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Introducción
El objetivo general de un análisis de frecuencias consiste en utilizar los datos históricos de alguna variable hidrológica como precipitación o caudal para estimar el régimen de un evento hidrológico asociado a un periodo de retorno empleando diversas distribuciones de probabilidad. En el campo de la ingeniería civil la selección del período de retorno depende de la naturaleza del proyecto y del riesgo que se quiera asumir (Escalante-Sandoval, 2007). La mayoría de los análisis de frecuencia se realizan con distribuciones univariadas, es decir con una sola variable de análisis que se ajusta a una función de probabilidad con dos o más parámetros (Ashkar et al., 1991). Los fenómenos que se analizan en el campo de la ingeniería con un análisis de frecuencia son diversos. Habitualmente, el análisis de extremos hidrológicos como inundaciones (Arnaud et al., 2017; Al Aamery et al., 2018) y sequías son los más estudiados (Ahn y Merwade, 2016; Ayantobo, et al., 2018; Yang et al., 2018). Sin embargo, estudios del fenómeno del Niño (Karim, et al., 2015), cambio climático (Schulz y Bernhardt, 2016; Smitha et al., 2018) o incluso eventos sísmicos se estudian con distribuciones de probabilidad (Grünthal et al., 2006; Öztürk et al., 2008). En la actualidad son numerosas las funciones que se utilizan en hidrología y gracias a la disposición operacional de los procesadores modernos es posible utilizar modelos probabilísticos que consideran para su solución más de tres parámetros, lo que aumenta la precisión cuando se cuenta con muestras históricas con más de 50 años de registros (Díaz-Delgado et al., 1999). En México y en general en Latinoamérica el uso de la distribución Gumbel (Gumbel, 1960) es muy difundido, ya que es una distribución versátil y fácil de ajustar. Por ejemplo, comúnmente se utiliza la distribución Gumbel en la estimación de las curvas intensidad-duración-periodo de retorno (Borga et al., 2005; So et al., 2017; Mélèse et al., 2018) y en la validación de dichas curvas con modelos atmosféricos (Vu et al., 2016; Van de Vyver, 2018).
La regionalización hidrológica es un conjunto de metodologías que se utilizan para estimar eventos de diseño en sitios no medidos o con información escasa; estas técnicas también utilizan la distribución de probabilidad univariada de Gumbel (Huang et al., 2016; Zhang et al., 2017). Tal es el caso del Método Regional de la Avenida Índice (Campos-Aranda, 1994), que utiliza la distribución de Gumbel para transferir información hidrométrica dentro de una región considerada hidrológicamente homogénea (Lilienthal et al., 2018). Tal ha sido el uso de este Método que se ha modificado para que pueda ser utilizado en regiones en donde se tiene una afectación directa por fenómenos naturales extremos (Gutiérrez-López y Ramírez, 2005). Por ejemplo, las costas de la república mexicana se ven afectadas todos los años por huracanes que generan precipitaciones fuera de lo normal; es decir, en estas zonas un registro climatológico o hidrométrico estará formado por dos tipos de datos: las mediciones que provienen de los eventos de la temporada normal de lluvias y por los registros que provienen de los eventos extremos (Phillips et al., 2018; Yan et al., 2016). Esto crea la necesidad de analizar una variable con dos distribuciones de probabilidad en forma simultánea; es así como aparece la distribución Gumbel univariada para dos poblaciones o también conocida como Gumbel Mixta univariada (Rossi et al., 1984; Yue, 2000). Sin embargo, los problemas hidrológicos son cada vez más complejos y se requieren estudios que puedan emplear en forma simultánea no solo dos distribuciones de probabilidad, sino también dos variables de análisis; a lo que se le conoce como distribución mezclada bivariada. Por ejemplo, para el caso de la Gumbel, sería una distribución Gumbel Mixta bivariada, la cual puede estimar en forma simultánea los volúmenes y el caudal máximo de un hidrograma (Qi y Liu, 2018) o estimar la duración y lámina de una tormenta (Qian et al., 2017). En México, el precursor en el estudio y aplicación de las distribuciones bivariadas y trivariadas fue Escalante-Sandoval (2007), quien desarrolló el planteamiento teórico para la solución de distribuciones mezcladas, así como su estimación de parámetros. La estimación de parámetros de una distribución bivariada es compleja y requiere cumplir cuatro condiciones: (i) las distribuciones marginales deben ser asintóticas extremas; (ii) la distribución debe ser estable para los valores más grandes de la muestra; (iii) debe existir una función de densidad y (iv) se elimina el caso trivial en donde la distribución multivariada es el producto de sus distribuciones marginales extremas (Escalante-Sandoval y Domínguez-Esquivel, 2001).
En una distribución de probabilidad univariada o bivariada, cualquiera que sea el caso, la estimación de sus parámetros es uno de los temas más extensos y complejos de la hidrología moderna y requiere de un exhaustivo análisis (Strupczewski et al., 2017; Tosunoglu y Can, 2016). En sus inicios la estimación de parámetros se realizaba con la técnica de mínimos cuadrados, promedios pesados, momentos y recientemente se perfeccionó la teoría de máxima verosimilitud. Actualmente los algoritmos de optimización o la técnica de máxima entropía son sin duda los procedimientos de mayor precisión, incluso para las distribuciones de extremos máximos y mínimos en sus versiones mezcladas bivariadas (Chen y Singh, 2018; Montaseri et al., 2018; Ahn y Palmer, 2016; Tao et al., 2013). Adicionalmente a la selección del tipo de distribución a utilizar, queda perfeccionar la técnica adecuada para la estimación de parámetros. Es por eso que se recurre a los procesos de optimización los cuales son cada vez más aplicados a los problemas de ingeniería (Escalante-Sandoval, 2013). En la actualidad se utiliza una extensa variedad de algoritmos, muchos de ellos basados en métodos de programación numérica lineal y no lineal, que requieren calcular gradientes para buscar la solución en la vecindad de un dato inicial; esto se convierte en una estrategia útil en la obtención del óptimo global mediante modelos simples (Lee y Geem, 2005). Si bien la hidrología moderna avanza hacia la inteligencia artificial, muchos de los problemas reales de optimización ingenieril son de naturaleza compleja y difíciles de resolver utilizando dichos algoritmos (Bardsley, 2016). En particular, la búsqueda de un óptimo local en donde el resultado depende de la selección del dato inicial, de las condiciones de frontera y sobre todo de encontrar la solución óptima en un espacio de solución global es difícil si la función objetivo y sus restricciones presentan inestabilidades numéricas. De lo anterior es evidente que se debe seguir trabajando en la optimización de los modelos y esquemas de solución de las distribuciones univariadas o bivariadas de probabilidad. En este estudio se presenta un algoritmo de búsqueda armónica para la optimización de los parámetros de la función Gumbel Mixta univariada. Los resultados son comparados con los algoritmos de Rosenbrock y los métodos de estimación de parámetros de Momento y de Máxima Verosimilitud, siendo la búsqueda armónica una nueva opción para minimizar el error estándar de ajuste.
Métodos
Algoritmos metaheurísticos
Los inconvenientes computacionales de los modelos numéricos existentes motivaron el desarrollo de algoritmos metaheurísticos basados en simulaciones de fenómenos naturales o artificiales para resolver problemas de optimización ingenieril cuyo factor común es su combinación de reglas de aleatoriedad. Los algoritmos metaheurísticos se utilizan para describir fenómenos muy variados. Por ejemplo, se utilizan algoritmos evolutivos (Fogel et al., 1966) y algoritmos genéticos (Holland, 1975) para revelar procesos de evolución biológica. Glover (1977) presentó algoritmos que se conocen como de búsqueda tabú para explicar la conducta animal. Existen otros procesos complejos como la simulación llamada de recocido simulado (Simulated Annealing, SA), que simula y optimiza una función en un gran espacio de búsqueda, cuando los valores son principalmente discretos (Kirkpatrick et al., 1983). De igual manera la interpretación musical definida como el arte de ejecutar una obra musical mediante instrumentos utiliza algoritmos de búsqueda armónica (Geem et al., 2001).
Distribución General de Valores Extremos (DGVE)
En 1960 Gumbel desarrolló la teoría de distribución de valores extremos en la cual la función convergerá a una asíntota de las tres posibles conforme se incrementa la cantidad de datos en la serie de máximos (Koutsoyiannis, 2004; Amin et al., 2014). Las asíntotas se representan por la expresión conocida como Distribución General de Valores Extremos (Jenkinson, 1969) que usa tres parámetros: ubicación (ε), escala (λ) y forma (k).
La función de densidad de probabilidad (fdp) es de la forma:
Se denomina DGVE Tipo I (Gumbel) cuando k=0, -∞< x i <∞, DGVE Tipo II (Frechet) cuando k<0, ε + λ/k < x i <∞ y DGVE Tipo III (Weibull) cuando k>0, -∞< x i < ε + λ/k. En los tres casos λ>0 .
De igual forma se puede establecer para esta fdp la variable reducida
Función de distribución Gumbel
Cuando el parámetro de forma en la Distribución General de Valores Extremos es cero, se tiene la distribución Tipo I, también conocida como Función de distribución de Gumbel y la forma de la función de distribución acumulada en términos de -∞< x i <∞, -∞< β <∞ y α>0 es
Su respectiva fdp es
y su variable reducida:
Gracias a su comportamiento, esta fdp es ampliamente utilizada en muchas regiones para el análisis estadístico tanto de caudales como de precipitaciones máximas anuales.
Función de distribución Gumbel Mixta
La expresión matemática que representa la función de distribución de probabilidad para dos poblaciones mezcladas considera la estimación de la probabilidad de no excedencia del gasto máximo anual (x i ), la probabilidad (P) de ocurrencia de eventos no ciclónicos, dos parámetros de ubicación (λ 1 , λ 2 ) y dos parámetros de escala (ε 1, ε 2) para los cuales los subíndices 1 se asocian a la población no ciclónica mientras que los subíndices 2 se relacionan con la población ciclónica:
la fdp correspondiente es:
La estimación de los parámetros de ajuste de las ecuaciones 5 y 9 puede realizarse por los métodos de máxima verosimilitud, momentos o estadísticos convencionales; no obstante, la eficiencia disminuye con el incremento de parámetros por ajustar. Para evitarlo, se minimiza la expresión de la suma de errores cuadráticos pesados E de los valores estimados F(x i ) respecto de los valores empíricos F’(xi) aplicando la formulación de Weibull
En la ecuación 10 se recurre al peso asignado al error generado (w i ) que corresponde a la estimación mediante de la función de distribución, mientras que en la ecuación 11 se considera el orden creciente m del caudal máximo anual (x i ) y el total de caudales en el estudio n.
La minimización de la suma de errores cuadráticos pesados se ha llevado a cabo mediante el método de máximo ascenso (Joshi et al., 2012) que es una técnica de gradientes basada en evaluaciones de la función a minimizar y sus derivadas (Raynal-Villaseñor, 1997). No obstante, este proceso es lento, pues requiere de frecuentes cambios de dirección, con lo que se vuelve ineficiente desde el punto de vista computacional y falla al considerar las segundas derivadas.
Algoritmo de Rosenbrock
Para minimizar E en la ecuación 10 se puede aplicar el algoritmo de Rosenbrock para múltiples variables no restringidas (Rosenbrock, 1960; Kuester y Mize, 1973; Campos-Aranda, 2003). Esta técnica se cataloga como una de búsqueda directa. Para aplicarla se requieren valores iniciales de los parámetros, para lo cual se procede al cálculo como si fuese una sola población mediante la técnica de momentos (Chow, 1964) considerando el valor de la media (x 1 , x 2 ), la desviación estándar (S 1 , S 2 ) de las ambas poblaciones, no ciclónica y ciclónica respectivamente, así como el número de caudales de origen ciclónico (n c ) considerados. Los parámetros se pueden entonces estimar como:
La bondad de ajuste mediante el Error Estándar de Ajuste (EE) propuesta por Raynal (1997) considera la comparación de los caudales máximos anuales registrados F’(x i ) y estimados F(x i ) así como la comparación de la cantidad de caudales (n) respecto de los parámetros de ajuste (n p ) de la función de distribución:
Este algoritmo permite minimizar la ecuación 17, la cual considera en su estructura las ecuaciones 5 y 9, que se trata de una función no lineal de múltiples variables no restringidas de la forma F(x 1 , x 2 ,…, x n ) ejecutándose el seudocódigo mostrado en la Tabla 1. El detalle y código de programación se puede consultar en Campos-Aranda (1989).
Tabla 1 Seudocódigo del algoritmo de Rosenbrock.
| Paso | Actividad |
|---|---|
| 1 | Definir los parámetros iniciales punto
inicial ( |
| 2 | Para |
| 3 | Evaluar |
| 4 | Si |
| 5 |
Calcular Si Si Si Si En caso contrario |
| 6 |
Considerar Si
Tomando Considerar las longitudes del paso 2, tomar |
Algoritmo Búsqueda Armónica
Este algoritmo metaheurístico conceptualiza el uso de procesos musicales para perfeccionar armonías las cuales de manera análoga en las técnicas de optimización son vectores de solución y las improvisaciones realizadas por los músicos que hacen alusión a los esquemas de búsqueda local o global (Geem et al., 2001).
No requiere de valores iniciales para las variables de decisión, es decir, en lugar de una búsqueda de gradientes realiza una búsqueda estocástica aleatoria basada en la tasa de consideración de memoria armónica y la tasa de ajuste de tono lo cual elimina el uso de información de derivadas, reduciendo los requerimientos matemáticos y facilitando su implementación en problemas de optimización en problemáticas de ingeniería (Lee y Geem, 2005). El seudocódigo se muestra en la Tabla 2.
Tabla 2 Seudocódigo del algoritmo de Búsqueda de armonías.
| Paso | Actividad |
|---|---|
| 1 | Definidas CF y RF acorde al problema, establecer HMS, HMCR, B, PAR, NI y PC |
| 2 | Definir |
| 3 | Para |
| 4 | Si |
| 5 | Actualizar la memoria armónica si |
| 6 | Si |
Para realizar la optimización de la función objetivo (CF) se consideran soluciones candidatas que constituyen las armonías y se representan matemáticamente por vectores n-dimensionales; dichas soluciones constituyen la población inicial generada de manera aleatoria y almacenada en la memoria armónica (HM), a partir de la cual se genera una nueva armonía partiendo de los elementos contenidos por reiniciación estocástica o bien ajustando el tono de un vector existente. Con ello HM se actualiza al comparar la nueva solución candidata respecto de la peor almacenada sustituyéndola si mejoró la solución de la función objetivo y en caso contrario se elimina la solución candidata. Este proceso se realiza hasta alcanzar el criterio de paro establecido (Cuevas y Ortega-Sánchez, 2013)
Cada solución candidata está comprendida dentro del rango definido por los límites superior (xU) e inferior (xL) denominado ancho de banda (B = xU-xL) de las variables de decisión (N), la cantidad de vectores en HM define el tamaño de la memoria (HMS) la cual almacena los mejores desempeños armónicos para la función objetivo, por su parte al puntualizar la tasa de consideración de memoria armónica para el ajuste de tono (HMCR) se establece la posibilidad de las nuevas armonías tomando elementos almacenados en HM y la tasa de ajuste de tono (PAR) da la posibilidad de modificar una solución previa sin exceder la magnitud máxima B, todo lo anterior dentro de un proceso definido por el número total de improvisaciones (NI) que corresponden a las iteraciones propuestas.
Para garantizar la solución manteniendo características particulares del problema se pueden establecer funciones de restricción (RF) con coeficientes de penalización (PC) que corrige el valor de CF previo a la actualización de HM.
Materiales
En primera instancia se obtuvo la información hidrométrica histórica de la estación 10040 Santa Cruz ubicada en el estado de Sinaloa (1060 57’10”, 240 29’05”) en el periodo de 1944 a 1980 del Banco Nacional de Datos de Aguas Superficiales (BANDAS) de la Comisión Nacional del Agua (CONAGUA) (Tabla 3 y Figura 1). Como caso adicional para verificar la capacidad de optimización en la función de distribución Gumbel Mixta utilizando el algoritmo de Búsqueda Armónica, se comparó el registro de caudales máximos anuales (Gómez et al., 2010) correspondientes a la estación hidrométrica número 12504 nombrada La Cuña en el estado de Jalisco, México (1020 49’59”, 210 00’15”) para el periodo de 1947 a 2004, contándose con 58 datos registrados en el Tabla 4 (Figura 2).
Tabla 3 Registro de caudales máximos anuales de la estación hidrométrica Santa Cruz, Sinaloa, México.
| año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1944 | 2142 | 1952 | 677 | 1960 | 1074 | 1968 | 7000 | 1976 | 1495 |
| 1945 | 1023.4 | 1953 | 807 | 1961 | 1280 | 1969 | 484 | 1977 | 836 |
| 1946 | 837.6 | 1954 | 553 | 1962 | 1002 | 1970 | 920.6 | 1978 | 940 |
| 1947 | 1161.2 | 1955 | 1252 | 1963 | 3680 | 1971 | 812 | 1979 | 3080 |
| 1948 | 1062 | 1956 | 369.5 | 1964 | 861 | 1972 | 3332.4 | 1980 | 1550 |
| 1949 | 784.2 | 1957 | 293 | 1965 | 888.8 | 1973 | 898 | ||
| 1950 | 1086.3 | 1958 | 1157.2 | 1966 | 1166.4 | 1974 | 2790 | ||
| 1951 | 487.8 | 1959 | 762.222 | 1967 | 950 | 1975 | 620 |
Tabla 4 Registro de caudales máximos anuales de la estación hidrométrica La Cuña, Jalisco. México.
| año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) | año | Q (m3/s) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1947 | 784.00 | 1957 | 199.00 | 1967 | 1474.86 | 1977 | 439.72 | 1987 | 184.68 | 1997 | 78.44 |
| 1948 | 736.80 | 1958 | 690.00 | 1968 | 323.00 | 1978 | 280.22 | 1988 | 595.20 | 1998 | 261.86 |
| 1949 | 510.00 | 1959 | 340.60 | 1969 | 160.40 | 1979 | 267.20 | 1989 | 110.18 | 1999 | 196.30 |
| 1950 | 461.00 | 1960 | 249.60 | 1970 | 763.75 | 1980 | 287.28 | 1990 | 523.86 | 2000 | 46.81 |
| 1951 | 411.00 | 1961 | 350.00 | 1971 | 578.00 | 1981 | 280.70 | 1991 | 1636.33 | 2001 | 313.81 |
| 1952 | 326.00 | 1962 | 317.00 | 1972 | 191.75 | 1982 | 156.50 | 1992 | 1168.00 | 2002 | 319.60 |
| 1953 | 349.80 | 1963 | 732.56 | 1973 | 2440.00 | 1983 | 455.50 | 1993 | 295.00 | 2003 | 621.07 |
| 1954 | 130.40 | 1964 | 265.05 | 1974 | 238.35 | 1984 | 501.20 | 1994 | 212.80 | 2004 | 824.50 |
| 1955 | 690.00 | 1965 | 743.60 | 1975 | 622.08 | 1985 | 385.00 | 1995 | 367.42 | ||
| 1956 | 266.00 | 1966 | 463.90 | 1976 | 1374.00 | 1986 | 698.19 | 1996 | 144.57 |
Resultados
Gumbel para una población
Primeramente, se realizó el ajuste de la función Gumbel de una población univariada, por las metodologías de Momentos, Máxima Verosimilitud y Búsqueda Armónica, a los 37 datos históricos de la estación Santa Cruz. La programación del algoritmo de Búsqueda Armónica se llevó a cabo en Matlab para lo cual se definieron los rangos de las variables de decisión, las cuales corresponden a los parámetros del algoritmo recordando que los valores iniciales se establecen estocásticamente xU=[1000,10000], xL=[0;0], HMS=40, NI=10000, HMCR=0.90, PAR=0.35; B=(xU-xL)/NI. Una vez verificada la programación realizada en Matlab se modificó la función objetivo y se calculó el error estándar de ajuste, para optimizar la función Gumbel Mixta, contrastando los resultados respecto al algoritmo de Rosenbrock, (Figura 3) estableciendo los parámetros iniciales considerando nueve datos ciclónicos P=0.756757, λ 1 =194.24 m3/s, ε 1 =736.678 m3/s, λ 2 =1368.31 m3/s y ε 2 =2137.95 m3/s. De igual manera se definieron los rangos para las variables de decisión que corresponden a los parámetros del algoritmo xU=[1, 10000, 10000, 10000, 10000], xL=[0,0,0,0,0], HMS=40, NI=10000, HMCR=0.90, PAR=0.35; B=(xU-xL)/NI. La Tabla 5 y la Figura 3 muestran los valores de los errores de ajuste para los tres procedimientos de estimación de parámetros por los métodos mencionados.
Figura 3 Ajuste de la función Gumbel de una población para los datos de la
estación Santa Cruz, Sinaloa por el método de momentos
(
), el Método de Máxima verosimilitud (
) y Búsqueda
Armónica (
)
Tabla 5 Parámetros de ajuste para la función Gumbel de una población para el registro de caudales máximos anuales de la estación hidrométrica Santa Cruz, Sinaloa, México.
| Metodología | λ1 (m 3 /s) | ε1 (m 3 /s) | EE |
|---|---|---|---|
| Momentos | 972.2 | 814.40 | 598.77 |
| Máxima Verosimilitud | 597.05 | 946.58 | 737.63 |
| Búsqueda Armónica | 1000 | 128.98 | 82.82 |
A lo largo del número total de iteraciones se registró el valor de la función de optimización representada por la ecuación 17 mostrado en la Figura 4; de igual manera, se promedió la función de optimización evaluada en las 40 armonías de la memoria armónica como se muestra en la Figura 5.
Gumbel Mixta
A continuación, se utiliza el mismo algoritmo para llevar a cabo el proceso de optimización de la distribución de probabilidad Gumbel Mixta o de dos poblaciones. El algoritmo realiza la modificación armónica más desfavorable contenida en la memoria armónica y estocásticamente modifica una de las variables de decisión. Es decir, modifica los cuatro parámetros de escala y ubicación, así como el parámetro de asociación P. El algoritmo lleva a cabo la exploración del espacio de solución como se observa en las Figuras 6 y 7 definiéndose una tendencia horizontal por la repetición sucesiva del valor óptimo del parámetro en la armonía evaluada, mientras que los valores aislados representan los valores estocásticos generados en el proceso de convergencia. La Tabla 6 muestra los valores ajustados de los cinco parámetros que resultan de este procedimiento, así como el error de ajuste. En la Figura 8 se muestra la comparación de los ajustes por momentos, Rosenbrock y por Búsqueda Armónica, para los datos históricos de la estación hidrométrica Santa Cruz.
Tabla 6 Parámetros de ajuste para la función Gumbel Mixta para el registro de caudales máximos anuales de la estación hidrométrica Santa Cruz, Sinaloa. México.
| Metodología | P | λ1 (m3/s) | ε1 (m3/s) | λ2 (m3/s) | ε2 (m3/s) | EE |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Momentos | 0.784 | 863.652 | 200.780 | 3,133.625 | 1,369.655 | 542.022 |
| Rosenbrock | 0.850 | 769.051 | 296.580 | 3,037.430 | 1,022.059 | 407.024 |
| B. Armónica | 0.824 | 788.796 | 281.276 | 2,850.544 | 1,436.975 | 400.008 |
Figura 8 Ajuste de la función Gumbel Mixta para los datos de la estación
Santa Cruz, Sinaloa. Método de momentos ( 
), algoritmo de
Rosenbrock ( 
) y Búsqueda
Armónica ( )
Las Figuras 9 y 10 muestran la evolución del valor de la función de optimización representada por la ecuación 17 para el caso de la distribución Gumbel Mixta univariada. La evolución en el espacio de solución de la búsqueda aleatoria de los armónicos que lleva a cabo el algoritmo propuesto se presenta en una secuencia en las Figuras 11 a 15.
Gómez et al. (2010) presentan un ejemplo clásico del ajuste de numérico de una distribución Gumbel Mixta. Con el objeto de ejemplificar el procedimiento propuesto se utilizan los datos históricos de la estación 12504 denominada La Cuña en el estado de Jalisco. Los parámetros del algoritmo fueron xU=[1, 3000, 3000, 3000, 3000], xL=[1,0,0,0,0], HMS=30, NI=10000, HMCR=0.90, PAR=0.38; B=(xU-xL)/NI para iniciar el seudocódigo de la Tabla 2.
La Tabla 7 muestra el valor de los cinco parámetros de ajuste para la función Gumbel Mixta para el registro de caudales máximos anuales de la estación hidrométrica La Cuña, Jalisco. La Figura 16 muestra la precisión en el ajuste de los valores extremos cuando se utiliza la búsqueda armónica en la estimación de los parámetros de la distribución Gumbel Mixta univariada. De la misma forma que para los datos de la estación Santa Cruz, en las Figuras 17 y 18 se muestra la evolución en la convergencia de la función de optimización.
Tabla 7 Parámetros de ajuste para la función Gumbel Mixta para el registro de caudales máximos anuales de la estación hidrométrica La Cuña, Jalisco. México
| Metodología | P | λ1 (m 3 /s) | ε1 (m 3 /s) | λ2 (m 3 /s) | ε2 (m 3 /s) | EE |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Gomez et al. 2010 | 0.8965 | 292.311 | 157.143 | 1271.095 | 424.786 | 80.200 |
| Búsqueda Armónica | 0.8674 | 296.599 | 170.766 | 713.726 | 782.383 | 66.082 |
Figura 16 Optimización de la función Gumbel Mixta para la estación la Cuña, Jalisco utilizando el algoritmo de Búsqueda Armónica.
Por otro lado, en las Figuras 19 a 23 se muestra el comportamiento aleatorio de los parámetros de ubicación y escala para las muestras ciclónicas y no ciclónicas.
Discusión
El primer caso de estudio se refirió a la estación hidrométrica Santa Cruz, en la cual se ajustó en primera instancia la función de distribución Gumbel de una población para contrastar el algoritmo de Búsqueda Armónica respecto las metodologías convencionales de Momentos y Máxima Verosimilitud. Se pudo observar una disminución importante en el valor del Error Estándar de Ajuste, aunque gráficamente se aprecia un mejor desempeño del ajuste por Momentos e inclusive por Máxima Verosimilitud. Sin embargo, debe observarse que hubo una disminución en la magnitud de EE para el algoritmo de Búsqueda Armónica. Este mejor ajuste se debe principalmente a que se presenta un buen desempeño en la zona de caudales con valor de la variable reducida menor a 1.5. Es decir, no cumple para los caudales históricos máximos de la serie, generando un error importante de pronóstico en la zona final de la serie.
En cuanto a la convergencia del algoritmo se observa en la Figura 4 que se requiere de muy pocos procesos iterativos para llegar a la solución óptima. De igual manera en la Figura 5 se puede apreciar el promedio de las 40 armonías o combinaciones de valores de las variables evaluadas donde al irse eliminando la peor armonía las 39 restantes empiezan a reducir el valor de la función de optimización al compararse entre ellas, lo que garantiza una rápida convergencia, a pesar de que continua la exploración estocástica del espacio de solución definido por los valores de umbral en las variables de decisión y el número de iteraciones. En las Figuras 6 y 7 se aprecia cómo durante la búsqueda se alinean valores que corresponden a la mejor armonía o solución al problema generándose visualmente una línea de tendencia.
Al desarrollarse la optimización de la función Gumbel Mixta podemos apreciar de nueva cuenta que disminuye el valor del Error Estándar de Ajuste respecto de los métodos de momento y el Algoritmo de Rosenbrock. Con respecto a este último, la variación es mínima en el resultado pero visualmente podemos observar que el ajuste mejora su desempeño en la región de los caudales máximos de la serie pero presenta dificultades en la zona de los caudales mínimos. De igual manera presenta un buen desempeño de convergencia requiriendo aproximadamente 2000 iteraciones de las 10000 realizadas para optimizar los cinco parámetros de la función objetivo, (la evolución de las iteraciones se pueden ver en las Figuras 9 y 10) dado que rápidamente disminuye la diferencia de la ecuación 17 al evaluar las 40 armonías de la memoria armónica, con lo cual los parámetros ε1, λ1 y λ2 muestran mayor estabilidad en el proceso de exploración estocástica para definir su valor optimizado a diferencia de ε2 y P siendo este último parámetro el que requiere de más iteraciones para identificar el mínimo en correlación con los restantes.
Finalmente, al incrementar el tamaño de la serie temporal de caudales máximos podemos apreciar en la Figura 16 que el ajuste mediante el algoritmo de Búsqueda Armónica mejora significativamente en la zona de los caudales más pequeños sin descuidar la región de caudales mayores con cual se tiene un valor reducido del Error Estándar de Ajuste. en este caso particular podemos observar mayor estabilidad en la determinación de los parámetros P, ε 1 y λ 1 , los dos últimos asociados a los datos no ciclónicos, mientras que los parámetros ε 2 y λ 2 correspondientes a los datos ciclónicos manifiestan un mayor desequilibrio, particularmente en las primeras 2000 iteraciones reduciéndose paulatina y gradualmente.
Conclusiones
Los resultados muestran que el algoritmo de búsqueda armónica puede optimizar la función de distribución Gumbel tanto de una como de dos poblaciones (Gumbel Mixta), en el primero de los caso sin una diferencia notable respecto a los métodos convencionales de ajuste inclusive sin mejorar la tendencia ordenada mediante la variable reducida. Por otro lado, al considerar las poblaciones no ciclónica y ciclónica se aprecia un incremento importante en el desempeño del algoritmo propuesto para optimizar el ajuste y disminuir el error de ajuste; lo cual se ve potenciado en el uso de series históricas extensas de datos, por lo que su área de oportunidad se localiza precisamente en registros amplios. La Búsqueda Armónica debe ser considerada una opción viable y de aplicación generalizada para la futura estimación de parámetros de distribuciones de probabilidad empleadas en hidrología.
