Enunciación de la ley de Newcomb-Benford

Cuando se toma el primer dígito significativo o distinto de cero de mediciones numéricas con un rango amplio, se cumple la ley de Newcomb-Benford si la probabilidad de aparición del uno es 0.301, la del dos es 0.176, del tres es 0.125, del cuatro es 0.097, del cinco es 0.079, del seis es 0.067, del siete es 0.058, del ocho es 0.051 y del nueve es 0.046 - Benford, 1938; Newcomb, 1881- (ver Figura 1). Bajo esta ley, las probabilidades de la sucesión lineal de enteros positivos del uno al nueve que representa el primer dígito no nulo vienen dadas en una escala logarítmica que se puede calcular mediante la siguiente función de masa de probabilidad:

m = orden del dígito de izquierda a derecha del dato numérico x de la variable cuantitativa X. Si m = 1, se trata del primer dígito sin incluir el cero. En caso de que el primer dígito del número x sea 0, se toma el segundo, tercero o siguiente no nulo para especificar el primer dígito significativo, por ejemplo, x = 0.023 → d = 2.

La función de distribución acumulativa corresponde a la siguiente fórmula:

Las fórmulas de las funciones de masa de probabilidad f _Dm (d) y distribución acumulativa F _Dm (d) para el dígito en el orden m son las siguientes:

Funciones de masa de probabilidad y distribución acumulativa y medidas descriptivasdel primer dígito significativo

En la Tabla 1, se muestran las probabilidades puntuales o valores de la función de masa de probabilidad f _D1 (d) y probabilidades acumuladas o valores de la función de distribución acumulativa F _D1 (d) de una variable aleatoria discreta D₁ (primer dígito significativo) que sigue una distribución de Newcomb-Benford, NB(m = 1); además, aparecen los cálculos para obtener sus medidas descriptivas. Se computan cinco medidas de tendencia central: media aritmética (μ), media geométrica (μ_g), media armónica (μ_h), mediana (Mdn) y moda (Mo). Se calculan nueve medidas de variación. Por una parte, se proporcionan cuatro medidas aritméticas: varianza (σ²), desviación estándar (σ), coeficiente de variación (CV), y desviación media absoluta (DMA). Por otra parte, se suministran tres medidas geométricas: varianza (σ_g ²), desviación estándar (σ_g) y coeficiente de variación (CV). Adicionalmente, se complementa con la desviación mediana absoluta (DMEA) y entropía estandarizada o eficiencia (η). Finalmente, se valora la forma mediante dos medidas basadas en momentos centrales estandarizados: coeficiente de asimetría (√β₁) y exceso de curtosis (β₂−3), las cuales se denotan con la notación original de ^{Pearson (1895)}, así como mediante las medidas de asimetría y curtosis adaptativas y robusta de ^{Hogg (1974)}, que se denotan por AAR y CAR, respectivamente.

De las dos fórmulas propuestas por ^{Hogg (1974)} para medir la curtosis, se usa la recomendada por ^{Bono et al. (2020)} por su mayor exactitud. Siguiendo a ^{Reed y Stark (1996)}, valores de AAR menores que 0.7 evidencian asimetría negativa o hacia la cola izquierda, entre 0.7 y 1.4 simetría y mayores que 1.4 asimetría positiva o hacia la cola derecha. ^{Hogg et al. (1975)} y ^{Reed y Stark (1996)} sugirieron que valores de CAR menores que 1.81 revelan colas ligeras (platicurtosis), entre 1.81 y 1.87 medias (mesocurtosis) y mayores que 1.87 pesadas (leptocurtosis).

Cálculo de la probabilidad del valor 1 para el primer dígito significativo (Tabla 1):

Medidas de tendencia central: la media aritmética es ligeramente mayor que la mediana y claramente mayor que la moda, lo que evidencia asimetría positiva.

Medidas de variación: la variabilidad es media con un coeficiente de variación menor que 0.8 y una desviación media absoluta y una desviación mediana absoluta que corresponden a un cuarto del rango: R(D₁)/4 = [Max(D₁) - Min(D₁)]/4 = (9 - 1)/4 = 2. La entropía estandarizada es alta al alcanzar un valor próximo al máximo de 1.

Medidas de la forma: la distribución muestra asimetría positiva o hacia la cola derecha y ligera platicurtosis o colas acortadas con base en √β₁ y β₂. Los índices adaptativos y robustos de ^{Hogg (1974)} también revelan asimetría hacia la cola derecha (AAR = 3.298 > 1.4) y colas acortadas (CAR = 1.625 < 1.81).

Media aritmética del 5 % de los datos inferiores: MI _5% (D₁) = 1

Centrimedia o media truncada al 25 % a cada lado:

MT _25% (D₁) = [1×(0.301−0.25)+2×0.176+3×0.125+4×0.097+5×(0.75−0.699)]/0.5 = 2.842

Media aritmética del 5 % de los datos superiores:

MS _5% (D₁) = [9×0.046+8×(0.05−0.046)]/0.05 = 8.915

Media aritmética del 20 % de los datos inferiores: MI _20% (D₁) = 1

Media aritmética del 50 % de los datos inferiores:

MI _50% (D₁) = [1×0.301+2×0.176+3×(0.5−0.477)]/0.5 = 1.444

Media aritmética del 50 % de los datos superiores:

MS _50% (D₁) = [9×0.046+8×0.051+7×0.058+6×0.067+5×0.079+4×0.097+3×(0.5−.398)]/0.5 = 5.437; P(d ≥ 4) = 0.046 + 0.051 + 0.058 + 0.067 + 0.079 + 0.097 = 0.398

Media aritmética del 20 % de los datos superiores:

MS _20% (D₁) = [9×0.046+8×0.051+7×0.058+6× (0.2−0.046−0.051−0.058)]/0.2 = 7.488

Funciones de masa de probabilidad y distribución acumulativa, y medidas descriptivas para los dígitos significativos que siguen al primero

En la Tabla 2, se presenta el cálculo de las probabilidades puntuales de cada uno de los valores discretos del soporte de la variable D₂, que corresponde a la suma por columna.

En la Tabla 3, se muestran las probabilidades puntuales o valores de la función de masa de probabilidad y probabilidades acumuladas o valores de la función de distribución acumulativa del segundo al cuarto dígito.

En la Tabla 4, se resumen los descriptivos previamente calculados con la distribución del primer dígito y se presentan los correspondientes de las distribuciones del segundo, tercer y cuarto dígito. Debido a que el cero está incluido en el soporte de estas tres últimas distribuciones, la media, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación geométricos, y la media armónica no se pueden calcular. Se añaden otras medidas: basadas en la distancia estandarizada de la media a la moda o mediana (^{Pearson, 1894}: A _P1 = [μ−Mo]/σ; y Pearson, 1895: A _P2 = [μ−Mdn]/σ) y basadas en cuantiles (asimetría intercuartílica A _IC , asimetría percentílica A _P ), así como la curtosis percentílica centrada en 0 (CPC = CP - 0.263), en la que valores positivos indican colas ligeras y los negativos colas pesadas (^{Kelley, 1947}). En esta misma tabla, se incluyen los descriptivos de la distribución uniforme discreta U{0, 9}. Se puede observar que las distribuciones de los órdenes sucesivos del primero al cuarto se van haciendo más simétricas y platicúrticas y los descriptivos de la distribución de Newcomb-Benford para el cuarto dígito prácticamente coinciden con los de la distribución uniforme, así la distribución del dígito significativo en orden m converge a una distribución uniforme, en la que la probabilidad puntual de cada uno de los diez dígitos es de un décimo. Salvo las percentílicas, estas medidas no reflejan la tendencia mencionada, por lo que son inadecuadas para la distribución de Newcomb-Benford.

La función de Newcomb-Benford para dos o más dígitos significativos

Las fórmulas de la distribución de Newcomb-Benford del primer dígito permiten el cálculo de las probabilidades para dos o más dígitos significativos. Como en la distribución del primer dígito significativo, se puede calcular la media, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación geométricos, así como la media armónica, ya que no aparece el cero. En el caso de dos dígitos, el soporte de la distribución empieza en diez y se termina en 99. En la medida que se incrementa el número de dígitos, converge a una distribución uniforme discreta.

Medidas de tendencia central: La media aritmética es mayor que la media y mucho mayor que la moda, que es el primer valor. La media geométrica y la mediana toman valores muy próximos.

Medidas de variación: Las medidas de variación geométricas presentan valores muy bajos en comparación con las aritméticas y la desviación mediana absoluta.

Medidas de la forma: se observa asimetría positiva y platicurtosis por ambos índices.

Explicación de la ley de Newcomb-Benford

Se podría argumentar que la ley de Newcomb-Benford responde a un artefacto relacionado con la transformación logarítmica con base decimal de los dígitos. En contra de esta crítica, la distribución aparece con cualquier tipo de base logarítmica con tal de que la base sea mayor o igual que dos; es invariante a la unidad de medida de la variable cuantitativa y es específica a distribuciones con ciertas características (^{Berger y Hill, 2020}).

Requiere de muestras aleatorias grandes de mediciones cuantitativas (de 100 o más y de preferencia 500 o más datos) y el hecho de que sean heterogéneas en cuanto a fuentes de procedencia facilita el cumplimiento (^{Benford, 1938}). Los números deben abarcar un rango amplio y facilita que tengan varianza grande (^{Szabo et al., 2023}). Muestras pequeñas (sobre todo menores de 30, incluso menores de 100 datos) con varianza reducida y de una única fuente, especialmente con restricciones y acotamientos impuestos, dificulta que se dé la ley de los primeros dígitos de Newcomb-Benford (1938).

Así, los ordenamientos secuenciales y mediciones con restricciones que limitan el rango e imponen valores mínimos y máximos no cumplen la ley (^{Cerqueti y Maggi, 2021}). Los índices multiplicativos suelen seguir la ley (^{Berger y Hill, 2020}). Si el soporte de la distribución son los números reales positivos, la media es mayor que la mediana, de preferencia al menos el doble, hay una única moda y la distribución muestra asimetría positiva, como la exponencial, es más fácil que se cumpla la ley (^{Lesperance et al., 2016}). El que la distribución esté truncada y sea simétrica lo dificulta (^{Fang, 2022}). También la mixtura de distribuciones facilita el cumplimiento de la ley o al menos que se dé una convergencia distribucional en la medida que se agregan más distribuciones (^{D’Alessandro, 2020}).

El primer dígito significativo de distribuciones simétricas con soporte en el intervalo (−∞, ∞), como la normal, no sigue la distribución de Newcomb-Benford, pero sí su transformación logarítmica (^{Fang, 2022}). Asimismo, si dichas variables simétricas se estandarizan y se elevan a la potencia de diez, también se cumple la ley (^{Scott y Fasli, 2001}). La distribución uniforme incumple la ley, pero no el cociente entre dos distribuciones uniformes independientes (^{Volčič, 2020}). Las distribuciones platicúrticas con parámetros de umbral, como la semicircular, la incumplen, pero su mixtura la puede cumplir (^{D’Alessandro, 2020}).

Si una muestra al ser transformada a escala logarítmica presenta una amplia dispersión y se observa que los intervalos de números con el mismo primer dígito significativo tienen un ancho homogéneo y proporcional a su probabilidad en la distribución de Newcomb-Benford, entonces se cumple bien la ley (^{Coracioni, 2020}). Por el contrario, se incumple si la dispersión en la escala logarítmica es pequeña y la altura de los intervalos de los números con el mismo primer dígito significativo, pero no su ancho, es proporcional a la probabilidad de la ley (^{Fewster, 2009}).

De estas regularidades se colige que la ley de Newcomb-Benford responde al teorema multiplicativo del límite central, lo que la relaciona con la distribución lognormal (^{Formann, 2010}). Cuando un fenómeno medido con una variable cuantitativa está determinado por diversas causas con efecto multiplicativo, a medida que se acumula más este efecto de dispersión, mejor se ajusta a la ley de Newcomb-Benford (^{Cerqueti et al., 2022}; ^{Scott y Fasli, 2001}).

Contraste del ajuste de muestras de datos continuos a la ley de Newcomb-Benford

Para comprobar si una colección de datos o una muestra aleatoria de una variable cuantitativa X cumple la ley de Newcomb-Benford, se pueden aplicar pruebas de bondad de ajuste, como las pruebas chi al cuadrado de ^{Pearson (1900)} y G o de la razón de verosimilitud (^{Fisher, 1929}; ^{Woolf, 1957}), como sugieren ^{Eichhorn (2022)}. Aparte de estas dos pruebas de bondad de ajuste, está la prueba D de ^{Kolmogorov (1933)} y ^{Smirnov (1948)} con la transformación de ^{Stephens (1986)} o con los puntos críticos de ^{Campanelli (2024)}. Esta tercera prueba se fundamenta en la distancia máxima entre la función de distribución acumulativa empírica y la teórica. También, están las pruebas W² de Cramer y von Mises, A² de Anderson y Darling, y U² de Watson en su variante para distribuciones discretas (^{Cerasa, 2022}; ^{Lesperance et al., 2016}; ^{Lockhart et al., 2007}). Estas últimas tres pruebas se basan en el cuadrado de la distancia ponderada entre la función de distribución acumulativa empírica y la teórica.

Para ser más específicos cuando se determina la desviación entre los datos y el modelo, se pueden calcular intervalos de confianza simultáneos para las probabilidades puntuales de los nueve valores de la distribución empírica del primer dígito significativo. Con base en un estudio de simulación, ^{Lesperance et al. (2016)} recomiendan usar el método de ^{Goodman (1965)} para estas estimaciones por intervalo, debido a su potencia y adecuación, así como la prueba U² de Watson para el contraste del ajuste del primer dígito significativo al modelo de probabilidad de Newcomb-Benford.

Las seis pruebas de bondad de ajuste aplicadas a la distribución de Newcomb-Benford, mencionadas en el párrafo anterior, así como el cálculo de intervalos de confianza simultáneos por el método de ^{Goodman (1965)} se ilustran mediante un ejemplo de datos simulados.

Método del ejemplo

Se creó una muestra de 200 datos con distribución normal estándar Z (con media 0 y varianza unitaria) mediante el generador de números aleatorios del programa Excel 2021. El rango de valores varió de un mínimo de -2.16 a un máximo de 2.65. Se aplicó una transformación lineal para convertir la variable Z en una variable X con distribución normal de media 5.5 y desviación estándar 2 (X = 5.5 + 2 × Z), a semejanza de una variable psicológica de capacidad o temperamento en escala de decatipos o estandarización en 10 puntos (^{Gunver, 2022}), pero no discretizada, sino con rango continuo. Tras la transformación de Z, el rango de X varió de 1.18 a 10.80. Finalmente, se realizó una transformación exponencial de X para convertirla en una variable Y con distribución lognormal: Y = e^X _. Tras la transformación de X, el rango de Y varió de 3.25 a 48,989.98. Se tomó el primer dígito significativo (no nulo) de cada número de X (D_X) e Y (D_Y).

A continuación, se contrastó el ajuste a la distribución de Newcomb-Benford de D_X y D_Y con un nivel de significación del 5 % mediante las pruebas chi al cuadrado de Pearson, G de Woolf, D de Kolmogorov, W ² de Cramer y von Mises, A ² de Anderson y Darling y U ² de Watson. Se tenía como expectativa que D_X mostrara mal ajuste a la distribución de Newcomb-Benford por proceder de una variable con distribución normal, pero que D_Y tuviera buen ajuste por proceder de una variable con distribución lognormal (^{Fang, 2022}; ^{Scott y Fasli, 2001}). En la Tabla 5, se muestran los valores críticos para las seis pruebas de contraste usadas.

Hipótesis estadísticas y supuestos de las pruebas de bondad de ajuste

Hipótesis estadísticas comunes para las seis pruebas:

X ~ N(μ = 5.5, σ² = 4) D_X Y ~ Lognormal(μ_lnY = 5.5, σ² _lnY = 4) D_Y

D_X = primer dígito significativo de X D_Y = primer dígito significativo de Y

H₀: D_X ~ NB(m = 1) H₀: D_Y ~ NB(m = 1)

H₁: D_X ≁ NB(m = 1) H₁: D_Y ≁ NB(m = 1)

Supuestos comunes para las seis pruebas:

Supuesto 1: el primer dígito significativo procede de una variable cuantitativa. En el presente ejemplo, X es una variable cuantitativa que mide el rendimiento en una prueba de aptitud en un continuo de cero a diez, con lo que se cumple el supuesto. Y es una transformación exponencial de X, por lo que también es una variable cuantitativa continua.

Supuesto 2: muestra aleatoria o de datos independientes de la variable cuantitativa de procedencia. La prueba de rachas de ^{Wald y Wolfowitz (1943)} permite mantener el supuesto de datos independientes o sin correlación serial (secuencia aleatoria) con un nivel de significación del 5 %, tanto en la muestra de X como en la muestra de Y que es una transformación exponencial de X: R = número de rachas = 111; número de datos muestrales menores que el criterio = n ₁ (d < Mdn) = 100; n ₂ = número de datos muestrales mayores o iguales que el criterio (d ≥ Mdn) = 100; z = [r − E(R)] / DE(R) = (111−101) / 7.053 = 1.418, p (asintótica a dos colas) = 2 × [1 − P(Z ≤ z)] = 0.136 > α = 0.05 en ambas variables.

Supuesto 3: muestra grande. Usualmente se emplean muestras de al menos 100 datos para comprobar que una variable numérica X cumple la ley de Newcomb-Benford, con lo que una muestra con un tamaño n menor que 100 se considera pequeña para este fin. En sí, una muestra de 98 datos numéricos cumple el requisito de la prueba chi al cuadrado de que al menos el 80 % de las frecuencias absolutas esperadas (n × f _e ) sean mayores o iguales que 5 y ninguna menor que 1. En este ejemplo, las muestras para X e Y están constituidas por 200 datos, por lo que no son muestras pequeñas.

Estadístico de contraste, intervalos de confianza simultáneos y decisión de estadística

Se inicia con D_X. Conforme a la expectativa, se rechaza la hipótesis nula de bondad de ajuste mediante las seis pruebas de contraste. Véanse los cálculos de los estadísticos de contraste basados en probabilidades puntuales (chi al cuadrado y G) en la Tabla 6, de los estadísticos basados en probabilidades acumulativas (D_K, W², U² y A²) en la Tabla 7 y los puntos críticos de las seis pruebas en la Tabla 5. La muestra aleatoria de la variable cuantitativa continua X no cumple la ley de Newcomb-Benford, ya que procede de una variable con distribución normal. Cuando se estiman los intervalos de confianza simultáneos al 95 % para las probabilidades puntuales observadas de los nueve dígitos significativos de primer orden por el método de ^{Goodman (1965)}, resulta que los dígitos uno y dos tienen probabilidades significativamente menores que las esperadas y los dígitos cuatro, cinco, seis y siete tienen probabilidades significativamente mayores que las esperadas, por lo que su ocurrencia en la muestra no corresponde al modelo de probabilidad de Newcomb-Benford (Tabla 6).

p _e (d = 1) = 0.301 ∉ [0.013, 0.092], por lo que la frecuencia del dígito 1 no corresponde a la probabilidad esperada por la ley de Newcomb-Benford.

Prueba chi al cuadrado de ^{Pearson (1900)}. Véanse Tablas 5 y 6.

Prueba de la razón de verosimilitud de ^{Fisher (1929}) o prueba G de ^{Woolf (1957}). Véanse Tablas 5 y 6.

Prueba D de ^{Kolmogorov (1933)} y ^{Smirnov (1948)} con los puntos de críticos K _α ^* de ^{Campanelli (2024)} y con la transformación D_S de ^{Stephens (1986)}. Véanse Tablas 5 y 7.

Prueba W² de Cramer y von Mises, U² de Watson y A² de Anderson y Darling para distribuciones discretas (^{Lockhart et al., 2007}). Véanse Tablas 5 y 7.

Conforme a la expectativa, se mantiene la hipótesis nula de bondad de ajuste con D_Y (primer dígito significativo de Y) mediante las seis pruebas, con lo que Y cumple la ley de Newcomb-Benford (ver Tabla 8).

Pruebas chi al cuadrado y de la razón de verosimilitud o G (Tablas 5 y 8):

Prueba D de ^{Kolmogorov (1933)} y ^{Smirnov (1948)} con los puntos de críticos K_α ^* de ^{Campanelli (2024)} y con la transformación D _S de ^{Stephens (1986)}.

Pruebas W ² , U ² y A ² para distribuciones discretas (Tablas 5 y 8).