I. El marco teórico de volatilidad estocástica

Los modelos de volatilidad estocástica con sus respectivas extensiones, en general, han resultado ser más apropiados, con cierta reserva, para la valuación de opciones en tiempo continuo que otras alternativas con volatilidad constante. Usualmente, estos modelos son planteados en tiempo continuo aunque también se encuentran en la bibliografía en tiempo discreto mediante modelos GARCH y sus extensiones, como se hace en ^{Harvey, Ruiz y Shepard (1994)}. Un modelo general de volatilidad estocástica es comúnmente planteado como un sistema de dos ecuaciones diferenciales estocásticas:

Para generar el efecto de apalancamiento se supone que el rendimiento de activo y las innovaciones de la volatilidad están correlacionadas de tal forma que:

De esta manera el precio del derivado depende ahora del tiempo, del precio del activo subyacente y de la volatilidad:

Cuando se considera volatilidad estocástica se relajan dos de los supuestos del modelo de Black, Scholes y Merton; el primero es que un solo movimiento browniano genera incertidumbre (riesgo de mercado) y el segundo, relacionado con el anterior, es que los mercados son completos. Los modelos de volatilidad estocástica consideran, en general, dos movimientos brownianos, y es por ello que el precio del derivado no se puede replicar, por lo que el mercado no es completo. Esto significa que existe un número infinito de precios que invalidan el supuesto de no arbitraje. Si se incluye otro instrumento de cobertura con un derivado, entonces el mercado es completo y, en consecuencia, los derivados ahora deberán valuarse relacionando unos con otros, así como el activo subyacente. Ésta es una de las razones de que los modelos de volatilidad estocástica se puedan calibrar dado un conjunto de precios de mercado de las opciones, es decir, dado un conjunto de parámetros iniciales y mediante la implementación de un algoritmo numérico se pueden estimar los parámetros del modelo, minimizando la distancia entre los precios de mercado y los obtenidos con el modelo teórico.

Para modelar el riesgo de volatilidad es común introducir otro movimiento browniano W~t que representa la parte de Wtv que es ortogonal a W_t, por lo que se puede escribir Wt=ρWtv+1-ρ2W~t. En este caso, el activo subyacente no depende de W~t y, por lo tanto, el riesgo generado por este browniano no está incluido en el precio del activo. Por otro lado, el riesgo de W_t está incrustado en la prima de riesgo μ_t − r_t. En consecuencia, un inversionista podría ser adverso al riesgo y, aunque su aversión no se observa en el mercado del activo subyacente, aparecerá en el mercado de opciones, ya que estos contratos dependen implícitamente de v_t. Así, mediante un derivado se puede identificar la prima de riesgo, y entonces se pueden obtener precios de otros derivados.

II. Modelo de volatilidad estocástica de Heston

^{Heston (1993)} valúa una opción sobre una acción con volatilidad estocástica, y un rasgo relevante de su trabajo es que obtiene las funciones características de las probabilidades neutrales al riesgo como soluciones de una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Posteriormente, por medio de estas probabilidades neutrales al riesgo obtiene una fórmula similar a la de Black, Scholes y Merton para valuar una opción europea de compra; el precio de la opción de venta se puede obtener con la paridad put-call.

Otra característica esencial del modelo de ^{Heston (1993)} es que proporciona una fórmula cerrada (en términos de integrales de variables complejas) para el precio de una opción con el supuesto de correlación entre el precio del activo subyacente y su volatilidad. Aunque la fórmula es cerrada, su cálculo es usualmente complicado por incluir variables complejas. Así, el precio de la opción se obtiene al calcular la probabilidad de que una opción de compra expire dentro del dinero; aunque dicha probabilidad no se puede calcular directamente, ésta se puede calcular a través de la inversión de la función característica del logaritmo del precio del subyacente. A continuación se plantea la dinámica estocástica que conduce la volatilidad. Supongamos que el precio actual, S_t de una acción es conducido por:

donde μ es el parámetro de tendencia y W_1,t es un proceso de Wiener. La volatilidad vt es conducida por el proceso:

donde W_2,t es un proceso de Wiener correlacionado con W_1,t , i.e., Cov(dW_1,t, dW_2,t) = ρ. Para simplificar el modelo, se aplica el lema de Itô con el fin de obtener el proceso para la varianza v_t, el cual se puede expresar como un proceso del tipo ^{Cox, Ingersoll y Ross (1985)}, es decir,

En el contexto de los modelos de volatilidad estocástica, los parámetros θ, κ y σ, se interpretan como la varianza de largo plazo, la tasa de reversión a la varianza de largo plazo y la volatilidad de la varianza (a menudo denominada como la volatilidad de la volatilidad), respectivamente. Heston muestra que el precio al tiempo t de una opción de compra con tiempo un vencimiento T − t (como proporción de año), denotado por c (S, v, t), está dada por:

donde S_t es el precio spot del activo, K el precio de ejercicio de la opción y, P (t, T) es un factor de descuento. Por ejemplo, si r es una tasa de interés constante y continuamente capitalizable, entonces se puede tomar P (t, T) = e^{−r( T−t)}. El precio de una opción de venta europea al tiempo t, se obtiene con la paridad put-call como sigue:

Las cantidades P₁ y P₂ son las probabilidades de que la opción expire dentro del dinero, condicionales al logaritmo del precio del subyacente, x_t = ln(S_t) = x, y a la volatilidad, v_t = v, ambas al tiempo t. Para valuar opciones es necesaria una dinámica neutral al riesgo, que en este caso está expresada en términos de los parámetros neutrales al riesgo κ y θ como sigue:

A continuación, se obtiene el proceso neutral al riesgo para el precio del subyacente y la varianza expresados en la ecuación anterior. Supongamos que el precio de la acción es conducido por:

donde S = S_t, v = v_t y dW₁ = dW_1,t. Después de aplicar el lema Itô al proceso x = 1nS, se sigue que:

Por otra parte, el proceso para la raíz cuadrada de la varianza v satisface:

donde β y δ son parámetros y dW₂ = dW _{2, t}. Al aplicar el lema de Itô, se tiene que el proceso para la varianza v es el proceso de ^{Cox, Ingersoll y Ross (1985)}, es decir,

donde κ = 2β,θ = δ²/2β y σ = 2δ. Si κ, θ y σ satisfacen las condiciones 2κθ > σ² y v₀ > 0, se puede demostrar que la varianza v_t es siempre positiva y su proceso dado en (7) está bien definido en estas condiciones, esa propiedad se conoce como condición de proceso de raíz cuadrada de Feller. Si se expresa (5) como el proceso neutral al riesgo:

donde r es la tasa de interés libre de riesgo y

entonces la versión neutral al riesgo del proceso en (7) para v está dada por

donde λ = λ(t, S_t, v_t) es el premio al riesgo por volatilidad, y

Por lo tanto, los procesos para el precio de la acción y para la varianza son, respectivamente,

donde

Bajo la medida de probabilidad P se tiene que W₁ ~ N (0, T) y W₂ ~ N (0, T), es necesaria una nueva medida Q tal que W₁^* ~ N (0, T) y W₂^* ~ N (0, T) bajo Q. Por el teorema de Girsanov, la medida Q existe si λ(t, St,vt) y μ-rt/v satisfacen la condición de Novikov. Como se explica en ^{Heston (1993)}, el modelo de consumo de ^{Breeden (1979)}, aplicado al proceso CIR, produce un premio al riesgo por volatilidad de la forma λ (t, S_t, v_t) = λv. En este caso, el proceso para la varianza en (12) se transforma en:

donde κ^* = κ + λ y θ^* = κθ/(κ + λ) son los parámetros neutrales al riesgo. Si se omite el asterisco de κ * y θ^*, los procesos para el precio de la acción y la varianza son:

las cuales coinciden con las ecuaciones en (4). De acuerdo con la dinámica anterior, las probabilidades P₁ y P₂ se interpretan como las probabilidades ajustadas al riesgo o neutrales al riesgo. Por lo tanto,

Para j = 1,2. Las probabilidades P_j se obtienen al intervenir las funciones características f_j en

donde:

En las ecuaciones anteriores τ = T-t es el plazo al vencimiento, i=-1 es la unidad imaginaria, u₁ = 1/2,u₂ = -1/2, b₁ = κ + λ - ρσ y b2 = κ+λ parámetro λ representa la prima al riesgo por volatilidad como función del precio del activo, el tiempo y la volatilidad. Aunque (2) y (3) se consideran soluciones en forma cerrada, cada una requiere calcular dos integrales complejas, como se observa en (17), por lo que es necesario recurrir a un método numérico para aproximar las integrales y obtener el precio de la opción.

Por otro lado, si se escribe x_t = ln(S_t /S₀) − μt , entonces se puede expresar el modelo de Heston en (1) en términos del rendimiento centrado x_t y de v_t (véase ^{Čivžek et al., 2011}). De esta manera, el proceso es caracterizado por la transición P_t (x,v|v₀) del rendimiento x y la varianza v al tiempo t dado un rendimiento inicial x = 0 y varianza v₀ al tiempo t = 0. La dinámica temporal de P_t (x, v|v₀) es conducida por la siguiente ecuación de Fokker-Planck (o forward Kolmogorov):

Al resolver esta ecuación se obtiene la siguiente fórmula semianalítica para la densidad de los rendimientos centrados de x, dado un cambio en el precio en un intervalo de tiempo t, de acuerdo con ^{Dragulescu y Yakovenko (2002)}:

Donde:

A continuación, se muestra gráficamente la densidad marginal del modelo de Heston dada por (19) para diferentes valores de ρ, con parámetros dados por (Cuadro 2):

La Gráfica 1 muestra la función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de ρ y se compara con la densidad de una distribución normal N ~ (0, 0.15). Obsérvese que el parámetro de correlación controla, en efecto, el sesgo de la densidad. En efecto, si ρ = −0.5, la densidad muestra sesgo negativo, mientras que si ρ = +0.5, la densidad muestra sesgo positivo, en el caso de ρ = 0, la densidad es simétrica. De la misma manera, se muestra la densidad del modelo de Heston para diferentes valores del parámetro de volatilidad de la varianza σ, con parámetros dados el siguiente Cuadro.

La Gráfica 2 muestra la función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de σ y se compara con la densidad de una distribución normal N ~ (0, 0.15). Obsérvese que el parámetro de volatilidad de la volatilidad controla la curtosis de la densidad; por lo tanto, si σ es relativamente alta, entonces la densidad presenta exceso de curtosis con su correspondiente efecto en las colas (colas pesadas).

III. Cálculo de la prima de la opción por medio de la transformación de Lewis

El cálculo del precio de la opción con el modelo de Heston tiene algunos detalles técnicos, un tanto complejos, que hay que tomar en cuenta, ya que es necesario evaluar las integrales complejas en (17). La forma cerrada requiere los siguientes parámetros: el precio spot del activo S = S_t, el precio de ejercicio K, el tiempo al vencimiento τ = T − t, y la tasa de interés libre de riesgo y constante r, además de estimaciones para los parámetros que conducen el proceso de tendencia, como son: la varianza de largo plazo θ, la varianza actual v_i, el premio al riesgo por volatilidad λ, el parámetro de reversión a la media κ, la volatilidad de la varianza σ, y la correlación entre los procesos que conducen el precio del activo y la volatilidad, ρ.

^{Lewis (2000)} muestra que el precio de la opción c (S, V, τ) en el modelo de ^{Heston (1993)} se puede expresar en términos de la transformada fundamental H^ (k, V, τ), donde k = k_r − ik_i es un número complejo, V la volatilidad y τ = T − t, el plazo al vencimiento. Con esta transformación se obtienen precios de opciones de manera más sencilla, ya que sólo se necesita evaluar una integral. La fórmula general para el precio de una opción de compra bajo una clase general de modelos de volatilidad estocástica está dada por:

Donde X = 1n S/K + (r - δ)τ, k_i = ½ y δ es la tasa de dividendos. Para el modelo de Heston la transformada fundamental es de la forma:

Donde:

y además: t = σ² τ/2, ῶ = 2kθ/σ², c~ = 2c (k)/σ² y c (k) = k² − ik/2. En este caso, γ es un parámetro de aversión al riesgo, y se restringe a γ ≤ 1. Ésta es otra manera de representar la prima al riesgo por volatilidad, la cual supone neutralidad al riesgo y proporciona una expresión de la prima al riesgo ajustada por volatilidad dada por λ, con λ proporcional a la varianza, λ (t, S_t, v_t) = λv.

En la Gráfica 3 se muestra una superficie de precios de opciones de compra y en la Gráfica 4 una superficie de precios de opciones de venta, los precios de las opciones se calculan con la transformada fundamental de Lewis y parámetros dados por (Cuadro 4):

El plazo al vencimiento es desde T − t = τ = 0.1,...,1 y el precio del sub-yacente varía dentro del rango: S_t = 50,..., 150.

IV. Estimación de parámetros del modelo de Heston con funciones de pérdida cuadráticas

Si se estiman los parámetros de un modelo de volatilidad estocástica mediante series históricas de rendimientos de los activos, no todos los parámetros serían útiles para efectos de valuación de derivados, ya que los parámetros estimados estarían bajo una medida de probabilidad verdadera, mientras que los negociadores de derivados ajustan tales parámetros para la determinación de precios de derivados. En particular, para los modelos de volatilidad estocástica el coeficiente de la varianza es una modificación del valor verdadero, lo cual es resultado del supuesto de que la prima de riesgo de volatilidad es independiente del precio del subyacente y del tiempo, además de ser proporcional a la volatilidad,² es decir: λ (t, v, S) = λv. Para recuperar tal prima de riesgo, es necesario consultar precios de algunos derivados que se negocien en el mercado.

Por esa razón, en la industria y en la investigación (^{Bakshi, Cao y Chen, 1997}) cada vez hay más preferencia por utilizar únicamente precios de derivados y calibrar un modelo en base a un conjunto de opciones líquidas. Un procedimiento estándar es el siguiente: una mesa de derivados planea vender una opción exótica y a la vez cubrir su exposición, además se supone que se emplea un modelo de volatilidad estocástica. La primera etapa consiste en obtener un conjunto de precios de mercado de opciones europeas líquidas, para después calibrar el modelo. Los parámetros calibrados son los neutrales al riesgo, y por lo tanto se pueden utilizar sin modificaciones para valuar y cubrir la opción exótica. En cierto sentido, es una generalización de la metodología para obtener las volatilidades implícitas bajo el modelo de Black, Scholes y Merton, el propósito de la calibración es valuar la opción exótica de tal manera que sea consistente con los precios de mercado de las europeas. Si el modelo calibrado genera precios consistentes con el mercado, entonces los parámetros estimados deberían ser estacionarios a través del tiempo, y su variabilidad se debe sólo a errores de medición. En la práctica, por supuesto, esto no sucede así, y se tiene que recalibrar los parámetros diariamente o con mayor frecuencia si es necesario.

Para la calibración se debe minimizar una cierta medida de distancia entre los precios de mercado y los precios teóricos dados por el modelo. Es decir, se determinan parámetros tales que el error entre los precios de mercado y los precios del modelo teórico sea el mínimo posible, tal error es medido por una función de pérdida. Supongamos que se cuenta con un conjunto N de precios de mercado de opciones denotados por P_i (i = 1, 2,…,N) y que los precios del modelo dependen de un conjunto de parámetros Θ ≡ {ρ, κ, θ, σ, v (0), k_i, γ} que en este caso son los de la transformada fundamental de Lewis. De acuerdo con ^{Bakshi et al. (1997)} se pueden construir tres funciones de pérdida:

La función de pérdida del error cuadrático medio es el promedio de los cuadrados de los errores estimados:

donde e_i (Θ) = P_i − P_i (Θ) son los errores de estimación para i = 1, 2,…, N. La función de pérdida relativa del error cuadrático medio está definida por:

La función de pérdida del error cuadrático medio de volatilidad implícita se define por:

Con el propósito de encontrar los parámetros que minimicen las funciones en (25) y (26) se plantean como:

y

A diferencia de la raíz cuadrada de la función de pérdida del error cuadrático medio $RFEM que minimiza el promedio de la raíz cuadrada de la diferencia entre precios de mercado y precios del modelo teórico, la raíz función de pérdida relativa del error cuadrático medio $RFEM en (28) minimiza el porcentaje o diferencia relativa entre tales precios, ^{Bakshi et al. (1997)} y ^{Heston y Nandi (2000)} estiman parámetros con este enfoque. $RFEM y $RFEM arrojan parámetros que minimizan la distancia entre precios de mercado y precios del modelo teórico. También se pueden determinar parámetros que minimicen la distancia entre volatilidades implícitas obtenidas a partir de precios de mercado y las volatilidades implícitas obtenidas a partir de precios del modelo teórico, por medio de la raíz de la función de pérdida de volatilidad implícita del error cuadrático medio RFEMIV definida por:

En la expresión anterior σ_i es la volatilidad implícita de Black, Scholes y Merton, que se obtiene al invertir la fórmula de BSM e igualarla a precios de mercado, y σ_i (Θ) es la volatilidad implícita de BSM obtenida al invertir la fórmula de BSM e igualarla a precios obtenidos con el modelo teórico.

Los parámetros estimados obtenidos de la función de pérdida en (30) pueden utilizarse para modelar algunas propiedades de la distribución de los rendimientos del activo subyacente, ya que la forma de la curva de volatilidad implícita representa la distribución de rendimientos del activo subyacente en estudio. Una mueca de volatilidad (volatility smirk) implica un sesgo o asimetría en la distribución, mientras que una sonrisa de volatilidad (volatility smile) implica curtosis.

Cada una de las funciones de pérdida descritas asigna una ponderación diferente a las opciones. La raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio $RFEM asigna más peso a opciones dentro-del-dinero, lo cual se debe a que dichas opciones son más caras. Cualquier error en la estimación dado por una diferencia entre los precios de mercado y los precios ajustados es causado por estas opciones, la raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio $RFEM tenderá a producir parámetros que conducen a errores pequeños de valuación para opciones dentro-del-dinero. Por su parte, la raíz de la función de pérdida relativa del error cuadrático medio %RFEM asigna más peso a opciones muy fuera del dinero, debido a que estas opciones tienen poco valor. Por último la raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio de volatilidad implícita RFEMVI asigna una ponderación similar a todas las opciones.

V. Calibración y análisis de resultados

Con el propósito de aplicar la metodología descrita en la sección anterior, se tomaron los datos del Boletín del Resumen del Mercado de Opciones (BRMO) del día 25/10/2013 de MexDer. Este resumen contiene las opciones que tienen contratos abiertos, es decir, que tienen operación y cierta liquidez. En este trabajo se consideran opciones europeas sobre acciones de América Móvil, S.A.B. de C.V. serie L (AMX-L), Wal-Mart de México, S.A.B. de C.V. serie V (WALMEX-V) y Grupo México, S.A.B. de C.V. serie B (GMEXICO-B) con un plazo al vencimiento de 56 días; asimismo, se obtuvieron del proveedor de precios (vendor) la curva TIIE28-IRS para la tasa libre de riesgo, las volatilidades implícitas y la “delta” de todas las opciones negociadas en ese día.