Introducción

La clasificación de la productividad de las áreas forestales es la base para la planificación del establecimiento y manejo de plantaciones forestales comerciales (PFC) (^{Carrero et al., 2008}); ya que, la diferencia en productividad dentro de las localidades determina aspectos críticos de manejo, tales como la edad (E) para aplicar los tratamientos silvícolas, el turno de cosecha, las técnicas de aprovechamiento o los indicadores de rentabilidad (^{Andenmatten y Letourneau, 1998}; ^{Gaillard et al., 2002}). Ante dicho panorama, es fundamental conocer el ritmo del crecimiento de las especies plantadas con fines comerciales (^{Aguirre-Calderón, 2015}).

La metodología más usada para clasificar la calidad de estación de rodales forestales es el Índice de Sitio (IS) (^{Álvarez et al., 2004}; ^{Cornejo et al., 2005}; ^{Madrigal et al., 2005}; ^{Hernández-Ramos et al., 2014}), definido como la altura dominante (Ad) que alcanza el rodal a una edad base (E ₀ ) o de referencia. La Ad en un rodal monoespecífico y coetáneo es poco afectada por la densidad, sigue un patrón determinado y tiene alta correlación con la producción del volumen maderable (^{Clutter et al., 1983}; ^{Torres y Magaña, 2001}).

Para representar el IS, se emplean curvas de Ad que expresan el patrón de crecimiento promedio de los árboles a través de ecuaciones no lineales, a partir de las cuales se construyen curvas de calidad de estación o de productividad, que pueden ser proporcionales entre sí (anamórficas), o poseer patrones de crecimiento particulares para cada IS (polimórficas) (^{Clutter et al., 1983}; ^{Torres y Magaña, 2001}; ^{Hernández-Ramos et al., 2015}).

En el estado de Quintana Roo, hasta 2014 existía una superficie de 2 722 ha cubierta de PFC, de las cuales en 2 155 ha se estableció Cedrela odorata L. como especie prioritaria (^{Conafor, 2016}).

La falta de información sobre la productividad de las plantaciones y de las herramientas biométricas para su manejo ha ocasionado que no se alcance el máximo rendimiento potencial y de rentabilidad. Por lo anterior, y debido a la importancia del cálculo del IS para la planeación del manejo forestal de las áreas arboladas bajo cultivo, a partir de la hipótesis de que existe un diferencial del potencial de crecimiento entre localidades y dado que se pueden ajustar ecuaciones que modelan las relaciones funcionales entre la Ad y la E de los árboles, se planteó el objetivo de ajustar y comparar ecuaciones de IS para PFC de C. odorata en Quintana Roo, México.

Materiales y Métodos

El estudio se realizó con datos procedentes de las PFC de C. odorata ubicadas en los municipios Bacalar, Felipe Carrillo Puerto, José María Morelos y Othón P. Blanco, Quintana Roo, México. El clima predominante es cálido subhúmedo con lluvias en verano y parte del invierno, la oscilación térmica es menor a 5 °C (Aw(x’)i (^{García, 1983}). La temperatura media anual es de 25.5 °C y la precipitación media anual de 1 260 mm, con una época seca pronunciada entre diciembre y mayo (^{INEGI, 2016}).

Las PFC se localizan en terrenos semiplanos, en suelos que de acuerdo a la terminología maya y su equivalente según la IUSS Grupo de trabajo ^{WRB (2007)} corresponden a: Tzek’el (Leptosol), Kakab (Rendzina); K’ankab (Luvisol crómico), Yax-hoom (Vertisol pélico) y Ak’alche (Vertisol gleyco).

Se evaluaron 24 PFC de uno a 28 años de edad mediante parcelas temporales de 400 m² (Figura 1), en las cuales se seleccionaron los árboles dominantes en altura y se obtuvieron 1 941 pares de datos Ad-E. Se eligieron individuos sin daños ocasionados por plagas, enfermedades o efectos mecánicos. Para medir la Ad se utilizó un clinómetro Sunnto ^® y la edad se calculó con base en la información de los propietarios sobre el año de establecimiento.

Figura 1 Localización de las plantaciones forestales comerciales de Cedrela odorata L. en el área de estudio. 

A la base de datos depurada, se ajustaron los modelos de crecimiento de Schumacher (1), Champan-Richards (2) y Weibull (3) consignados en la literatura especializada (^{Kiviste et al., 2002}; ^{Burkhart y Tomé, 2012}; ^{Panik, 2013}), los cuales han mostrado resultados satisfactorios en diversos estudios para describir el crecimiento en Ad-E e IS (^{García et al., 1992}; ^{García et al., 2007}; ^{Hernández-Ramos et al., 2014}; ^{Murillo-Brito et al., 2017}) (Cuadro 1).

La información se procesó en el paquete estadístico SAS 9.4^® con el procedimiento Model y la técnica de máxima verosimilitud (^{SAS, 2016}). La determinación de la bondad de ajuste de los modelos se basó en resultados de análisis cuantitativos, utilizados en estudios de modelación y biometría forestal (^{Corral-Rivas et al., 2007}). Se consideró el menor valor de la Raíz del Cuadrado Medio del Error (REMC) y el mayor valor en el coeficiente de determinación ajustado (R ² _adj. ); se incluyó a los indicadores de sesgo promedio (E-) y la desviación agregada en porcentaje (DA %), además de la significancia de los parámetros y la distribución de residuales (^{Prodan et al., 1997}; ^{Lencinas y Mohr-Bell, 2007}; ^{Hernández-Ramos et al., 2020}). Para verificar los supuestos de normalidad de los datos y homocedasticidad de los residuos se utilizó la prueba de Shapiro-Wilk (SW) y la distribución grafica de residuales, respectivamente (^{Hernández-Ramos et al., 2020}).

En virtud que la calidad de ajuste no refleja, necesariamente, el apego de las estimaciones a los datos observados (^{Kozak y Kozak, 2003}; ^{Quevedo et al., 2004}; ^{Hernández-Ramos et al., 2015}) para reforzar el criterio de selección de la mejor ecuación, se realizó una comparación grafica de las curvas guías sobrepuestas a los datos observados y se eligió la que presentara mejor fidelidad. Además, se seleccionó el modelo que mostró una tendencia sigmoide, un punto de inflexión en el que los incrementos corrientes (ICA) y medios (IMA) se igualen, ya que algunos no suelen describir adecuadamente el crecimiento de los árboles y una asíntota o máximo crecimiento posible a una edad infinita. El punto de cruce en el que ICA=IMA, se obtuvo de acuerdo a la metodología de ^{Kiviste et al. (2002)}.

Con la ecuación base seleccionada por su ajuste y predicción, se generó la curva guía en Ad, al considerar que cuando la E se hace igual a la edad base (E ₀ ), entonces la Ad es igual al IS. De la ecuación de IS, se despejó el parámetro referente a la asíntota y la expresión se sustituyó en la ecuación base, con lo que el parámetro asintótico se considera implícito y los parámetros de forma fueron comunes para todos los sitios (^{Clutter et al., 1983}); de este modo, al variar la E y las clases de IS y mantener constante la E ₀ , se generaron las curvas anamórficas.

Las curvas polimórficas se generaron de la siguiente manera: de las ecuaciones de IS se despejó alguno de los parámetros de los exponentes, el asociado a la velocidad de crecimiento o al sitio, y se sustituyeron en la ecuación base. De manera análoga, al variar la E y las clases de IS y mantener constante la E ₀ , se generaron las curvas polimórficas (^{García et al., 2007}).

Al establecer una E ₀ equivalente al turno establecido en 25 años y de acuerdo al intervalo de dispersión de datos observados, se asignaron clases de IS para las curvas de calidad de estación; mientras que, en el modelo se sustituyeron los valores de las clases de IS y E ₀ (^{Clutter et al., 1983}; ^{Carrero et al., 2008}; ^{Tamarit-Urias et al., 2014}; ^{García-Espinoza et al., 2019}).

Resultados y Discusión

La tendencia de dispersión de los 1 943 pares de datos utilizados Ad-E de árboles de C. odorata presentaron una tendencia sigmoide, en la que se observa un incremento en el crecimiento de la Ad en las PFC conforme aumenta la edad (Figura 2).

Figura 2 Dispersión de datos observados altura dominante-edad de árboles establecidos en plantaciones forestales comerciales de Cedrela odorata L. en Quintana Roo, México. 

El intervalo de edades varió de uno a 28 años y la Ad de 0.49 a 17.66 m, con valores mínimos y máximos de entre 0.22 m a 19.35 m, respectivamente. La variación en Ad de los árboles para cada edad fue baja, ya que fluctuó alrededor de 0.71 % a 42.26 %, pero en la mayoría de las plantaciones varió de 2 % a 11 % (Cuadro 2).

En el Cuadro 3 se observan los criterios de bondad de ajuste en los que los modelos (3) y (2) alcanzaron los valores más altos en el coeficiente de determinación ajustado (R ² _adj. ), menor RCME y todos sus parámetros resultaron significativos (α<0.05). Al respecto, ^{Gujarati (2010)} argumenta que son aceptables valores superiores a 0.7 y 0.8; por lo que, los tres modelos explican la variabilidad de los datos.

Los valores en los coeficientes de determinación son similares a los registrados por ^{García et al. (1998)} para Swietenia macrophylla King, con un valor de R ² _adj igual a 0.99 al utilizar los mismos modelos, pero superior al calculado por ^{García et al. (2007)} de 0.84 en este criterio para C. odorata mediante el modelo de Schumacher que mejor explica la variabilidad de la información, como lo indican ambos autores al modelar el IS en PFC del estado de Quintana Roo, México.

Diversas investigaciones consignan resultados interesantes. Así, ^{Minoche et al. (2017)} obtuvieron valores diferentes al ajustar cinco modelos para altura dominante y generar curvas de IS de tipo anamórficas con la técnica de diferencia algebraica en plantaciones de Tectona grandis L. en Tabasco, México; donde el mejor modelo ajustado fue el de Sloboda, con un R ² de 0.998. ^{Galán et al. (2008)} ajustaron y determinaron un R ² de 0.870 y 0.919 en el modelo Chapman-Richards para predecir y explicar el crecimiento en altura dominante; y generar curvas anamórficas de IS de C. odorata y Tabebuia donnell-smithii Rose a una edad base de 10 años que cubrieran los intervalos de edad de 3 a 10 años. ^{Pérez-González et al. (2012)}, al ajustar siete modelos de IS para plantaciones de S. macrophylla de siete a 16 años en Tabasco, México concluyeron que el modelo de Korf fue estadísticamente mejor para realizar la estimación de crecimiento en Ad a la E ₀ de 10 años en árboles de la especie estudiada (R²=0.80). ^{Martínez-Zurimendi et al. (2015)} calcularon un valor de 0.58 para la función de Chapman-Richards y 0.59 para el modelo de Weibull en plantaciones de Gmelina arborea Roxb. ^{Murillo-Brito et al. (2017)} llegaron a un valor de 0.50 con el modelo de Schumacher para plantaciones de C. odorata, ambos en el estado de Tabasco, México.

En la Figura 3 se aprecia la distribución de residuales, definidos como la diferencia entre el valor real observado y el valor estimado por medio de la ecuación generada. El análisis evidenció que los tres modelos presentaron un buen ajuste y una distribución regular alrededor de cero.

Figura 3 Distribución de residuales de tres modelos de crecimiento para generar índice de sitio para Cedrela odorata L. en Quintana Roo, México. 

El modelo (3) tuvo el mayor ajuste debido a que la desviación de los valores predichos y los observados (E-) fue baja, ya que el modelo sobrestima en -0.0131 m a nivel de árbol individual y a nivel de la muestra se tiene una DA de -0.2810 %. Los valores negativos de la media de los residuales se explican porque existe una ligera sobrestimación en los datos de la Ad predicha, en función de la E para plantaciones de C. odorata (Cuadro 4)./

Al verificar la prueba de Shapiro-Wilk para evaluar la normalidad, los mejores modelos fueron el (2) y (3), por presentar un valor de SW=0.89 cercano a 1. El modelo de Schumacher tuvo un valor más bajo de SW=0.88; a pesar de ello, mostró normalidad de los errores. Estos resultados son inferiores a los de ^{García et al. (2007)}, quienes documentan un valor de SW=0.97 para plantaciones forestales de C. odorata en Quintana Roo; no obstante, que se tuvieron valores más bajos, en las funciones utilizadas no se violó el supuesto de regresión, y por eso son aceptables. Los tres modelos cumplieron con el supuesto de una distribución homogénea de los residuos (Figura 3).

Estos resultados son superiores a los de ^{Martínez-Zurimendi et al. (2015)} en la referida investigación con G. arborea en Tabasco, en la cual utilizaron los modelos de Chapman-Richards y Weibull y cuyos valores del sesgo fueron de 4.05 m y 4.13 m, respectivamente; en el caso de la DA %, los valores fueron superiores, 16.84 % para el modelo de Chapman-Richards y 16.83 % para el de Weibull. En el estudio de ^{Murillo-Brito et al. (2017)} con el modelo de Schumacher para plantaciones forestales de C. odorata, también en Tabasco, las cifras fueron inferiores, el sesgo fue de -0.0398 m y la DA % de 1.9678 %; por lo que resultó con un mejor ajuste al obtenido en esta investigación, con el mismo modelo.

Las ecuaciones para estimar la curva guía fueron las siguientes:

En la ecuación (3), el parámetro β ₀ representa el valor asintótico o máxima altura que los árboles pueden alcanzar (teóricamente a una edad infinita); en este caso a los 28 años, cuando llegan a medir hasta 16.63 m, pues representa el universo de datos de Ad-E utilizados para el ajuste de la ecuación. Respecto al parámetro β ₁ , se considera como un parámetro dependiente del sitio y representa la velocidad de crecimiento, o el número de unidades que aumenta β ₀ cuando se modifica una unidad en β ₁ , adecuando las escalas por la expresión exponencial. El parámetro β ₂ está asociado al sitio.

Se graficaron las curvas guías y los valores observados para analizar la fidelidad de los modelos, lo cual se observa en la Figura 4; donde la curva guía del modelo (3) exhibe una mejor tendencia, ya que tiende a pasar en medio de la nube de observaciones, por lo que describe con mayor precisión la base de datos usada en su ajuste. En el caso del modelo (1), la curva guía a edades menores suele subestimar y a edades mayores a sobreestimar, mientras que el modelo (2) sobreestima a gran escala en edades menores. En este sentido, la investigación de ^{García et al. (2007)} para la misma especie indicó que el mejor modelo que mostró una tendencia adecuada en la curva guía fue el de Schumacher; y en la investigación de ^{Murillo-Brito et al. (2017)}, los modelos que evidenciaron mejor fidelidad de las curvas guías de manera gráfica con los datos observados fueron Hosfeld IV, Monomolecular, Logístico y Gompertz.

Figura 4 Crecimiento e incremento de curvas para generar Índice de Sitio para Cedrela odorata L. en Quintana Roo, México. 

Con base en lo anterior, el mejor modelo fue el (3), ya que la curva guía representó el promedio de los datos observados, presentó un punto de inflexión en ICA=IMA; conforme a esto, es posible decir que describe adecuadamente el crecimiento en altura de los árboles en función de la edad (Figura 4b). El modelo (1) también tuvo un punto de culminación, pero la tendencia de la curva guía no es adecuada para este estudio. En el caso del modelo (2) no registró un punto de inflexión, lo que significa que no describe adecuadamente la base de datos usada en su ajuste y no puede ser utilizado para la realización de las curvas de IS.

Para calcular la edad en que ICA=IMA, se utilizó la fórmula propuesta por ^{Kiviste et al. (2002)}. Se obtuvo un turno técnico de crecimiento en Ad de ocho años para la especie bajo estudio (Figura 4b). Lo anterior es similar a lo obtenido por ^{García et al. (2007)} para C. odorata en la región sur del estado de Quintana Roo, quienes definieron una culminación del crecimiento en Ad de 6.38 años. Por otra parte, los resultados difieren de los de ^{García et al. (1998)}, autores que determinaron cinco IS (12 m, 14 m, 16 m, 18 m y 20 m) a una E ₀ de 30 años en plantaciones de S. macrophylla en Quintana Roo, con los modelos de Chapman y Richards y Weibull; los cuales, en su versión polimórfica, sobreestiman la altura a edades jóvenes y subestiman a edades mayores. Sin embargo, esto es posible debido a los hábitos de crecimiento y edades de las plantaciones.

Con la ecuación (3) se construyeron curvas de IS a una E ₀ de 25 años (Figura 5), se utilizaron tres clases de IS (14 m, 17 m y 20 m). Las expresiones anamórficas (a) y polimórficas (b) mediante el método de la curva guía se expresan a continuación:

(a) Anamórfica:Ad=IS1-e-0.0352429(25)1.5524551-e-0.0352429(23)1.552455

(b) Polimórfica: Ad=16.636711-e-23250.035244ln1-IS16.63671

Figura 5 Curvas de crecimiento anamórficas (a) y polimórficas (b) de Índice de Sitio (IS, m) a la edad base de 25 años en plantaciones forestales comerciales de Cedrela odorata L. en Quintana Roo, México. 

En la Figura 5 se observan las curvas de IS de tipo anamórfico, (5a) y polimórfico (5b) sobrepuestas con los datos observados. Dichas curvas permiten clasificar las plantaciones de C. odorata conforme a su productividad, y así diferenciar con claridad la calidad de estación de las mismas.

Las curvas son diferentes en la tendencia de crecimiento de las curvas generadas por ^{García et al. (1992)} para S. macrophylla, ya que ellos obtuvieron cinco clases de curvas de IS con el modelo de Chapman-Richards; y por ^{García et al. (2007)} para C. odorata en Quintana Roo con el modelo de Schumacher, mismo que tiene una geometría diferente. Por su parte, ^{Murillo-Brito et al. (2017)} para C. odorata, en el estado de Tabasco, generaron tres curvas de IS con el modelo de Hossfeld IV, que resultaron en Índices de Sitio de 11 hasta 19 m.

La Figura 5a indica que las curvas anamórficas cubren la tendencia del intervalo de dispersión de los datos, lo que demuestra que el método propuesto es correcto para satisfacer el objetivo del trabajo, aunque la curva de IS de 20 sobrestima en pequeña escala a edades mayores. En el caso de las curvas de crecimiento polimórficas (Figura 5b), se les asignaron otras etiquetas diferentes de IS, ya que con los valores de 14 m, 17 m y 20 m las curvas tienden a sobrestimar en gran escala los datos observados. Los valores de las etiquetas de 14 m, 15 m y 16 m empleadas para construir las curvas polimórficas subestiman ampliamente los datos observados de Ad-E. Con estos resultados se puede aseverar que las curvas que presentaron mejor grado de asociación con los datos observados fueron las de tipo anamórfica.

A partir de la curva guía, la E ₀ definida a los 25 años y los tres valores de IS, establecidos en 14 m, 17 m y 20 m, se elaboró un sistema de curvas anamórficas que representan el patrón de crecimiento para C. odorata en la región centro y sur de Quintana Roo, México.

Con las expresiones obtenidas es factible calificar el IS de cualquier plantación creciendo en el área de estudio. Por ejemplo, suponga una plantación de 23 años de edad con 14.55 m de Ad promedio y que el turno de corte en la región es de 25 años, que se definirá como edad de referencia. Estos datos se sustituyen en la expresión de IS, el resultado indica que el IS de esa plantación es de 16.57 m a la edad de 25 años.

Conclusiones

El modelo de Weibull es el de mejor ajuste para los datos de altura dominante-edad (Ad-E) y para generar curvas anamórficas y polimórficas de índice de sitio de C. odorata L. en Quintana Roo, México.

Las curvas polimórficas subestiman el crecimiento en altura de los árboles dominantes de los rodales con las tres etiquetas de índice de sitio (IS) utilizadas; mientras que, las curvas anamórficas representan mayor fidelidad con los valores observados, ya que cubren la tendencia del intervalo de dispersión de los datos. Por esta razón, se consideran las más adecuadas para calificar el IS en plantaciones forestales comerciales de C. odorata en Quintana Roo.

La información generada sirve para formar parte de los métodos de planeación para los administradores y técnicos forestales en las actividades de manejo y aprovechamiento forestal, pero los valores obtenidos deberán aplicarse dentro del intervalo de las variables Ad-E de uno a 28 años de edad.