ya que la altura comercial es igual a la altura total. Así cuando un árbol de Quercus, cuyo D es de 29 cm y su H de 20 m, el sistema cubica un volumen total del fuste de 0.54 m³, el cual es cercano al observado de 0.539 m³; al considerar un diámetro mínimo comercial del fuste de 20 cm, se estima una HM de 7.91 m; el Vc correspondiente a esas especificaciones, y desde el tocón, es de 0.41 m³.

En la Figura 5, se muestra gráficamente, lo anterior, en ella se observa el funcionamiento del sistema para el cálculo de la altura comercial, bajo las distintas técnicas de ajuste utilizadas. Con los valores de los parámetros del SCAI es factible generar tablas de volumen por tipo de producto y, con ello, estimar tanto el volumen comercial, como su valor monetario en función del precio en el mercado.

Figura 5 Comparativo del SCAI generado al estimar la altura comercial bajo los diferentes ajustes evaluados del sistema compatible. 

Conclusiones

De las seis funciones de ahusamiento evaluadas, el modelo de ^{Fang et al. (2000)} tiene un comportamiento superior, ya que describe mejor los datos utilizados en el ajuste; por tanto, se recomienda como el mejor para describir el perfil diamétrico del fuste y para cubicar árboles individuales de Quercus spp. de bosques bajo manejo en el estado de Puebla. Este modelo, junto con su respectiva función de volumen comercial y total conforma un sistema de cubicación a nivel de árbol individual (SCAI) para el género.

La estrategia de ajuste con la técnica de modelo de efectos mixtos es superior a la de mínimos cuadrados ordinarios, puesto que ofrece estimaciones más precisas y consistentes en el cálculo del volumen comercial y total, así como de diámetros mínimos comerciales a diferentes alturas y viceversa.

El sistema de cubicación generado constituye una herramienta fundamental para su aplicación en los inventarios forestales en las Umafores y región de estudio, son útiles para hacer valoraciones económicas de rodales, además sirve como apoyo para la planificación del destino de los fustes aprovechados, en función de los requerimientos de la industria.