1. INTRODUCIÓN

La degradación es un proceso complejo y dinámico, en lo que los agentes y mecanismos de degradación actúan en sinergia y se encuentran en constante cambio. Los estados actual y futuro de las construcciones presentan grados distintos de incertidumbre. Para intentar superar esta dificultad, a veces es necesario recurrir a un abordaje estocástico en la previsión de la vida útil (^{Frangopol et al., 2004}). En general, esto tipo de abordaje conlleva una complejidad elevada y parte de la premisa de que la deterioración es un proceso regido por variables aleatorias (^{Moser, 2003}). Así, se puede mirar a la degradación como un proceso continuo de pierda de desempeño, que evoluciona de forma probabilística en el tiempo. El fenómeno de degradación puede aún ser descrito como la transición entre estados de condición, caracterizados por diferentes niveles de degradación (^{Basso et al., 2012}). Las cadenas de Markov son uno de los métodos que permiten evaluar, de modo estocástico, la condición futura de los revestimientos de fachada. Las cadenas de Markov simulan la evolución de la degradación de las construcciones y permiten definir la probabilidad de desempeño futuro de un elemento de la construcción con base tan solo en su desempeño actual, ignorando la historia de deterioración y de mantenimiento del elemento, su edad, además de otros parámetros (^{Neves et al., 2006}).

En este estudio, se aplica a la previsión de la vida útil de revestimientos pétreos un modelo basado en las cadenas de Markov, permitiendo el análisis de la distribución probabilística de cada una de las condiciones de degradación en el tiempo (y también el tiempo mediano de permanencia en cada condición de degradación). A demás, es analizada la influencia de algunas características de los revestimientos en la evolución de su proceso de degradación. Este tipo de modelo es crucial en el ámbito del mantenimiento del patrimonio construido, porque fornece datos relativos al más probable instante en el que fallan los revestimientos, función de sus características y de la edad en la que es extremamente improbable la rotura de estos elementos, englobando la noción de riesgo asociada al fallo de los revestimientos, posibilitando de este modo una definición informada de los planos de mantenimiento y de los periodos de garantía y de cobertura de danos por parte de las aseguradoras.

2. DEGRADACIÓN DE LOS REVESTIMENTOS PÉTREOS

Las cadenas de Markov se basan en un conjunto de estados discretos que caracterizan el desempeño de las construcciones. Existen distintos métodos para la evaluación del estado de degradación de los edificios y de sus componentes, que varían según la jerarquía de los elementos de la construcción y la definición de parámetros de condición asociados a los fallos (^{Straub, 2003}). Diversos autores han establecido sistemas de clasificación de las anomalías o escalas de degradación para expresar la degradación visual y funcional de los elementos analizados (^{Balaras et al., 2005}; ^{Shohet et al., 1999}); en estos sistemas se incluye la clasificación de los fallos a través de una escala de variables discretas, desde el nivel de condición más favorable (situaciones de ausencia de degradación visible) hasta la situación más desfavorable (degradación extensa o pierda de funcionalidad). En el presente estudio, ha sido adoptada una escala con 5 niveles de degradación (entre la condición A - sin degradación visible - y la condición E - degradación generalizada). Esta clasificación relaciona el estado de degradación de los revestimientos en piedra y la evaluación física y visual de las fachadas en el momento de la inspección ("Tabla 1").

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

En esto estudio, han sido inspeccionados 203 revestimientos en piedra natural (con fijación directa al suporte) en condiciones reales de utilización. Para tal, se han hecho solamente inspecciones visuales, evaluando in situ las características de los revestimientos, su estado de conservación (según la escala presentada en la Tabla 1, que atribuye a los revestimientos inspeccionados un dado nivel de degradación, función del área del revestimiento afectada y del tipo de anomalía), de sus características de exposición ambiental y de las condiciones de mantenimiento. La muestra analizada contiene edificios de los siglos XIX y XX, destinados a distintos usos: habitacionales, comercio o servicios. La muestra ha sido seleccionada de modo aleatorio; sin embargo se ha buscado una muestra coherente y representativa del tipo de piedra natural presente en los revestimientos existentes en Portugal. A demás, la muestra obtenida presenta un largo abanico de edades, en el que el edificio más reciente tiene solamente 1 año y el edificio más antiguo tiene 82 años, lo que permite evaluar con más rigor el proceso de envejecimiento y degradación de los elementos analizados. En el presente estudio, se asume que la edad es obtenida según el período de tiempo que transcurre desde la última reparación hasta la fecha de la inspección (ya que una intervención en el revestimiento deberá reponer las características iniciales, reempezando así su proceso de degradación, desde el punto de vista de los modelos de previsión de vida útil). En esta muestra, ninguno de los casos estudiados pertenece a la condición de degradación más desfavorable (condición E). La "Figura 1" ilustra las distintas condiciones de degradación caracterizadas en la Tabla 1.

Figura 1 Condiciones de degradación de los revestimientos pétreos 

4. ANÁLISIS PROBABÍLISTICA DE LA DEGRADACIÓN DE LOS REVESTIMIENTOS PÉTREOS EN EL TIEMPO

En esto estudio, se usa la función fmincon (constrained nonlinear optimization) presente en el software MATLAB para obtener la matriz intensidad (Q), que permite obtener la transición entre estados de degradación, acorde el estado original y la taja de transición entre el estado actual y el estado futuro. Con base en las tajas de transición entre condiciones de degradación, la probabilidad de transición entre estados de degradación puede ser obtenida a través de la ecuación diferencial de Chapman-Kolmogorov. La matriz de intensidad es obtenida a través de la maximización del algoritmo de verosimilitud (^{Carrington et al., 2005}), tal como se presenta en la ecuación (1), siendo para tal utilizado en esto estudio el algoritmo numérico de conjunto activo (active-set numerical algorithm, presente en la función fmincon) (^{Kalbfleisch e Lawless, 1985}). Con el objetivo de mejorar la estabilidad del algoritmo de optimización, se maximiza el algoritmo de verosimilitud (^{Fletcher e Powell, 1963}; ^{Higham e Higham, 2005}), como representado en la ecuación (1). La matriz Q obtenida para los revestimientos en piedra es dada por la ecuación (2).

1

2

A través de la matriz intensidad (Q) es posible estimar el tiempo de permanencia en cada estado de degradación ("Figura 2"). Los revestimientos en piedra transitan con más rapidez entre estados de condición más favorables. Este resultado está directamente relacionado con la definición de los estados de degradación. Es normal que la transición entre estados de degradación no se haga de modo uniforme, ya que los estados de condición siguen una escala que tampoco es constante. La condición A de degradación (más leve) corresponde a un revestimiento pétreo sin apenas deterioración y, por tanto, para que un revestimiento en piedra transite para lo siguiente nivel basta con que presente cambios en la uniformidad de la superficie o manchas puntuales. Parece por eso razonable que la transición de la condición A para la siguiente condición ocurra en media en solamente 4,5 años.

Figura 2 Representación del tiempo medio de permanencia en cada condición de degradación para los revestimientos pétreos 

La distribución probabilística de la condición de degradación de los revestimientos en piedra en el tiempo es presentada en la "Figura 3". La probabilidad de pertenencia a la condición A disminuye en el tiempo, siendo prácticamente nula (menos de 2%) a partir del año 8. La probabilidad máxima (79,2%) de pertenencia a la condición B de degradación ocurre en el año 12 y luego decrece. En cuanto a la condición C, el pico máximo de probabilidad de pertenencia a esta condición es atingido entre los años 71 y 73 (con una probabilidad de 46,1%). Por fin, la probabilidad de pertenencia a la condición D aumenta en el tiempo, siendo inferior a 10% antes del año 41 y superior a 60% a partir del año 145.

Figura 3 Distribución probabilística de la condición de la degradación de los revestimientos en piedra en el tiempo 

La "Tabla 2" presenta la probabilidad de pertenencia de los revestimientos en piedra a cada una de las condiciones de degradación según su edad.

Entre los años 3 y 4, es semejante la probabilidad de un revestimiento en piedra pertenecer a las condiciones A y B. Entre los años 49 y 50, es idéntica la probabilidad de pertenencia a las condiciones B y C. Entre los años 103 y 104, es semejante la probabilidad de pertenencia a las condiciones C y D. En estos intervalos de tiempo, se verifica una más grande probabilidad de transición entre las condiciones de degradación.

Para testar la eficacia del modelo obtenido a través de las cadenas de Markov, se compara el número de casos que pertenecen a cada uno de los estados de degradación dados por aquél y observados en trabajo de campo ("Tabla 3"). El error porcentual obtenido es relativamente bajo, dada la complejidad del fenómeno en análisis.

5. ANÁLISIS PROBABILÍSTICA DE LA DEGRADACIÓN DE LOS REVESTIMIENTOS PÉTREOS, SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS

Algunas características de los revestimientos en piedra condicionan de forma significativa su durabilidad. Por eso, se definen distintos modelos de cadenas de Markov que permiten analizar la probabilidad de pertenencia a cada condición de degradación, en el transcurso del tiempo y en función de esas características. Se analizan las siguientes variables: (a) tipo de piedra; (b) tipo de acabado; (c) dimensión de la placa de piedra; (d) exposición a la humedad; (e) cercanía del mar. La discusión de los resultados obtenidos se encuentra en la sección 5; de seguida se presentan algunas consideraciones relativas a la durabilidad de los revestimientos en piedra, función de sus características.

5.1 Tipo de piedra

^{Koch e Siegesmund (2004)} refieren que la durabilidad es un requisito fundamental a considerar cuando se especifica piedra natural como material de revestimiento, principalmente en revestimientos exteriores, expuestos a agentes ambientales de degradación. Así, es relevante la análisis de la influencia del tipo de piedra en la progresión de la degradación en los revestimientos. En la "Figura 4" se presenta la distribución probabilística de la condición de degradación en el tiempo, según el tipo de piedra utilizada en el revestimiento. Las piedras calcáreas son las que se quedan más tiempo en la condición A de degradación; para los restantes tipos de piedra, es semejante el tiempo de permanencia en esta condición. En cuanto a la condición B, para los revestimientos calcáreos, la probabilidad máxima (P = 85,2%) de pertenencia en esta condición ocurre en el año 7; para los revestimientos de mármol, la probabilidad máxima (P = 73,7%) se alcanza en el año 12 y para los revestimientos de granito la probabilidad máxima (P = 83,5%) ocurre en el año 18. Respecto en nivel C, los revestimientos en mármol alcanzan su probabilidad máxima de (P = 4,7%) pertenencia a esta condición entre los años 55 y 56, los revestimientos calcáreos alcanzan esa cumbre (P = 52,5%) entre los años 66 y 67 y los revestimientos de granito la alcanzan (36,7%) entre los años 105 y 108 (significativamente después). La más grande probabilidad de transición entre las condiciones B y C se da entre los años 37 y 38 para los revestimientos calcáreos, entre los años 40 y 41 para los mármoles; y entre los años 106 y 108, para los granitos.

Figura 4 Distribución probabilística de la condición de la degradación en el tiempo, función del tipo de piedra 

5.2 Dimensión de la placa de piedra

En la "Figura 5" se presenta la distribución probabilística de pertenencia a cada condición en transcurso del tiempo, función de la dimensión de la placa de piedra.

Figura 5 Distribución probabilística de la condición de la degradación en el tiempo, función de la dimensión de la placa de piedra 

Los revestimientos en piedra con placas de dimensiones más grandes (A≥0,4 m²⁾ tienen una probabilidad máxima de pertenencia a la condición B sobre los 13 años de edad (P = 71,1%) y de pertenencia a la condición C entre los años 54 y 54 (P = 44,6%). Estos revestimientos presentan una probabilidad máxima de transición entre las condiciones B y C entre los años 39 y 40 y entre las condiciones C y D entre los años 73 y 74. Por su turno, los revestimientos con placas en piedra de dimensiones medianas (A <0,4 m²⁾ presentan una probabilidad máxima de pertenencia a la condición B sobre los 13 años de edad (P = 83,2%) y la probabilidad de pertenencia a la condición C alcanza su cumbre entre los años 86 y 88 (P = 43,8%). Para estos revestimientos, la transición entre condiciones B y C tiene más probabilidad de ocurrencia entre los años 64 y 65, mientras la transición entre las condiciones B y C presenta más grande probabilidad de darse entre los años 1221 y 122.

5.3 Exposición a la humedad

En la "Figura 6" se enseña la distribución probabilística de pertenencia a cada condición en el transcurso del tiempo, función de la exposición a la humedad. En la definición del grade de exposición de los revestimientos en piedra a la humedad se consideran dos categorías: (i) baja exposición, para edificios ubicados en contexto urbano, distando más de 5km del mar y sin la influencia de vientos dominantes; (ii) edificios en zonas de costa, sin protección de la acción conjunta de viento y lluvia. Los revestimientos con alta exposición a la humedad cambian más rápidamente de la condición más favorable (condición A) para la siguiente. Para revestimientos con alta exposición a la humedad, la probabilidad de pertenencia a la condición B alcanza su cumbre sobre el año 8 (P = 83,3%) y la probabilidad de pertenencia a la condición C lo alcanza entre los años 51 y 52 (P = 38,7%). Los revestimientos con una baja exposición alcanzan probabilidades máximas (P = 72,7%) de pertenencia a la condición B en el año 17 y a la condición C (P = 48,4%) en el año 80.

Figura 6 Distribuición probabilística de la condición de la degradación en el tiempo, función del grado de exposición a la humedad 

5.4 Proximidad del mar

La "Figura 7" presenta la distribución probabilística de la condición de la degradación en el transcurso del tiempo, función de la proximidad del mar. La probabilidad y tiempo de permanencia en la condición más favorable (A) son prácticamente los mismos para las fachadas ubicadas más de 5km y menos de 5km del mar. Para fachadas localizadas en la zona costera, las máximas probabilidades de pertenencia a la condición B es de 71,7% en el año 10 y a la condición C es de 43,1% en al año 43. Los revestimientos ubicados a 5km o más del mar alcanzan una máxima probabilidad de pertenencia a la condición B de 84,6% en el año 13 en una máxima probabilidad de pertenencia a la condición C de 41,3% entre los años 92 y 94.

Figura 7 Distribuición probabilística de la condición de la degradación en el tiempo, función da proximidad del mar 

6. DISCUSION DE LOS RESULTADOS

En la "Tabla 4" se presenta la probabilidad de pertenencia a cada condición de degradación para los revestimientos en piedra natural, función de las variables consideradas. Los resultados obtenidos son coherentes y creíbles desde un punto de vista físico, permitiendo las conclusiones principales siguientes:

Los límites superior e inferior de las condiciones C y D corresponden respectivamente al límite máximo admisible de degradación, que se asume en esto estudio como el fin de la vida útil de los revestimientos de fachada. Así, la máxima probabilidad de transición entra la condición C y la condición D marca el instante con más grande probabilidad de ser alcanzar el final de la vida útil de los revestimientos en piedra. Para la muestra global, este instante se da entre los años 103 y 104. En lo que respecta al tipo de piedra, máxima probabilidad de transición entra la condición C y la condición D ocurre: sobre el año 109, para los revestimientos calcáreos, entre los años 77 y 78, para los mármoles; y entre los años 131 y 132 para los revestimientos de granito. Los resultados indican que los granitos son el tipo de piedra más durable, seguidos de los calcáreos y de los mármoles; esta conclusión confirma un estudio realizado por ^{Schouenborg et al. (2007)}, en el que se analizan 200 edificios, se testa la resistencia mecánica de la piedra natural, a través de ensayos de laboratorio e in situ, y se obtienen resultados semejantes. Los revestimientos con placas de piedra de dimensiones medianas cambian del nivel C para el D bastante más tarde (entre los años 121 y 122) que los revestimientos con placas de grandes dimensiones (entre los años 73 y 74). De hecho, los revestimientos con placas de grandes dimensiones alcanzan más rápidamente el fin de su vida útil ya que cuanto más grandes las dimensiones de las placas de piedra, menor es el área ocupada por las juntas, lo que puede originar una más grande concentración de tensiones; por otro lado, placas de más grande dimensión corresponden a elementos más pesados, lo que exige igualmente más grandes espesuras de placa para evitar su fractura luego en la fase de transporte y colocación en obra (^{Silva et al., 2012}). En lo que respecta al grado de exposición a la humedad, la transición entre las condiciones C y D tiene más grande probabilidad de darse entre los años 65 y 66, para revestimientos con alta exposición, y entre los años 118 y 119, para revestimientos con baja exposición, lo que confirma la tendencia de una más rápida degradación de los revestimientos con alto grado de exposición. Para los revestimientos en zonas de costa, la transición entre condiciones B y C tiene más grande probabilidad de darse entre los años 32 y 33, mientras la transición entre las condiciones C y D ocurre con más probabilidad entre los años 57 y 58. Ya los revestimientos localizados lejos de la costa (más de 5km) tienen más grande probabilidad de transición entre las condiciones B y C entre los años 75 y 76 y una más grande probabilidad de transición entre las condiciones C y D entre los años 124 y 125. Los revestimientos en zonas de costa son más propensos a más elevados índices de degradación debido a su exposición a vientos que contienen sales marinos nocivos para la piedra natural.

La distribución de probabilidad de la condición de degradación de los revestimientos en piedra en el transcurso del tiempo pode también ser interpretada como un modo de evaluación de riesgo del desempeño de las fachadas debido al proceso de su degradación. Así, definiendo el límite de riesgo que considera aceptable, cualquier actor / decidor en el proceso constructivo puede visualizar las necesidades de reparación basadas en el análisis probabilística de un conjunto de datos. Para ilustrar esto concepto, puede considerarse que las probabilidades "alta", "mediana" y "baja" de pertenencia a una dada condición corresponden a un riesgo "alto", "mediano" y "bajo" asociado a las consecuencias de los fallos detectados y al coste de reparación, lo que permite una indicación de la urgencia de las acciones de mantenimiento y reparación. Se considera que un riesgo bajo (no son requeridas acciones sino una monitorización de la evolución de la degradación de la fachada) corresponde a P>75% de pertenencia a las condiciones A o B. Un riesgo alto (necesaria una reparación generalizada) corresponde a P>25% de pertenencia a la condición "D"; y un riesgo mediano corresponde a las situaciones intermedias. Con base en los resultados obtenidos y en función de los presupuestos anteriormente asumidos, se puede hacer algunas recomendaciones: i) los revestimientos en piedra deben de ser monitorizados antes de los 20 años; ii) deben de ser realizados trabajos de reparación antes de los 70 años; iii) a partir de los 70 años, si no hay intervención, se puede considerar la substitución de los revestimientos.

7. CONCLUSIÓN

En la modelación de la vida útil, es relevante conocer a la taja de transición entre estados de degradación, antever el comportamiento del elemento en estudio y prever el momento a partir del que él no dará respuesta a las exigencias para las que ha sido proyectado.

En el presente estudio, el desempeño futuro de los revestimientos en piedra es previsto a través de la utilización de las cadenas de Markov, que corresponden a un modelo estocástico con ancha utilización en el dominio de la modelación de la durabilidad, que necesita de poca información en su calibración. Los modelos propuestos en esto estudio consiguen fornecer indicaciones relativas a un proceso complejo, como lo es la degradación de las fachadas, y dan información relativa a la sinergia entre los agentes de degradación (como es el caso de las condiciones de exposición ambiental) y las condiciones o niveles de degradación. A demás, el presente estudio nos da información relativa a la distribución probabilística de la condición de los revestimientos en el transcurso del tiempo (y función de sus características más relevantes), así como el conocimiento del tiempo medio de permanencia en cada nivel de condición de degradación hasta la transición para la condición siguiente y la indicación de los efectos de la degradación en la durabilidad de los revestimientos pétreos. Esta información es útil en la definición (de un modo racional y técnicamente informado) de un abanico de estrategias de mantenimiento en el ciclo de vida del edificio. Los modelos estocásticos, como las cadenas de Markov, fornecen información crucial en el contexto de las premios de seguros, porque permiten la evaluación del riesgo de fallo en los revestimientos y permiten estimar el instante más probable para la rotura de los elementos de la construcción, de acuerdo con sus características.