1. Costos de cambio

Según lo sugiere la teoría económica, si la competencia ha de tener un impacto positivo en el desempeño, los consumidores deben asumir un papel activo al hacer una elección. No obstante, los consumidores pueden verse limitados debido a los costos de cambio fijados por el proveedor o a las dificultades que enfrenten al evaluar y comparar las diferentes ofertas (^{Wilson y Waddams, 2007}). De hecho, en una parte de los estudios que integran la bibliografía se ponen de relieve las ventajas que obtienen las compañías al crear y elevar los costos de cambio con el objeto de reducir la sustitución y, finalmente, aumentar el poder del monopolio (^{Fornell y Larcker, 1981}; ^{Klemperer, 1987c}; ^{Porter, 1998}; ^{Hess y Ricart, 2003}; ^{Farrell y Klemperer, 2007}; ^{Nakamura, 2010}; ^{Klemperer, 1987a} y ^1987b, ¹⁹⁹⁵; ^{Burnham, Frels y Mahajan, 2003}; ^{Shy, 2002}; ^{Kahl, 2004}; ^{Kim, Choi y Kim, 2010}).

Un primer intento por medir empíricamente los costos de cambio fue el de ^{Jackson (1985}), quien clasificó los costos en “psicológicos” y “económicos”. Concluyó que los costos de cambio se incrementan a la par de la complejidad del producto y los servicios de ventas postales (^{Gremler y Brown, 1997}; ^{Fornell, 1992}). ^{Maicas (2006}) identifica una amplia gama de industrias productivas y de servicios cuyos costos por el cambio son notables (véase también ^{Grzybowski, 2008}; ^{Kim, Park y Jeong, 2004}; ^{Maicas y Sese, 2008}; ^{Maicas, Polo y Sese, 2009}). ^{Guiltinan (1989}) vincula los costos de cambio con los costos económicos y psicológicos. Han secundado esta noción una serie de académicos, entre quienes se incluyen ^{Bitner (1995}); ^{Bendapudi y Berry (1997}); ^{Jones, Mothersbaugh y Beatty (2000)}; ^{Colgate y Lang (2001}); ^{Berné, Múgica y Yagüe (1996}); ^{Jones y Sasser (1995)}; ^{Dick y Basu (1994}); ^{Ganesh et al. (2000}); ^{García (2000}); ^{Sharma y Patterson (2000}); ^{Lee y Cunningham (2001}), y ^{Wathne, Biong y Heide (2001}). ^{Borenstein (1991}) fue el primero en medir los costos de cambio en las gasolinerías, y los asoció con las diferenciaciones en los precios. Ese trabajo pionero influyó en el de ^{Sharpe (1997}) sobre los depósitos bancarios, en el de ^{Knittel (1997}) sobre las telecomunicaciones de larga distancia y en el de ^{Elzinga y Mills (1998}) sobre la distribución de cigarrillos durante la guerra de precios de la década de 1980. ^{Shy (2002}), dedicado a estudiar los teléfonos celulares y las industrias financieras de Israel, asoció los costos de cambio a la cuota de mercado y los precios cobrados por cada compañía. ^{Kahl (2004}) examinó las variaciones elevadas por industria. ^{Chen y Hitt (2002}), ^{Johnson, Bellman y Lohse (2002}) y ^{Kim, Kliger y Vale (2003)} analizaron los costos de cambio en las nuevas industrias de tecnología. ^{Shum (2004}) evaluó cómo la fidelidad a una marca afectaba los costos de oportunidad en la industria del cereal. ^{Wilson y Waddams (2007}) estimaron los costos de cambio en el mercado eléctrico residencial. Maicas, Polo y Sese (2009) concluyeron que la portabilidad de los números de teléfono celular disminuía los costos de cambio, lo que propiciaba la decisión de optar por otro proveedor. ^{Aydin et al. (2009}) estimaron las fuentes de los costos de cambio y evaluaron su impacto sobre el mercado de tarjetas de crédito, haciendo hincapié en la índole psicológica de dichos costos.

Hasta donde sabemos (y como dijimos antes), no existe una investigación empírica sobre los costos de cambio en la educación. No es para sorprenderse, pues de una u otra forma la mayoría de los países ponen trabas a los padres deseosos de elegir una escuela, en lo que constituye una prohibición impuesta por la vía institucional. En los Estados Unidos, por ejemplo, la inscripción a una escuela se define en la mayoría de los casos por el condado donde viva la familia. Asimismo, en la mayoría de los casos en que los padres pueden elegir una escuela de otro condado es obligatorio recurrir a la lotería, con lo que se frena el exceso de demanda.

En cuanto a los países o áreas donde se permite elegir escuela, se han emprendido investigaciones acerca del efecto de la elección sobre la calidad educativa (véanse ^{Hoxby, 2000}; ^{Ladd y Fiske, 2001}; ^{Böhlmark y Lindahl, 2008}; ^{Gibbons, Machin y Silva, 2008}; ^{Hanushek et al., 2007}; ^{Imberman, 2011}). Respecto a Chile, la bibliografía especializada en los vales se ha concentrado en sus consecuencias para el aprendizaje (^{McEwan y Carnoy, 1988} y ²⁰⁰⁰; ^{Elacqua y Fabrega, 2007}; ^{Gallego y Hernando, 2009}; ^{Chumacero, Gallegos y Paredes, 2016}), en las genuinas posibilidades de que las familias puedan escoger (Gallego y Hernando, 2009; Chumacero, Gómez y Paredes, 2011; ^{Chumacero y Paredes, 2012}; ^{Elacqua, 2012}) y en el papel de la información (^{Gallego et al., 2008}; Gómez, Chumacero y Paredes, 2012). Se aprecia una perspectiva diferente, vinculada parcialmente con los costos de cambio, en ^{Bravo, Mukhopadhyay y Todd (2010}), quienes analizan el efecto que tuvo la introducción del sistema de los vales en el empleo y los salarios. Utilizando cuadros, desarrollan un modelo para explicar las repercusiones que tuvo la reforma en la elección, la manera en que esta última se llevó a cabo teniendo en mente el tipo de escuela disponible antes y después de la reforma y, finalmente, la participación en el mercado laboral. Tal como se esperaba, se estimó que el costo derivado de quedarse en la misma clase de escuela (pública, privada con subsidio o privada sin él) es sustancialmente inferior al costo que involucra cambiarse de una clase de escuela a otra, y los costos de cambio que resultan más altos están asociados a la transición de una escuela primaria privada con subsidio o sin subsidio a una secundaria pública y de una primaria pública a una primaria sin subsidio. Los costos son relativamente más bajos en el caso de la transición de un tipo de escuela primaria privada a otro tipo de secundaria privada.

Nuestra investigación propone, empero, una metodología abocada tanto a identificar y estimar los costos de cambio en la industria educativa como a determinar hasta qué punto inciden en la decisión de los padres de cambiar a su hijo de una escuela a otra mejor, con base en un conjunto de preferencias que han sido previamente identificadas y ponderadas en nuestro modelo de elecciones tomadas. Estos criterios son de especial importancia, dado que la capacidad de un sistema de vales para potenciar el rendimiento académico de las escuelas y de los estudiantes depende de cuán hábiles se muestren los padres al tratar de seleccionar la mejor opción en términos de calidad y de las aptitudes que demuestre poseer un centro escolar determinado para responder a los incentivos generados por la competencia. No obstante, los beneficios acarreados por la competencia entre las escuelas pueden ser contrarrestados significativamente por los costos de cambio. Como es sabido, llevar a un estudiante de una escuela a otra conlleva alteraciones en lo referente a círculos sociales y núcleos de amistades, lo que bien puede desembocar en un clima de estrés que se cierna sobre la vida del estudiante y de su familia. El asunto en cuestión no es nada desdeñable: el tema de las consecuencias que tiene un sistema de vales para el desempeño académico ha sido objeto de una gran controversia, y la bibliografía respectiva no ha llegado a un consenso acerca de los resultados que se obtienen de la competencia.

2. El sistema educativo chileno y la multiplicación de opciones

En la década de 1980 Chile transformó su sistema educativo. Desde entonces, la educación se ha vuelto más descentralizada una vez que las escuelas del Estado han quedado en manos de las municipalidades. El objetivo de esto era que el sistema indujera a los estudiantes a seleccionar la mejor escuela y que surgieran escuelas privadas financiadas con vales. A partir de esos años, el sector educativo se ha configurado con base en tres tipos de escuelas: las públicas, las privadas con goce de subsidio y las privadas por las que se debe pagar. Tal como hemos aseverado anteriormente, eran múltiples los objetivos a que obedecía esta reforma, siendo uno de ellos incrementar la tasa de cobertura mediante la participación de las entidades privadas. Un efecto de la reforma fue el aumento de la inscripción o matrícula mediante los vales, que en 2013 superaba 53% (véase el Cuadro 1).

CUADRO 1 Inscripción de los estudiantes según el tipo de escuela 

FUENTE: Ministerio de Educación de Chile (Mineduc).

Por añadidura, y si observamos estos resultados, la oferta total de las escuelas se ha incrementado, en particular la de las privadas con subsidio: en 1993 había 2 653 de esta clase de escuelas, mientras que en 2013 existían un total de 6 017 (véase el Cuadro 2), lo que atestigua un aumento de 127% durante este periodo.

CUADRO 2 Número de escuelas según su tipo 

FUENTE: Mineduc.

Sabemos que el modelo de vales, aplicado a la educación, depende en gran medida de la habilidad que tengan los padres para escoger la mejor escuela para sus hijos; con todo, un factor que puede significar la merma de esta capacidad son los costos de cambio, entre los que se cuentan, como ya se mencionó antes, un nivel más alto de estrés sufrido por los hijos y la pérdida de sus círculos sociales. Así pues, aun en un escenario en el que están a disposición de todos escuelas de mayor calidad, algunas familias resolverán mantener a sus hijos en las escuelas que eligieron originalmente, con lo que se neutraliza a mediano o largo plazo el efecto de la competencia sobre el desempeño académico.

Las evidencias en el caso de Chile sugieren que el porcentaje de estudiantes que cambian de escuela es destacado. El Cuadro 3 muestra el total de estudiantes que, para el año 2000, estaban inscritos en cuarto grado en escuelas de educación primaria y de enseñanza secundaria en la Región Metropolitana de Santiago y que, para 2004, podían por tanto seguir estudiando en la misma escuela o encontrarse en otra al iniciar el octavo grado. De un grupo que suma 17 455 estudiantes, 2 921 se cambiaron a otra escuela (16.7%). Como se apreciará, el asunto de los costos de cambio posee trascendencia por tratarse de una cuestión empírica y no conceptual.

CUADRO 3 Decisión de permanecer en la misma escuela o cambiarse a otra durante el periodo 2000-2004 

FUENTE: elaboración propia con base en el SIMCE.

1. Definición y medición de los costos de cambio

La metodología aquí seguida se puede explicar diciendo que está subdividida en tres fases. Primero, apegados a un modelo de decisiones, hemos estimado la utilidad que reporta asistir a la escuela elegida originalmente y luego el cambio registrado en la utilidad cuando se opta por una escuela diferente -para lo cual recurrimos específicamente a un modelo de elección-. Para llevar a cabo esta tarea, siguiendo de cerca los hallazgos obtenidos por ^{Chumacero, Gómez y Paredes (2011)} , hemos discernido la existencia de algunos rasgos distintivos en lo tocante a la elección de escuela, con las ponderaciones concomitantes. Estos atributos son la calidad, la distancia y el precio, muy tomados en cuenta por los padres a la hora de elegir en el año 2000; sumado el peso que tiene cada uno de estos rasgos en las decisiones, encontramos parámetros de la función de utilidad de las escuelas (según damos por sentado, éstos permanecen estables a lo largo del tiempo). Segundo, si suponemos que los parámetros de utilidad empleados perduran, podremos estimar la utilidad derivada de haber escogido una nueva escuela en 2000 y luego estimar y comparar esta utilidad con la de las nuevas escuelas que aún no existían en ese año pero que ya se hallaban disponibles en 2004. Tercero, examinamos la posibilidad de que gracias al ingreso a una nueva escuela pueda aumentar el nivel de utilidad obtenido por la familia e investigamos si la resolución parental de cambiar o no a su hijo a una nueva escuela depende de su conocimiento acerca de la existencia de nuevas escuelas que antes no estaban disponibles (véase la Gráfica 1).

GRÁFICA 1 Modelo propuesto de los costos por los cambios en la educación 

Nuestra expectativa es que, en ausencia de los costos de cambio, los padres cambien al hijo a una nueva escuela si ésta proporciona un nivel de utilidad más elevado que la elegida previamente. Por el contrario, si se presentan costos por el cambio, éste tendrá lugar sólo a condición de que las utilidades reportadas por el ingreso a una nueva escuela sean lo bastante altas para marcar una diferencia. Así, es posible precisar la magnitud del costo de cambio y expresarla en términos de brecha en la utilidad, la distancia o la calidad.

Para la primera parte seguimos a ^{Chumacero, Gómez y Paredes (2011)} , dando por supuesto que los padres tienen en cuenta funciones de utilidad que dependen de una serie de atributos escolares, incluyendo la calidad del centro educativo, su precio y la distancia a la que se halla. De acuerdo con estos autores, los padres, al considerar los diversos factores relevantes para la elección de escuela, advierten que algunos de éstos guardan una relación con el perfil específico de cada niño pero a la vez incumben a todas y cada una de las escuelas posiblemente elegidas (tales como la edad del educando, la educación de los padres, el género del hijo, el ingreso percibido en el hogar u otras características del hijo o de la unidad familiar). Otros rasgos, en cambio, corresponden a características específicas de cada escuela y son comunes a todos los hijos y a todos los hogares (tales como el tipo de escuela, su calidad o sus costos, entre otros). Finalmente, existen otros atributos vinculados a cada elección que son específicos del niño y de la escuela (por ejemplo, la distancia entre ésta y el hogar).

Si postulamos que i = 1, ..., I indexa a los individuos (los estudiantes) en la muestra y j = 1, ..., J las posibles elecciones (las escuelas), definimos x_i como un vector de las características del estudiante y del hogar que no dependen de la escuela; y_i es un vector de las características de la escuela que no dependen del estudiante, y z_{i, j} es un vector de los atributos de la escuela que atañen específicamente a cada estudiante. Entonces definimos u_{i, j} como la utilidad (indirecta) del hijo_i que asiste a la escuela j:

(1)

donde u(x) corresponde a un componente sistemático y ε_i,j es un componente no sistemático (aleatorio). Dada la ecuación (1), el agente i escoge la escuela h si u_u ,_h ≥ u_i,j , ∀j ≠ h. Esta ecuación indica que el nivel de utilidad obtenido por las familias depende de un grupo de atributos que interactúan recíprocamente, lo que equivale a decir que deben ser ponderados y evaluados de acuerdo con las preferencias de cada familia.

Postulemos que d_i,j denota la distancia entre el hogar_i y la escuela_j ; sea d_ni la distancia entre el hogar i y la escuela más cercana, y u _ni el valor de la función de utilidad en la ecuación (1) vinculado a la elección de esa escuela. Sea u_m,i el valor de la función de utilidad asociado con la elección de la escuela que maximiza la ecuación (1). La escuela que minimiza d_i,j y la que maximiza u_i,j pueden ser diferentes para cada estudiante_i . Sólo cuando la escuela más cercana maximiza (1) habrán de coincidir y u_m,i . Finalmente, definimos v_i como:

(2)

esto es, v_i es una variable (observada) que cobra el valor de 1 cuando el estudiante asiste a la escuela más cercana a su hogar y el de 0 cuando procede de otra forma. Resulta conveniente evaluar la ecuación (2) en lugar de la (1), en vista de que podemos concentrarnos en modelar los factores que determinan la elección de la escuela más próxima empleando modelos de respuesta binarios. El modelo empírico dirigido a determinar las compensaciones y sacrificios que revisten las diferentes características escolares valoradas por los padres es:

(3)

donde F es una función de la distribución normal del estándar postulado, w_i es un vector de los determinantes y β un vector de los parámetros a ser estimados: la calidad de la escuela, los gastos de inscripción y colegiatura más la distancia entre la escuela y el hogar. Los parámetros asociados a estas características se pueden estimar recurriendo a una probabilidad máxima, lo que se hará mediante un modelo probit (véase el apéndice) tal como el usado por ^{Chumacero, Gómez y Paredes (2011)} , y a partir de allí se hace posible precisar las ventajas y desventajas o los factores más ponderables que se contemplan al elegir una escuela con ciertas características.

En segundo lugar, una vez que se ha estimado el peso correspondiente a cada uno de los atributos que atañen a la elección de escuela, definimos S_i como la ganancia que obtiene un individuo i que elige una escuela determinada en el periodo t, si es que contó con las opciones disponibles en el periodo_{t + k} , siendo que S_i se obtiene al comparar la utilidad reportada por la escuela elegida en 2000 con la de cada una de las escuelas que ingresaron a la industria entre 2000 y 2004. De este modo se facilita sopesar si la aparición de nuevas escuelas ha aumentado el nivel de utilidad cosechado por las familias, y si esta modificación en la utilidad incide o no en la decisión de permanecer o dejar la escuela elegida en 2000. Lo anterior queda expresado así:

(4)

En nuestro caso, entendemos por S_i el costo que un estudiante debe encarar cuando decide dejar la escuela elegida a cambio de otra que le agencie un nivel mayor de utilidad. Igualmente, en la ecuación (4) se aprecia que un estudiante habrá de virar hacia la mejor opción cuando los beneficios superen los costos en cuestión. Si esto ocurre, entonces se harán evidentes los beneficios de la competencia. En el estudio presente los costos de cambio se miden considerando el caso de cada estudiante, la ponderación apropiada de los atributos y el nivel de utilidad alcanzado por el proveedor elegido al enfrentarse a las nuevas propuestas en el mercado. Por ende, cuando una nueva escuela es una mejor opción que la escuela previamente elegida y el estudiante permanece en esta última, se comprende que debe hacer frente a los costos de cambio, esto es, S_i . En consecuencia, la utilidad de la nueva escuela debe ser lo bastante grande para compensar S_i , por lo que las familias decidirán llevar a sus hijos a ese nuevo centro. Así, S_i representa la máxima utilidad que acarreará por compensación la nueva escuela, según los atributos de la elección expuestos en (4). Ello queda expresado en (5) así:

(5)

Por lo tanto, suponemos que la probabilidad de cambiar la escuela original por la nueva depende de S_i , como ocurre en la ecuación (6):

(6)

Respecto a esta ecuación, esperamos que, en ausencia de los costos de cambio, nuestro modelo sugiera que un valor positivo de S_i debería inducir a los padres a olvidarse de la escuela previamente elegida. Juzgamos conveniente considerar la ecuación (5) en vez de la (6), puesto que ahora podemos centrarnos en precisar, mediante modelos de respuesta binarios, los factores que determinan la decisión de cambiar de escuela o permanecer en la misma.

Respecto a las ecuaciones (1), (4) y (5), proponemos que la elección de escuelas y la decisión de virar hacia una mejor opción dependen de una red de atributos que maximizan la utilidad. Ahora bien, queremos acotar que una confrontación de los resultados no debe pasar por alto el hecho de que puede haber otros atributos (como la disciplina escolar, los proyectos educativos, los valores, las expectativas de los padres respecto a sus hijos, etc.) que no hayan sido considerados al examinar los cambios en la utilidad o estimar la S_i . No obstante, nos parece innegable que se ha creado una base de datos bien detallada que nos permite garantizar la calidad de las estimaciones y conclusiones de este estudio. De manera similar, y más importante aún, estos atributos han sido reconocidos y empleados en la bibliografía y la investigación empírica, por ejemplo en ^{Gallego y Hernando (2009)} ; Gómez, ^{Chumacero y Paredes (2012)} , y Chumacero, Gallegos y Paredes (2016).

2. Los datos y el modelo empírico

Hemos seguido el núcleo de estudiantes que se encontraban en cuarto grado en 2000, valiéndonos de un código de identificación para cada miembro, y luego lo hemos observado de nueva cuenta como alumnos de octavo grado, lo que nos permitió verificar éstos si habían cambiado de escuela. Así, pues, podemos hacer una comparación entre las expectativas sobre la utilidad que reporta la escuela elegida originalmente y aquellas sobre la utilidad que acarrea una nueva escuela que no estaba a disposición del alumnado en el cuarto grado pero que sí lo estaba en el octavo, tal como se aprecia en la ecuación (4). Con este propósito en mente, integramos una serie de bases de datos. La primera base es el Sistema de Medición de la Calidad de la Educación (SIMCE), que permite identificar a los estudiantes, la escuela a que asistieron y una variedad de características sociodemográficas aledañas. La segunda, relativa a los estudiantes que aspiraban a ingresar a las universidades en 2009 (por estar cursando el duodécimo grado en 2008), nos permite obtener la dirección postal que tenían al momento de hacer la solicitud. Dando por sentado que no hubo cambio de dirección en el periodo considerado, dimos con la ubicación geográfica de cada hogar y cada escuela por medio de mapas digitales. A continuación, determinamos cuál era la distancia euclidiana que había entre la casa de un estudiante y la escuela respectiva y, junto a este parámetro, obtuvimos los vinculados al precio y la calidad del centro escolar, con lo que se logró fijar empíricamente el conjunto de ventajas y desventajas que vienen a constituir la función de utilidad indirecta. Los resultados de esta estimación guardan consistencia con la teoría y los hallazgos de ^{Chumacero, Gómez y Paredes (2011)} ; véase a este respecto el Cuadro 5.

CUADRO 4 Descripción de variables en los datos 

FUENTE: elaboración propia a partir del SIMCE y de la base de datos sobre los estudiantes que intentan ingresar a las universidades en 2009.

CUADRO 5 Modelo probit para la elección de la escuela más cercana 

* Significativo a 99%; ** significativo a 95%.

A fin de estimar los parámetros asociados a la probabilidad de que los padres resuelvan mantener a su hijo en la escuela elegida inicialmente, consideramos la ecuación (6). Las versiones empíricas generales de la ecuación (6) sirven en primer término para calcular directamente la probabilidad en términos de S_i , y, en segundo, para descomponer el efecto de cada variable sobre la probabilidad de cambiar de escuela durante el periodo considerado, con el objeto de estimar, según se observa en la ecuación (7), un posible efecto diferenciado.

(7)

Dadas las ecuaciones (1) y (5), el estudiante selecciona una escuela y más adelante la compara con todas las nuevas escuelas en 2004, y, dando por supuesta una forma funcional para u(⋅) y una disposición distributiva de ε_i,j, se pueden estimar los parámetros empleando un máximo de probabilidad. En coincidencia con ^{Chumacero, Gómez y Paredes (2011)} , proponemos que P_{i, j} (6), lo cual representa la probabilidad de desechar la escuela seleccionada en 2000, y Pi,jquedarse (7), lo cual representa la probabilidad de quedarse en la escuela seleccionada en 2000, se hallan distribuidos de acuerdo con un estándar normal y toman en consideración los atributos contemplados en la elección de escuela (precio, calidad y distancia). Con base en lo anterior, nos proponemos estimar la probabilidad de permanecer en la escuela previamente seleccionada pese a la existencia de una mejor opción; para ello recurrimos al modelo probit, ya que éste permite alcanzar un alto grado de predictibilidad: a saber, de 83.27% (véase el apéndice). Para este efecto, habremos de definir Pi,jquedarse como la probabilidad de que en 2004 se decida seguir todavía en la escuela elegida en 2000. Por lo tanto:

De acuerdo con nuestra expectativa sobre P_{i, j} y Pi,jquedarse, no se observa un comportamiento lineal en el aumento de probabilidades de cambiarse de escuela o permanecer en la escuela antes elegida cuando el sujeto se enfrenta a una modificación en los atributos de los nuevos centros educativos (en específico, en lo referente a las exigencias que pesan sobre los alumnos de nuevo ingreso). En otras palabras, es posible que el incremento en la probabilidad de quedarse en la vieja escuela o pasarse a la nueva no sea lineal, y, en particular, puede volverse estratosférico una vez que el beneficio traído por el cambio supera con creces a su costo. En la gráfica 2 se ilustra esta posibilidad de que coexistan dos regímenes. La existencia de una probabilidad no lineal se explica por el grado en que las familias se percatan de que el cambio a una nueva escuela representa una alteración sensible en el nivel de bienestar del educando, lo que se traduce en su determinación de dejarlo en la misma institución si el cambio a una nueva no acarrea más que un nivel un poco mayor de utilidad. Por lo tanto, delineamos un umbral para cada estudiante y calculamos de nuevo la probabilidad de que se quede en la escuela elegida hasta ese momento aun cuando haya mejores alternativas (véase ^{Hansen, 2000}).

GRÁFICA 2 Probabilidad de optar por otra escuela en virtud de los costos del cambio, P_{i, j} 

Semejante método nos permite discernir la existencia de dos parámetros de regresión que son diferentes y se dan de forma endógena, por ejemplo, para Pi,jquedarse , y esto lo definimos como sigue:

donde γ es el valor crucial para las diferencias observadas en la escuela en términos de calidad, precio y distancia si se divide la muestra en dos grupos diferenciados a fin de dar cuenta de P_i,j . En el caso presente, se proyectó un umbral para cada una de las variables, ∆R_j , ∆Precio_j y ∆D_i,j , adoptando el modelo propuesto por ^{Hansen (2000)} .