1. Línea de pobreza

Dada una población de tamaño n, ordenada de acuerdo con el ingreso de cada hogar o individuo, μ es la línea de pobreza que define al conjunto de pobres. Entonces, dado un vector no negativo de ingresos y = [y ₁, y ₂, ..., y _n ] ^t , el conjunto de pobres se define como sigue: i) si y _i < μ el individuo i pertenece al conjunto de pobres; ii) si y _i < μ el individuo i no pertenece al conjunto de pobres. Con esta metodología la medida de pobreza presenta los siguientes inconvenientes: i) se producen estimadores sesgados: la información respecto a los ingresos individuales generalmente es sesgada, porque los individuos no están dispuestos a declarar sus ingresos reales. Además, definir ingreso no es una tarea sencilla, por lo común se requieren metodologías complejas (véase ^{Weinberg, 2004}); ii) sólo considera una variable: la pobreza es un fenómeno dinámico y multidimensional que no se puede medir propiamente mediante una sola variable,³ y iii) no ofrece una frontera rea lista para el conjunto de pobres: la definición de una línea de pobreza implica un corte abrupto entre pobres y no pobres; una transición gradual es más recomendable para diferenciar entre pobres y no pobres (véase ^{Cerioli y Zani, 1990}).

2. Marginación

La metodología para medir la marginación es una técnica multidimensional que considera un conjunto de variables para medir carencias. Mediante estas variables, la marginación capta una falta de necesidades sociales empleando la técnica de análisis multivariado conocida como componentes principales, y construye una medida basada en la explicación de la varianza del primer componente principal para identificar el conjunto de pobres. Algunos problemas con esta técnica son: i) el índice de marginación es solamente una medida resumen de la información contenida en las variables de carencia, es decir, no emplea toda la información disponible en las variables; ii) la escala de este índice es solamente de intervalo; iii) el índice no puede ser comparado para diferentes mediciones en el tiempo.⁴ Estas desventajas de las líneas de pobreza y del índice de marginación son resueltas por la metodología de conjuntos difusos.

1. Conjunto difuso de pobreza

Dado un conjunto X, tal que x ∈ X, podemos definir un conjunto difuso A ⊂ X como:

en que μ _A es un mapeo de X en el intervalo [0, 1] tal que μ _A (x) es el grado de membresía de x en A. Entonces i) si x no pertenece a A, μ _A (x) = 0; ii) si x pertenece a A, μ _A (x) = 1; iii) si x pertenece a A pero solamente de manera parcial, 0 < μ _A (x) < 1, y su membresía al conjunto difuso aumenta cuando μ _A (x) tiende a 1.⁵

Adviértase que con esta definición, el concepto difuso implica una frontera poco clara (difusa) del conjunto de pobres, es decir, no se presenta una separación abrupta de pobres y no pobres, como en el caso de las líneas de pobreza. Además, con el concepto difuso, también es posible definir una función de membresía empleando ingreso para comparar la metodología difusa con la línea de pobreza. Dado un ingreso conocido y, podemos definir y′ como el ingreso más alto con el cual un individuo es pobre, y y″ como el ingreso por encima del cual un individuo es no pobre. Entonces i) μ _A = 1 si 0 ≤ y ≤ y′; ii) μ _A = 0 si y > y″; iii) 0 < μ _A < 1 si y′ < y ≤ y″.

Si se supone una función continua decreciente, podemos definir μ _A = f(y), tal que f(y″) = 0 y el lim _y→y′ f(y) = 1. Una función lineal adecuada para definir esta membresía es la siguiente:

Una línea de pobreza se puede definir como una función de y′ y y″ cuando y′ = y″ = π, en otras palabras una línea de pobreza es un caso particular de una función de membresía.

Para comparar la metodología difusa con marginación es necesario considerar el caso difuso multidimensional y generalizar para variables de categorías múltiples. Supongamos k variables categóricas X ₁, X ₂, ..., X _k , las cuales pueden ser medidas para cada individuo de la población en estudio. Entonces, x _ij es la medida observada para el i-ésimo individuo (i = 1, n) en la j-ésima variable (j = 1, k).

Para el caso particular de variables dicotómicas la función de membresía se puede definir como:

en que z _ij = 1 si x _ij indica carencia para esa variable, y z _ij = 0 en otro caso. Nótese que μ _A (x) = 1 si y solo si cada una de las k variables denotan carencia para el individuo, es decir, este individuo pertenece completamente al conjunto difuso de pobreza. Por otro lado, μ _A (x) = 0 implica que cada una de las variables se encuentra encima del punto que indica carencia, por lo que el individuo no pertenece al conjunto de pobreza difusa en ningún grado.

Esta definición puede ser interpretada como una proporción que indica cuándo un individuo es pobre de acuerdo con el conjunto de variables. En otras palabras, cada una de las k variables contribuye para determinar si un individuo es pobre. Un posible problema con la función de membresía definida mediante la ecuación (1) es que ésta considera a todas las variables como igualmente importantes, cuando en la realidad para medir la pobreza algunas variables son más importantes que otras. Para diferenciar las variables de acuerdo con su importancia, éstas deben ser ponderadas de acuerdo con algún criterio, el cual redefinirá la función de membresía como sigue:

en que w _j es el ponderador para X _j (j = 1, 2,..., k). Un ponderador útil para estas variables es la función inversa de la proporción de los individuos con carencia de acuerdo con cada variable (f _j ). Sin embargo, en tanto que este ponderador puede tomar valores bajos, la siguiente transformación debe ser empleada:

Sustituyendo (3) en (2) obtenemos:

Nótese que la ecuación (4) también es una medida multidimensional que proporciona información respecto al grado de pobreza de los individuos.⁶

2. Índice de pobreza difusa

La metodología presenta da líneas arriba es una manera de medir la pobreza de modo individual. Para calcular una medida de la pobreza para un grupo de individuos de manera paralela a las líneas de pobreza y a la marginación, es necesario calcular un índice de pobreza basado en las ecuaciones (1) y (4), ponderado y no ponderado respectivamente.

Una manera natural de medir la pobreza para un grupo de individuos mediante la función de membresía de los conjuntos difusos es su mando los grados de membresía de cada uno de los miembros de la población. Entonces, para una población de tamaño n el monto total de pobreza puede ser me di do mediante la car di na li dad del subconjunto difuso:

en que la condición para la existencia de esta car di na li dad es que el conjunto en el cual se define A sea finito (véase ^{Dubois y Prade, 1980, p. 20}). Entonces el índice de pobreza se define como:

Este índice mide la pobreza como una proporción de los individuos que pertenecen al conjunto de pobreza difuso, en que P = 0 cuando μ _A (i) = 0 ∀ i, es decir, cuando la pobreza está ausente para todos los individuos y P = 1 cuando μ _A (i) = 1 ∀ i, es decir cuando todos los individuos se encuentran en el más alto grado de pobreza.

3. Índice de pobreza difusa y datos agrupados

Como ha sido desarrollada hasta este momento la teoría de conjuntos difusos representa una opción para calcular índices de pobreza empleando información para individuos. En otras palabras, la metodología no es compatible con datos agrupados, como son los datos censales. Sin embargo, mediante la manipulación algebraica que se presenta a continuación, es posible calcular los índices difusos por medio de la metodología desarrollada.

Mediante la función de membresía no ponderada representada por la ecuación (1) es posible calcular la cardinalidad del conjunto representada por la ecuación (5) como sigue:

es decir, la suma de todos los individuos clasifica dos como carentes de alguna de las k variables.

La información censal registra el número total de individuos carentes de cada una de estas variables de la siguiente manera

Entonces, sumando todos los individuos para cada variable tenemos

Adviértase que esta última ecuación es equivalente a la ecuación (1), por lo que mediante (9) es posible calcular el índice de pobreza difuso no ponderado con datos agrupados.

Para obtener la misma equivalencia para el índice de pobreza difuso ponderado, la ecuación (2) se puede reordenar como sigue

A partir de (10) se puede calcular la suma de los n individuos de la población como sigue

en que la parte izquierda de la ecuación se puede rescribir como sigue

o de manera equivalente

en que ∑i=1nzij es la suma de los individuos con carencia de la variable j. Mediante la ecuación anterior podemos finalmente calcular la función de membresía como sigue

La cual requiere medir la suma de cada una de las carencias para los individuos de la población justamente como se presentan en la información censal.

1. Pobreza difusa a nivel estatal

En el cuadro 1 se presentan los resultados de calcular el índice de pobreza difusa ponderado y sin ponderar, para cada uno de los 32 esta dos de la re pública mexicana, así como sus respectivos índices de marginación. Una diferencia entre los índices de pobreza difusa y los de marginación es que los últimos permiten compararlos resultados entre estados en una escala so lamen te de proporción, mientras que los primeros se mi den en una escala de intervalo, lo cual es una ventaja notoria. Por ejemplo para el índice difuso es posible decir que el Distrito Federal es cuatro veces menos pobre que Chiapas, mientras que el índice de marginación solamente nos dice que es menos marginado que Chiapas.

Otro resultado importante que se infiere del cuadro 1, es que el orden de pobreza y el de marginación son muy similares. La correlación entre ambos índices es muy alta (99%). Por otro lado, se encuentran algunas diferencias en la clasificación por estratos, principalmente en los estratos muy al to y alto, las cuales se pueden atribuir a la técnica de estratificación empleada. Sin embargo, cuando analicemos el nivel localidad retomaremos estas diferencias e intentaremos explicar mediante otras razones estas diferencias.

Un instrumento muy útil para analizar la distribución geográfica de la pobreza, y compararlos índices aquí presenta dos, son los mapas de pobreza. Para el caso estatal, se elaboraron tres mapas de pobreza con el fin de comparar la distribución geográfica de la pobreza difusa y de la marginación.⁷ Los mapas de pobreza fortalecen la idea de que los resultados obtenidos mediante ambas metodologías son muy similares, incluso en su distribución geográfica, y que la pobreza y la marginación son fenómenos regionales que conforman grandes extensiones geográficas que en la mayoría de los casos son con ti guas. En estos mapas también son notorias las diferencias entre norte no pobre y sur pobre. A continuación se presentan los casos a nivel municipal y de localidad, en los que es posible observar una mejor de limitación geográfica de las zonas de pobreza y marginación, ya que al interior de cada estado siempre encontraremos municipios y localidades pobres y no pobres.

2. Pobreza difusa a nivel municipal

Los índices difusos se calcularon para 2 243 municipios, pero solamente los resultados más relevantes se describen en esta sección.⁸ El cuadro 2 muestra los 16 municipios con más y menos carencias, en el que es notoria una alta coincidencias en el orden que proporciona cada una de las metodologías. La correlación entre el orden de los municipios clasificados por cada una de las técnicas considerando todos los municipios es de 90%, lo cual sugiere que ambos índices presentan magnitudes proporcionales. Para los municipios con menos carencias las metodologías coinciden en el orden asignado a Benito Juárez como el municipio con menos carencias, y a San Pedro Garza García como el segundo. Ambas metodologías presentan una alta coincidencia en señalar a los 16 municipios con menos carencias, aunque el orden asignado para cada municipio cambia. Para los municipios con mayores carencias, las metodologías coinciden en nueve de 16 municipios, aunque el orden es diferente.

Una vez que los índices de pobreza difusa se clasifican de acuerdo con la técnica de Dalenius, las diferencias entre marginación y pobreza difusa es obvia. Marginación concentra a la mayoría de los municipios en el estrato de alta marginación, mientras que la metodología difusa los concentra en el estrato medio. Esta diferencia se aprecia claramente en la gráfica 1, en la que la distribución de los municipios marginados es asimétrica a la derecha, mientras que la distribución de pobreza difusa se concentra en el centro.

Fuente: Cálculos propios con información de ^{Conapo (2001)}.

Gráfica 1 Distribución de municipios por estrato, de acuerdo con su nivel de marginación y de pobreza difusa (2000) 

Una explicación de esta diferencia en la distribución de los municipios es que el método para calcular marginación emplea una medida resumen, la cual no considera toda la información disponible en las variables. En realidad, el primer componente principal calculado por el Conapo explica solamente 79.5% de la varianza, y pierde el resto de la información. Además, la técnica de componentes principales asigna diferentes pesos a las variables sin considerar algún razonamiento basado en alguna teoría de pobreza. En el cuadro 3 se muestran los coeficientes de los componentes principales empleados por el Conapo para calcular el índice de marginación.

Una crítica a estos coeficientes es que los ponderadores asignados a población sin primaria completa de 15 años o más, y a población analfabeta de 15 años o más, son los más altos sin justificación alguna, además de que presentan una alta correlación entre sí. Esto último implica que la población con altos porcentajes de no educación presentará una alta marginación.

Los mapas de pobreza muestran que marginación clasifica a la mayoría de los municipios como altamente marginados, mientras la técnica difusa los clasifica como medianamente pobres. La distribución geográfica generada por marginación sugiere un país con el sur y el centro altamente marginados, con pocos municipios con muy alta o baja marginación, mientras que el norte es una zona eminentemente no marginada. Por otro lado, la pobreza difusa sugiere que la mayoría del país sufre de pobreza media, mientras que en el sur se concentra la población con muy alta pobreza, y en el norte la población con muy baja pobreza.

3. Pobreza difusa a nivel localidad⁹

El índice de pobreza difusa se calculó para el mismo número de localidades que empleo el Conapo en su análisis de marginación, aun a pesar de que el Conapo incluyó sólo 107 218 del total de 199 391 localidades. La razón para que el Conapo dejara fuera del análisis 92 173 localidades fue que algunas de estas localidades se componían por dos o menos viviendas, y su información es confidencial, o sencillamente por que no existía información para algunas de esas localidades. Otro problema con la información empleada por el Conapo a nivel lo calidad es que no se incluyó la variable población en localidades con menos de 5 mil habitantes. La consecuencia de eliminar esta variable es que se hace imposible identificar localidades tomando en cuenta su tamaño de población. Dada la naturaleza de la técnica difusa, para calcular el índice difuso de pobreza si fue posible incluir la variable población en localidades con menos de 5 mil habitantes, lo que resultó en una clara diferencia en la distribución de localidades de acuerdo con su estrato de marginación y de pobreza.

La distribución de marginación a nivel localidad es muy similar a la distribución a nivel municipal, que se caracteriza por una alta concentración de localidades en el estrato alto. La distribución de los índices de pobreza se concentra en los estratos bajo y medio, pero no es similar a la de los municipios. La gráfica 2 sugiere que la clasificación de las localidades varía considerablemente de acuerdo con cada técnica: 77.5% de las localidades son de alta o muy alta marginación, mientras que 44.2% son de alta o muy alta pobreza difusa sin ponderar y 33.9% de acuerdo con pobreza difusa ponderada.

Fuente: Cálculos propios con información de ^{Conapo (2001)}.

Gráfica 2 Distribución de localidades por estrato de acuerdo con su nivel de marginación y de pobreza difusa (2000) 

Sin embargo, debemos recordar que 46% de las localidades no fueron incluidas en el análisis, lo cual deja en duda su clasificación. Una posible clasificación para estas localidades es dentro del grupo de alta o muy alta pobreza, ya que generalmente se trata de localidades remotas en donde es poco probable que existan servicios. Según este supuesto, el porcentaje de estos estratos debería ser de cerca de 87.9% para marginación y de 70% para pobreza difusa no ponderada y 64.5% para pobreza difusa ponderada. En este sentido, los resultados de marginación parecerían exagerados ya que de acuerdo con las cifras de pobreza calculadas mediante ingreso por ^{Sedesol (2003)}, 53.7% de la población fue clasificada como pobre en 2000 (véase ^{Cortés et al, 2002}, y ^{Sedesol, 2003}).

La correlación entre marginación y pobreza difusa no es tan alta para el caso de localidades como es para los casos de estados y municipios, ya que sólo alcanza 82% para difusos no ponderados y 47% para ponderados. El cuadro 4 muestra las 16 localidades con más y menos carencias de acuerdo con los índices de marginación y de pobreza difusa. Marginación clasifica a Barona en Baja California como la localidad con menos carencias en el país, aun cuando se trata de una localidad con solamente nueve habitantes. Por otro lado la técnica difusa no ponderada clasifica a Benito Juárez en el Distrito federal como la localidad con menos carencias en el país, la cual es una localidad de 360 478 habitantes. Claramente los resultados de la técnica difusa son más congruentes para aplicar política social, ya que no es congruente pensar que una localidad con nueve habitantes puede tener las mismas oportunidades de desarrollo social y económico que una localidad considerablemente más grande. Esta última característica de la técnica difusa es una ventaja más de los conjuntos difusos, ya que clasifica a las regiones de acuerdo con su tamaño de población.