Sub-proceso: Analizar

Una vez establecido el modelo matemático, los alumnos se dedican a analizar este modelo para organizar el trabajo matemático que debe ser emprendido. Con este análisis se busca establecer una secuencia de construcción de los objetos geométricos que componen al modelo matemático e identificar las condiciones necesarias para realizar las construcciones en el GeoGebra.

Fase intermedia: Tarea de construcción

Una tarea de construcción con GeoGebra se define como una situación problemática que tiene la finalidad de obtener un dibujo dinámico representativo de un referente teórico de la Geometría Euclidiana —que, a su vez, es un modelo de algún aspecto del fenómeno—, mediante el uso de las herramientas de construcción y medida del software.

Sub-proceso: Construir

En este momento los alumnos se disponen a resolver una tarea de construcción mediante procesos de construcción geométrica. Estos procesos, además de concretarse mediante el uso integrado de las herramientas y funciones dinámicas del GeoGebra, se basan en el conocimiento matemático de los sujetos involucrados. En particular, el conocimiento matemático se pone de manifiesto en el desarrollo de nuevos análisis que conducen a plantear formas plausibles de determinar los elementos faltantes del dibujo geométrico para proceder en su construcción. Es importante señalar que este proceso se emprende tantas veces como objetos componen el modelo matemático.

Episodio 1: Identificar los objetos geométricos en el modelo

El primer episodio consistió en identificar los objetos geométricos que modelaban la cadena. Los objetos en cuestión fueron un arco de circunferencia y un segmento. La identificación de ambos objetos se apoyó en un análisis realizado sobre una imagen GIF⁶ del mecanismo en movimiento. Tras responder unas preguntas del promotor, los estudiantes identificaron al arco de circunferencia como el primer objeto geométrico representativo de la pieza.

Luego de identificar al arco de circunferencia, procedieron con el segmento. La identificación del segmento se logró a partir de un análisis geométrico realizado al arco de circunferencia en movimiento. Durante el análisis, la atención se centró en la longitud del arco de circunferencia y, en particular, sobre las condiciones en las que esta longitud alcanzaba un valor máximo o mínimo cuando el mecanismo estaba en marcha. En un primer momento de esta discusión, el promotor aprovechó una intervención de Rebeca para dirigir la atención de los presentes hacia la relación de dependencia entre la longitud del arco y de la altura del pistón, la cual se hacía evidente en la imagen animada.

Promotor (00:06:53–00:06:55): ¿En qué zona de la cadena se ubica el arco?

Rebeca (00:06:56–00:06:59): Cuando el pistón llega al límite superior.

Promotor (00:07:14–00:07:38): Rebeca, has mencionado algo que puede ser importante y que tiene que ver con la longitud del arco de circunferencia. ¿Qué le sucede a este arco cuando el pistón alcanza su máxima altura?

Rebeca (00:07:58–00:07:59): Llega hasta un límite.

En un segundo momento, la intervención del promotor se dirigió hacia la declaración de las relaciones entre la longitud del arco y la altura del pistón. A través de la discusión sobre lo visto en la imagen GIF, los estudiantes se percataron de que el arco de circunferencia lograba su mayor (o menor) longitud cuando el pistón alcanzaba su mayor (o menor) altura, y viceversa. Más aún, en esa misma discusión se llegó a concluir que el arco de circunferencia “adquiría una forma recta” cuando el pistón se localizaba en esa posición.

Promotor (00:08:11–00:08:29): Bien. Fíjense que cuando el pistón alcanza su máxima altura, el arco de circunferencia alcanza su máxima longitud. Ahora bien, si el arco tiene una máxima longitud cuando la cadena se mueve, ¿tendrá una mínima longitud?

Rebeca (00:08:30–00:08:35): Sí, [esto pasa] cuando el pistón llega al límite inferior.

Promotor (00:08:36–00:08:37): Bien, ¿y cómo es el arco en ese momento?

Rebeca (00:08:38–00:08:39): Está recto.

Una vez que surgió la idea de que el arco de circunferencia adquiría una forma recta a medida que el pistón disminuía su altura, en un tercer momento el promotor preguntó a los estudiantes cuál objeto geométrico podía representar esa parte recta de la cadena. Al final, el segmento surgió en la discusión como ese objeto geométrico que podía modelar mejor a esa parte de la cadena. Vale resaltar que todas las conclusiones generadas hasta el momento fueron anotadas en el pizarrón por el promotor.

Episodio 2: Elaborar un boceto de la cadena

Este episodio giró en torno al modelo real de la cadena, por tanto, se elaboró un boceto de esta pieza sobre el cual señalar los objetos geométricos antes identificados. Con este modelo real se buscaba valorar la importancia de su elaboración como un insumo que facilitaría los futuros procesos de matematización que tuvieran lugar en la actividad. El episodio inició con la intervención del promotor, quien sugirió a los estudiantes apoyar la identificación de los objetos geométricos en un boceto de aquella parte del mecanismo que se esté representando. Este boceto fue dibujado en el pizarrón por el propio promotor.

Promotor (00:14:48–00:15:58): Como hemos visto, la cadena tiene una forma extraña, porque no siempre es recta ni curva. A través de nuestro análisis pudimos concluir que esta pieza se podía representar mediante una figura mixta, compuesta por un segmento y un arco de circunferencia. Sin embargo, este proceso de identificación de objetos geométricos no es algo sencillo ni inmediato, como pudieron notar. Para hacer más fácil el reconocimiento de estos objetos geométricos, les aconsejo elaborar un boceto de la imagen GIF de su fenómeno, como si de una fotografía se tratara. Para este caso, el boceto de la cadena puede ser el siguiente (ver Figura 6). ¿Qué parte de la cadena es curva o recta? Eso es algo que en este boceto podemos visualizar directamente, cuestión que en la imagen GIF del mecanismo no es tan sencillo de ver.

Figura 6 Modelo real de la cadena elaborado por el promotor. 

Tras dibujar el modelo real en el pizarrón, el promotor pidió a los estudiantes señalar los extremos del arco de circunferencia y el segmento directamente sobre el dibujo. Con esta última intervención se dio por culminado el proceso de matematización en esta sesión de trabajo.

Episodio 3: Decidir cómo abordar la construcción

En este episodio los participantes decidieron cómo abordar la construcción de los objetos geométricos que componen el modelo matemático de la cadena en el GeoGebra. La decisión fue tomada tras un análisis global del modelo matemático, que consistió en el reconocimiento de las condiciones geométricas fundamentales para la construcción de uno u otro objeto con el software, y su relación con los elementos que hayan sido dibujados en la interfaz previamente.

Este análisis global se inició con una intervención del promotor, quien intentó dirigir la atención de los alumnos hacia los extremos de la cadena y el punto que dividía las partes rectilínea y curvilínea de esta pieza. En el momento de la discusión Eduardo plantea la posibilidad de comenzar el trabajo matemático por el arco de circunferencia a partir de la localización de sus extremos. Ante este planteamiento, el promotor intentó persuadir a los estudiantes sobre la conveniencia de iniciar la construcción de la cadena por el segmento, ya que para el momento se contaba con uno de sus extremos dibujados en la interfaz del GeoGebra.

Promotor (00:18:21–00:19:00): Particularmente, estoy notando que la cadena depende de sus extremos y, según el boceto que hemos dibujado, este punto parece ser aquel que hace la división entre la parte que es recta y la parte que es curva en la cadena. Hablemos de lo que tenemos. ¿Tenemos este punto [el extremo conocido del segmento]?

Rebeca (00:19:01–00:19-02): Sí, lo tenemos.

Promotor (00:19:03–00:19:10): Muy bien, lo tenemos. Pero este punto no lo tenemos y este tampoco [los extremos del arco de circunferencia].

Eduardo (00:20:12–00:20:22): ¿Y si aquí trazamos este punto y luego encontramos un punto más abajo, que es el punto en el cual comienza la parte recta de la cadena?

Promotor (00:20:23–00:21:04): Puede ser […] Pero fíjense que este punto no lo tenemos, que es el que Eduardo dice que localicemos, y este otro tampoco. Ante esto, es más conveniente iniciar la construcción por el punto que ya tenemos, que es este [el extremo conocido del segmento].

Es importante aclarar que, si bien se tomó la decisión de iniciar el trabajo matemático por la construcción del segmento, los participantes no declararon las condiciones para la representación de este objeto en la interfaz del software, ni se estableció la tarea de construcción correspondiente.

Episodio 4. Localizar el extremo desconocido del segmento

Conocido uno de los extremos del segmento, el siguiente episodio trató sobre la localización geométrica del otro extremo del objeto, aquel que une al segmento con el arco de circunferencia. Para localizar este punto los participantes llevaron a cabo un análisis geométrico en dos momentos. Durante el primer momento fueron identificados los lugares geométricos a los que pertenecía el extremo a localizar, con base en lo observado en la imagen GIF de la cadena (ver Figura 7).

Figura 7 Imagen de referencia para el análisis en el episodio 4. 

Los lugares geométricos identificados fueron una circunferencia (aquella que contiene al arco) y una recta (aquella que contiene al segmento). En la siguiente conversación se muestra cómo el promotor orienta a los estudiantes hacia la identificación de esos lugares geométricos:

Promotor (00:21:37–00:21:46): Sabemos que el segmento es rectilíneo[...] Entonces, ¿en qué parte específica se encuentra el extremo desconocido?

Sara (00:21:58–00:22:00): En la circunferencia [que contiene al arco de circunferencia].

Rebeca (00:22:57–00:22:59): Sí, tiene que estar en la circunferencia.

Promotor (00:23:00–00:23:08): ¿Cuál? Recuerden que para definir una circunferencia se necesitan su centro y radio.

Fabiola (00:23:11–00:23:16): [Esa circunferencia] tiene centro en J. No sé cuál es el radio.

Promotor (00:23:36–00:25:01): Está bien. Entonces el extremo está en esa circunferencia, ¿y solamente allí? ¿No podrá estar en otra parte? […] A ver, fijemos la atención en el segmento. ¿Qué dirección tiene este segmento en el plano?

Sara (00:25:02–00:25:03): Vertical.

Promotor (00:25:04–00:25:37): Muy bien[...] Entonces, ¿dónde debe estar el extremo desconocido, sabiendo que el segmento es vertical?

Rebeca (00:25:51–00:25:52): En la recta [señalando a aquella que contiene al segmento].

Promotor (00:25:53–00:28:41): Correcto, ese extremo se encuentra en la recta que contiene al segmento. Esa recta ya está dibujada en el software[...] Ahora bien, si este punto está en la recta y en la circunferencia, entonces ¿dónde está?

Fabiola (00:28:42–00:28:43): En el punto de corte.

Una vez identificados los lugares geométricos, en el segundo momento del análisis se inició una discusión sobre las relaciones de posición entre una recta y una circunferencia en el plano, con el fin de que los alumnos reconocieran el caso correspondiente a los lugares geométricos de la situación. Tras responder una serie de preguntas y apoyándose en dibujos hechos en el pizarrón, fue posible definir los tres casos de intersección entre una recta y una circunferencia: la recta es secante, tangente o exterior a la circunferencia. Más aún, los estudiantes reconocieron el caso correspondiente a su situación.

Promotor (00:35:10–00:35:12): Rebeca, ¿cuántos cortes ves entre la circunferencia y la recta que dibujó Fabiola?

Rebeca (00:35:17–00:35:18): Dos cortes.

Promotor (00:35:19–00:35:22): Muy bien. Ahora quiero que dibujes otra recta que corte de forma diferente a la circunferencia.

Rebeca (00:35:26–00:35:31): Creo que así [dibuja otra recta secante a la circunferencia].

Promotor (00:35:32–00:35:40): Pero la corta en dos puntos también. ¿No existe una recta que corte a la circunferencia en más o menos puntos?

Fabiola (00:35:41–00:35:46): Sí, esta otra recta [dibuja una recta tangente a la circunferencia].

Promotor (00:35:47–00:35:48): ¿Cuántos cortes hay en este caso?

Rebeca (00:35:49–00:35:50): Un corte.

Promotor (00:35:53–00:35:58): ¿Será posible que una recta corte tres veces a una circunferencia?

Fabiola (00:36:00–00:36:03): A una circunferencia, no.

Eduardo (00:36:09–00:36:20). Para mí no existe una recta que corte tres veces a una circunferencia.

Promotor (00:36:22–00:36:24): Entonces, ¿cuáles son los tres casos posibles?

Fabiola (00:36:25–00:36:28): Que no corte, que corte en dos y que corte en uno.

Promotor (00:36:39–00:03:41): Bien. ¿Cuál de los tres casos aplica en nuestra situación?

Rebeca (00:36:42–00:36:46): El caso tres [el de tangencia] porque nada más se tiene que cortar aquí en este punto [señalando el lugar que debe ocupar el otro extremo del segmento].

Episodio 5. Dibujar el extremo desconocido del segmento en el GeoGebra

A continuación, en el episodio 5, los alumnos se dedicaron a dibujar el extremo desconocido del segmento en el GeoGebra. Vale recordar que antes de proceder en la construcción, ya se había representado la recta que contiene al segmento en la interfaz del GeoGebra, como se muestra en la Figura 7. A pesar del análisis realizado en el episodio 4, con la intervención de Eduardo se propone una manera de dibujar el extremo desconocido que no alude a la relación de tangencia entre la recta y la circunferencia, al menos de forma explícita. El procedimiento de Eduardo consistió en trazar una recta perpendicular a por el punto J con la herramienta “Recta Perpendicular” (ver Figura 8a) e intersecar ambas rectas con la herramienta “Intersección de Dos Objetos”, siendo el punto de corte L el extremo desconocido del segmento (ver Figura 8b).

Figura 8 Resultado del procedimiento de construcción de Eduardo. 

Con objeto de procurar un uso eficiente de las herramientas mencionadas, el promotor hizo énfasis en las condiciones geométricas que exige el software para utilizar tales opciones, como se indica en la Figura 8. Una vez dibujado el punto L, los estudiantes procedieron a construir el segmento que representa la parte rectilínea de la cadena mediante la herramienta “Segmento entre Dos Puntos”, siendo L y H sus extremos (ver Figura 8c). De esta forma se dio por culminada la tarea de construir el segmento en el GeoGebra.

Episodio 6. Analizar el arco de circunferencia para su construcción

Para continuar con el trabajo matemático, en el episodio 6 los participantes realizaron el análisis del arco de circunferencia que modela la parte curvilínea de la cadena con el fin de caracterizar a este objeto geométrico y determinar una manera de usar al GeoGebra en su representación. En un primer momento del análisis, la discusión fue orientada hacia la definición del arco de circunferencia, con el propósito de concientizar a los alumnos sobre el papel de la teoría geométrica en la configuración de una ruta de construcción posible de este objeto con el software. La discusión se inició con la definición de arco dada por Rebeca, quien consideraba este objeto como “la mitad de una circunferencia”. Mediante una ilustración en el pizarrón y algunas preguntas focalizadas, el promotor ayudó a Rebeca a refinar su definición, como se evidencia a continuación. La discusión concluye con la declaración de las condiciones para la construcción de un arco de circunferencia con GeoGebra, por parte del promotor.

Promotor (01:03:05–01:03:24): Entonces, ¿qué es un arco de circunferencia?

Rebeca (01:03:27–01:03:28): Es como la mitad de una circunferencia.

Promotor (01:03:44–01:04:37). ¿Siempre es la mitad? A ver, indiscutiblemente la mitad de una circunferencia es un arco de circunferencia, ¿pero siempre es la mitad? Veamos. Este es un punto A y este es un punto B [puntos dibujados en el pizarrón] y esto es un arco. Rebeca, ¿este arco es la mitad de la circunferencia?

Rebeca (01:04:38–01:04:42): No. Entonces es una parte de una circunferencia.

Promotor (01:04:53–01:05:01): Bien, es una parte, pero ¿solo eso?

Eduardo (01:05:02–01:05:04): Que está relacionada entre dos puntos.

Promotor (01:05:05–01:08:19): Bien, el arco es una porción de circunferencia limitada por dos puntos que son sus extremos[...] Por lo que parece, para poder dibujar un arco de circunferencia en el GeoGebra debemos contar con sus extremos.

Una vez mencionadas las condiciones de la construcción, en un segundo momento del análisis la discusión versó sobre las herramientas que el GeoGebra ofrece para dibujar arcos de circunferencia. La finalidad de esta discusión fue identificar la opción más conveniente para el trazado del arco de la situación, teniendo en cuenta los elementos con que se contaba para hacerlo. La primera herramienta en ser consultada fue “Arco de Circunferencia con Centro entre Dos Puntos”, la cual requiere del centro del arco y sus extremos para ser usada. Al respecto, Ignacio se percató de la dificultad de utilizar esta herramienta, ya que solo se contaba con el centro del arco y uno de sus extremos (puntos J y L, respectivamente), asomando la necesidad de localizar el otro extremo del arco para utilizar la herramienta debidamente.

Los participantes notaron que era aún menos conveniente utilizar la herramienta “Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos”, debido a que se desconocían dos de los tres puntos requeridos por el software. Ante este panorama, tomaron la decisión de utilizar la primera herramienta consultada para construir el arco de circunferencia en el GeoGebra, lo cual suponía determinar el extremo desconocido del arco. Vale resaltar que la tarea de construcción no fue declarada, a pesar de que fueron consideradas las condiciones para dibujar un arco en el software y los elementos con que ya se contaban de este objeto.

Episodio 7. Localizar el extremo desconocido del arco de circunferencia

Tal como sucedió en el episodio 4 para el caso del segmento, en este nuevo episodio los alumnos se dedicaron a localizar geométricamente el extremo desconocido del arco de circunferencia. La localización de este extremo (el punto A) se basó en la identificación de los lugares geométricos a los cuales pertenece este punto. En un primer momento del análisis, el promotor intentó dirigir la atención de los estudiantes hacia el punto A y su relación de “dependencia” con el punto H (extremo inferior del segmento). Atendiendo algunas preguntas, Rebeca pudo identificar que el movimiento de A se producía cuando H se movía, lo que ayudó al promotor a concluir que la localización del punto A se debía lograr en función del punto H.

Promotor (01:12:29–01:12:43): Muchachos, fíjense en esto. El punto A ¿de quién depende? Es decir, ¿cuál punto, al moverse, ocasiona que A se mueva?

Rebeca (01:12:47–01:12:51): A se mueve si se mueve H.

Promotor (01:12:52–01:13:08): Exacto[...] Noten en la imagen GIF cómo A sube a medida que H sube, y a medida que H baja, A también baja. Por tanto, debemos hacer depender el punto A de H, debemos lograr que A se mueva cuando H lo haga.

Luego de identificar la dependencia del movimiento de A con respecto a H, en un segundo momento del análisis Eduardo ideó una forma de localizar el extremo A a través de la construcción de un ángulo inscrito a la circunferencia que contiene al arco. En su intervención Eduardo dibujó una circunferencia en el pizarrón y señaló al centro J como el vértice del ángulo y a los puntos L y A como los laterales (ver Figura 9).

Figura 9 Dibujo realizado por Eduardo en el pizarrón. 

El promotor aprobó la idea de Eduardo, sin embargo este hizo notar que no era conveniente considerar a L como uno de los laterales, sino más bien al punto H, debido a la relación que se debía establecer entre H y A.

Eduardo (01:17:30–01:17:53): Se me estaba ocurriendo trazar estos dos puntos [dibuja el radio JL-] y hallar este punto aquí [dibuja el radio JA-].

Ignacio (01:17:54–01:17:55): Esa figura es un ángulo.

Promotor (01:17:56–01:19:53): Sí, es un ángulo. La idea de ángulo me gusta, es posible[...] Pero fíjense, no perdamos de vista que debemos hacer que A se mueva en función de H. ¿L se mueve?

Rebeca (01:19:55–01:19:56): No.

Promotor (01:19:57–01:20:42): Exacto, L no se mueve. Si trazamos el ángulo ∠LJA, este no se moverá. Vinculen este ángulo con el punto H. Si centramos la atención en este ángulo [∠HJA], ¿qué pueden notar?

Ignacio (01:20:43–01:20:45): Allí está la relación [entre A y H].

En un tercer momento del análisis, el promotor inició una discusión sobre los elementos de un ángulo, con la finalidad de que los alumnos reconocieran aquellos elementos del ángulo ∠HJA (sugerido por Eduardo) que previamente fueron dibujados en la interfaz, e idearan alguna manera de representar los elementos faltantes para proceder con la construcción de esta figura. A través de un dibujo en el pizarrón, el promotor ilustró los elementos de un ángulo y aprovechó la ocasión para compartir una definición de este objeto geométrico con los presentes. De esta discusión se concluyó que el extremo A venía dado por el punto de corte entre la circunferencia que contiene al arco y la semirrecta , uno de los lados del ángulo ∠HJA. En consecuencia, se trazó la semirrecta , se determinó el punto A y se construyó el arco.

Promotor (01:23:49–01:24:35): ¿Cuál es el vértice del ángulo que vamos a construir? ¿Lo tenemos dibujado en el software?

Eduardo (01:24:36–01:24:38): El vértice es J y sí lo tenemos dibujado.

Promotor (01:24:40–01:24:42): Muy bien. ¿Cuáles son los laterales? ¿Los tenemos dibujados?

Eduardo (01:24:43–01:24:45): H y A, pero solo tenemos a H.

Promotor (01:24:47–01:25:06): Perfecto. Entonces si tenemos a J y H, podemos trazar el lado JH→. El lado JA→ no lo podemos trazar. Pero, si se dan cuenta, A es un punto de corte. ¿Pueden reconocer cuáles son los objetos geométricos que, al cortarse, generan a A?

Eduardo (01:25:07–01:25:08): La circunferencia [que contiene al arco] y la recta.

Rebeca (01:25:09–01:25:11): No, con la semirrecta JA→.

Episodio 8. Dibujar el extremo A del arco de circunferencia

En el último episodio, el interés se centró en el proceso de construcción del arco de circunferencia con el GeoGebra, siguiendo la ruta establecida del episodio anterior. Para ello, los participantes identificaron a la rotación como un objeto geométrico propicio para obtener a , a partir del movimiento de con respecto a J y dada una amplitud estimada.

Promotor (01:26:03–00:26:19): ¿Cómo podemos obtener la semirrecta JA→ a partir de JH→?

Rebeca (01:26:27–01:26:29): A través de una traslación.

Ignacio (01:26:47–01:26:49): No, a través de una rotación.

Promotor (01:26:50–01:27:01): Exacto. Fíjense que si rotamos a JH→ con respecto a una cierta amplitud estimada, obtendremos la semirrecta JA→. Una vez dibujada JA→, la podremos intersecar con la circunferencia y así obtendremos el punto A.

Ante la propuesta de Ignacio de rotar la semirrecta para obtener a , Eduardo se mostró contrariado ya que él no encontraba sentido al hecho de rotar a H, dado que este punto no estaba sobre la circunferencia como sí lo estaba A. Ante esta situación, el promotor sugirió a los estudiantes intersecar a con la circunferencia que contiene al arco, para que visualizaran al punto de corte en la circunferencia y, de este modo, dotar de sentido a la rotación.

Eduardo (01:27:07–01:27:19): El problema es que al rotar a JH→, el punto H no quedará sobre la circunferencia, entonces no servirá porque A sí está sobre la circunferencia.

Promotor (01:29:25–01:29:49): Es cierto. ¿Qué tal si hallamos este punto? Por definición de rotación, este punto siempre permanecerá en la misma circunferencia al ser rotado. ¿Les parece bien si lo hacemos así?

Eduardo (01:29:50–01:29:52): Sí, hagámoslo así.

De esta forma, se trazó la semirrecta con la herramienta “Semirrecta que pasa por Dos Puntos” y se intersecó con la circunferencia que contiene al arco, obteniendo el punto M (ver Figura 10a). Una vez obtenido este punto, se le rotó con respecto a J una amplitud estimada de α = 62° en sentido contra-horario, con la herramienta “Rota Objeto en Torno a un Punto, el Ángulo indicado”, obteniendo así al punto M′ (ver Figura 10b). Obtenido el otro extremo del arco, este se trazó con la opción “Arco de circunferencia con Centro entre Dos Puntos” (ver Figura 10c), dando por finalizada la tarea de representar la cadena en el GeoGebra.

Figura 10 Dibujo dinámico obtenido tras el trabajo matemático.