Introducción

Para la planeación, ejecución y monitoreo del manejo forestal sustentable, se requiere la generación de investigación que apoye la toma de decisiones y la evaluación de los objetivos establecidos. La estimación de las existencias maderables y productividad de los rodales es un objetivo principal en los sistemas de manejo forestal; por tanto, resulta imprescindible conocer el crecimiento de especies comerciales (^{Aguirre-Calderón, 2015}; ^{Salas et al., 2016}).

Las investigaciones sobre la estimación del volumen, crecimiento e incremento son herramientas clave para comprender la dinámica de los ecosistemas con manejo; por lo anterior, estos enfoques siguen siendo necesarios para la planeación y ejecución de las actividades forestales. Las ecuaciones de ahusamiento y de crecimiento en altura dominante han sido temas muy explorados (^{Castillo et al., 2013}; ^{Paulo et al., 2015}; ^{Rodríguez-Carrillo et al., 2015}; ^{Krisnawati, 2016}; ^{Corral-Rivas et al., 2017}; ^{Fierros-Mateo et al., 2017}; ^{Tamarit et al., 2017}), porque representan herramientas biométricas que permiten caracterizar el perfil de los árboles, estimar el volumen total y el volumen comercial, así como la productividad de terrenos forestales a través del índice de sitio, respectivamente (^{Crecente-Campo et al., 2013}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2015}; ^{Özçelik y Crecente-Campo, 2016}).

Dado a que las bases de datos que se utilizan para ajustar las ecuaciones de ahusamiento y crecimiento en altura son series de tiempo que se obtienen a partir de la observación de variables medidas en el mismo árbol, derivadas de análisis de ahusamiento y análisis troncales, es razonable asumir que las observaciones en cada árbol estén correlacionadas y por consecuencia, las perturbaciones o residuales de las ecuaciones ajustadas (^{Arias-Rodil et al., 2015}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2015}; ^{Corral-Rivas et al., 2017}); además las predicciones podrían mantener variación en los niveles de las variables independientes, lo que se conoce como heterocedasticidad (^{Gujarati y Porter, 2011}).

El término autocorrelación se refiere a la correlación de los residuales de un modelo de regresión, cuando se trabaja con series de observaciones ordenadas en el tiempo, como en datos de series de tiempo, o en el espacio y en datos de corte transversal. Los modelos de regresión lineal y no lineal tienen el supuesto teórico que los residuos tienen la misma varianza y por tanto son homocedásticos. La presencia de autocorrelación y heterocedasticidad da lugar a estimaciones de parámetros de varianza no mínima e intervalos de predicción poco fiables, especialmente en la construcción de ecuaciones de ahusamiento y volumen (^{Fortin et al., 2007}; ^{Xu et al., 2014}; ^{Tang et al., 2016}). En consecuencia, las pruebas usuales de t o F no son válidas; por lo tanto, el uso de estimadores por mínimos cuadrados generalizados (gnls), con funciones de varianza y estructuras de correlación son una alternativa para generar los mejores estimadores lineales insesgados (^{Gujarati y Porter, 2011}).

En estudios de modelos de ahusamiento y crecimiento en altura dominante, se han utilizado estructuras de correlación y funciones de potencia para corregir la autocorrelación y heterocedasticidad de los residuales (^{Quiñonez-Barraza et al., 2014}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2015}; ^{Sharma et al., 2015}; ^{Özçelik y Crecente-Campo, 2016}; ^{Corral-Rivas et al., 2017}; ^{Tamarit et al., 2017}), en estos estudios se destacan estructuras autorregresivas continuas de los errores de orden uno, dos o tres y funciones de potencia con varianza conocida.

Por la importancia de mejorar la capacidad predictiva y la interpretación de las propiedades estadísticas en el ajuste de ecuaciones, el objetivo del presente trabajo fue evaluar la combinación de funciones de varianza con estructuras de correlación, para modelar la heterocedasticidad y la dependencia de los errores en ecuaciones de ahusamiento y de crecimiento en altura dominante de Pinus teocote Schiede ex Schltdl. & Cham. en Durango, México.

Materiales y Métodos

Resultados y Discusión

Las combinaciones de funciones de varianza con estructuras de correlación generaron 36 opciones de ajuste de ahusamiento y 36 para crecimiento en altura, basadas en las ecuaciones 1 y 2, respectivamente. Los estadísticos de ajuste y la calificación total (Ct) mostraron las bondades de ajuste de las ecuaciones (Cuadro 2 para el ahusamiento y Cuadro 3 para crecimiento en altura). También, se presentan los estadísticos DwM y la probabilidad de la prueba de homogeneidad de varianzas de Bartlett (valor-P).

El sistema de calificación mostró las combinaciones de funciones de varianza con estructuras de correlación por orden jerárquico (^{Sakici et al., 2008}). El valor de Ct menor, fue la combinación estadísticamente mejor y a la Ct mayor le correspondió la peor, a partir de la suma de las calificaciones para cada estadístico de ajuste (^{Tamarit et al., 2014}).

En el caso del ahusamiento, la función varPower combinada con corARMA3-2 fue la mejor y la combinación peor resultó con corCAR1. Para todos los casos de las estructuras de correlación combinadas con varPower, se obtuvieron valores del estadístico DwM entre 1.634 y 1.862; sin embargo, para la prueba de homogeneidad de varianzas, todas las combinaciones fueron heterocedásticas. En la función de varianza varExp, todas las combinaciones con las estructuras de correlación, excepto corCompSymm, fueron homocedásticas (valores de P>0.01) y la estructura corARMA1-1 resultó la mejor de acuerdo con la Ct y un valor del DwM de 1.553.

Las funciones de varConstPower y varComb combinadas con las estructuras de correlación, aunque con estadísticos confiables y residuales independientes (valores de DwM entre 1.722 y 1.973), presentan heterocedastidad en la prueba de Bartlett. Las estructuras corARMA3-1 y corARMA2-1 fueron las mejores para varConstPower y varComb, respectivamente.

El crecimiento en altura, en las combinaciones de las funciones de varianza y estructuras de correlación generaron estadísticos del DwM alrededor de 1.12; sin embargo, para la mayoría de las ecuaciones registraron varianzas homogéneas. La función varPower se combina estadísticamente de manera similar con las estructuras corARMA2-1, corARMA2-2 y corARMA3-2, ya que la Ct fue de 22 para los tres casos. La estructura corCAR1 tuvo el ajuste más bajo con varianzas desiguales. En el Cuadro 3 se puede apreciar el comportamiento de las funciones de varianza varExp, varConstPower y varComb con las combinaciones de las estructuras de correlación.

En todas las ecuaciones ajustadas, los parámetros estimados fueron estadísticamente diferentes de cero a un nivel de significancia de 5 % (P < 0.05). Los parámetros estimados para las mejores combinaciones de cada función de varianza con las estructuras de correlación se resumen en el Cuadro 4, para el ahusamiento (A) y crecimiento en altura (CA). En el ahusamiento las combinaciones de varExp&corARMA3-2, varExp&corARMA2-2 y varConstPower&corARMA3-1 representaron 14 parámetros estimados y la prueba de homogeneidad de varianzas reveló varianzas desiguales; mientras que, la combinación varExp&corARMA1-1, con 12 parámetros estimados registró varianzas constantes.

Los parámetros estimados que definen los cambios de las formas dendrométricas del modelo segmentado de ahusamiento se determinaron para el cambio del neiloide a paraboloide entre 4.0 % y 7.2 %; mientras que, el cambio de paraboloide a cono ocurre en promedio a 70 % de la altura total de los perfiles de los fustes de los árboles; resultados similares han sido documentados por investigadores para diferentes especies del género Pinus (^{Uranga-Valencia et al., 2015}; ^{Özçelik y Crecente-Campo, 2016}; ^{Corral-Rivas et al., 2017}; ^{Tamarit et al., 2017}) con valores de entre 4 % y 7 % para el primer punto y entre 55 % y 75 % para el segundo punto de inflexión de la ecuación. Además, se utilizaron estructuras autorregresivas continuas de primer y segundo orden y funciones de potencia y se asumió una varianza conocida. No obstante, los estudios no incluyen la prueba correspondiente de homogeneidad de varianzas.

Las tendencias de los residuales por altura relativa (h/H; %) de las cuatro combinaciones mejores de funciones de varianza, con estructuras de correlación para el ahusamiento se muestran en forma de gráficos de cajas y alambres (Figura 1); aunque las tendencias son muy similares, solo la combinación varExp&corARMA1-1 (H2-A5) presentó varianza constante y se aprecia que la dispersión de los valores extremos son más cercanos a los valores de los cuantiles correspondientes.

H1 = varPower; H2 = varExp; H3 = varConstPower; H4 = varComb; A5 = corARMA1-1; A6 = corARMA2-2; A8 = corARMA3-1; A9 = corARMA3-2.

Figura 1 Gráficas de cajas y alambres para la distribución de los residuales de ahusamiento por altura relativa para las combinaciones de varFunc y corStruct. 

Las combinaciones en las ecuaciones de crecimiento en altura, con más parámetros estimados (9) fueron varExp&corARMA3-2 y varConstPower&corARMA2-2; las combinaciones varExp&corARMA2-1 y varComb&corARMA2-0 tuvieron siete parámetros estimados.

El uso de ecuaciones con muchos parámetros puede ocasionar un riesgo de sobreparametrización y las predicciones no son las más eficientes (^{Gregoire y Schabenberger, 1996}). En los cuatro casos las varianzas fueron constantes, lo que garantiza que los estimadores de los parámetros son insesgados y eficientes y con varianza mínima (^{Gujarati y Porter, 2011}; ^{Tang et al., 2016}).

Las combinaciones seleccionadas de las ecuaciones de crecimiento en altura generaron una dispersión de residuales cercana a la línea del cero, las cuales se muestran en forma de cajas y alambres por altura relativa (h/H; %) en la Figura 2. Aunque, existe una sobrestimación entre 1 % y 10 % de la altura relativa y una subestimación 10 % a 25 %, las varianzas fueron constantes para los cuatro casos, según la prueba de homogeneidad de varianzas de Bartlett (^{Bartlett, 1954}; ^{Hidding et al., 2013}).

H1 = varPower; H2 = varExp; H3 = varConstPower; H4 = varComb; A4 = corARMA2-0; A6 = corARMA2-2; A7 = corARMA2-2; A9 = corARMA3-2.

Figura 2 Gráficas de cajas y alambres para la distribución de los residuales de crecimiento en altura por altura relativa para las combinaciones de varFunc y corStruct.  

Respecto a los residuales, a pesar de que la prueba DwM representó valores alrededor de 1.2, se consideraron independientes dentro de las mediciones de altura y edad en el mismo árbol (^{Crecente-Campo et al., 2013}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2015}), por lo que los estimadores son insesgados, consistentes y eficientes (^{Williams et al., 2013}).

En ecuaciones de crecimiento de altura dominante e índice de sitio con enfoques de ecuaciones en diferencia algebraica (ADA) o generalizada (GADA), se han utilizado funciones de potencia o exponenciales para la corrección de la heterocedasticidad, en las que se asumen varianzas desiguales en el proceso de ajuste por mínimos cuadrados generalizados (^{Castillo et al., 2013}; ^{Quiñonez-Barraza et al., 2015}; ^{Rodríguez-Carrillo et al., 2015}; ^{González et al., 2016}); además de estructuras autorregresivas continuas de los errores para corregir la autocorrelación con datos de análisis troncales de diferentes especies en bosques naturales y plantaciones forestales comerciales, como Pinus durangensis Martínez, P. arizonica Engelm., Juniperus deppeana Steud, P. teocote Schiede ex Schltdl. & Cham. y P. ayacahuite Ehrenb. ex Schltdl. El enfoque desarrollado en este artículo considera la corrección de la heterocedásticidad y de la autocorrelación como combinaciones de funciones (^{Rodríguez et al., 2013}; ^{Williams et al., 2013}).

En la Figura 3 se contrastan las predicciones de las ecuaciones de ahusamiento y crecimiento en altura con las combinaciones de funciones de potencia y estructuras de correlación seleccionadas, se presenta la tendencia observada del perfil de un árbol, la ecuación sin corregir heterocedasticidad y autocorrelación (SC) y las combinaciones H1-A9, H2-A5, H3-A8 y H4A6; solo la combinación H2-A5 presentó varianzas constantes. Con respecto a la ecuación de crecimiento en altura, gráficamente se presenta la comparación de tres curvas de IS, para la ecuación sin corregir (IS10, IS14 e IS18), y las ecuaciones con las combinaciones H1-A6, H2-A9, H3-A7 y H4-A4; además, se ilustran las tendencias de crecimiento de los árboles de la base de datos, en este caso todas las combinaciones evidenciaron mostraron varianzas constantes, lo cual preserva las propiedades deseables en los parámetros estimados (^{Beale et al., 2010}; ^{Vogelsang, 2012}).

H1 = varPower; H2 = varExp; H3 = varConstPower; H4 = varComb; A4 = corARMA2-0; A5 = corARMA1-1; A6 = corARMA2-1; A7 = corARMA2-2; A8 = corARMA3-1; A9 = corARMA3-2.

Figura 3 Gráficas de predicción del ahusamiento para el perfil de un árbol, y curvas de crecimiento en altura por índice de sitio (IS 10, 14 y 18 m a la edad base de 60 años) con las combinaciones de funciones de varianza y estructuras de autocorrelación, y las ecuaciones sin estructuras de varianza ni autocorrelación (SC). 

Conclusiones

Las funciones de varianza combinadas con las estructuras de correlación corrigieron los supuestos de heterocedasticidad de varianzas y autocorrelación de los errores en las ecuaciones de ahusamiento y crecimiento en altura dominante, a través del ajuste de mínimos cuadrados generalizados no lineales; con ello, se obtuvieron parámetros insesgados con varianza mínima.

Las predicciones de las ecuaciones seleccionadas para el ahusamiento son más eficientes, con estadísticos de ajuste confiables, la combinación de la función exponencial de varianza con una estructura de correlación autorregresiva de media móvil (corARMA1-1) produce varianzas constantes por categorías de alturas relativas de los perfiles del fuste. El modelo de altura dominante e índice de sitio, a una edad base de 60 años, muestra predicciones realistas. Las combinaciones seleccionadas (H1-A6, H2-A9, H3-A7 y H4-A4) presentan varianzas constantes por categorías de altura relativa a edades específicas. En ambos, los residuales son independientes y se garantizan las propiedades de las pruebas de hipótesis de los parámetros estimados.

El uso de las ecuaciones compatibles de ahusamiento y volumen comercial, así como las de crecimiento en altura e índice de sitio, está definido por la utilización de los parámetros intrínsecos de cada ecuación; por lo que, los parámetros de las funciones de varianza y estructuras de correlación solo constituyen los indicadores estadísticos para que los ajustes sean más eficientes.