4.1. MÉTODO

El presente trabajo de tipo cualitativo (^{Vasilachis, 2009}) se interesa en analizar las tareas del libro de texto de primero de primaria atendiendo a 4 criterios del modelo de Niveles de Algebrización (^{Godino et al., 2014}): (1) Tipo de objetos algebraicos; (2) Tipo de notación o representaciones; (3) Transformaciones o cálculo analítico; y (4) Situaciones de modelización.

Para llevar a cabo el análisis elaboramos una primera categorización a través de la identificación de objetos algebraicos de carácter estructural (propiedades de las operaciones, equivalencias, cantidades desconocidas o indeterminadas que pueden representar incógnitas o variables, etc.), y de carácter funcional (relaciones de cambio, patrones, sucesiones). Identificamos también el tipo de notación o representaciones que se manifiestan en la tarea, o sea, de tipo verbal, numérico, tabular, icónico, etc., que son necesarias para su resolución. Aludimos también al tratamiento que se aplica a las cantidades desconocidas, en el sentido al que refieren ^{Puig & Rojano (2004)}, de operar con lo indeterminado. El tema de la modelización fue considerado en términos de ^{Filloy, Puig & Rojano (2008)}, quienes sugieren que los problemas verbales se modelizan a través de ecuaciones. Es importante mencionar que el modelo de algebrización propuesto por ^{Godino et al, (2014)} establece que el carácter algebraico se refiere a la actividad matemática del estudiante y no a la tarea en sí, es decir, se basa en la actividad efectivamente desarrollada por los sujetos, por lo que su carácter es funcional y contextual (^{Godino, Castro, Aké & Wilhelmi, 2012}; ^{Godino, et al., 2015}). Sin embargo, también es de utilidad para discernir entre tareas que pueden favorecer el pensamiento algebraico, tal y como se ejemplifica en los siguientes análisis cualitativos de las tareas matemáticas que propone el libro de primero de primaria.

4.2. ANÁLISIS DE LAS TAREAS DEL BLOQUE 1 DEL LIBRO DEL ALUMNO

En el primer bloque del libro para el alumno, que cuenta con 16 tareas, encontramos los siguientes objetos algebraicos (OA): la noción de equivalencia (EQ), cantidad desconocida (CD), patrones (PA) y sucesión (SU) como puede apreciarse en la Tabla 2.

Además, predominan las representaciones de tipo numérica, icónica y tabular en las tareas; naturalmente, no se les da un tratamiento analítico a las cantidades desconocidas, pues no se opera en ambos lados de las expresiones numéricas que son planteadas. La modelización implicada en este primer bloque refiere a problemas verbales de suma y resta en las que el elemento desconocido es el resultado. Las tareas no tienen la intención inmediata de situar a los estudiantes en contextos de análisis de propiedades y relaciones entre cantidades o conjuntos, pero es posible orientarlas para favorecer la emergencia del pensamiento algebraico en los niños. En este bloque la tarea 10 resultó promotora de un pensamiento proto-algebraico de carácter funcional, mientras que las tareas 12 y 14 de carácter estructural. Por ejemplo, la tarea 10 (Figura 1) está enfocada en el conteo de las piezas que conforman la figura y a reproducirlas de acuerdo al modelo dado, sin dirigir al estudiante hacia la apreciación de relaciones entre las características de la secuencia de figuras. Sin embargo, es posible identificar en la tarea la idea de patrón que puede comenzar a desarrollarse, en un primer momento, al asociar una posición para cada figura y pensar en el término siguiente. Aunque la acción anterior implica un nivel cero de algebrización, a partir de esta situación puede orientarse hacia un primer nivel de pensamiento proto-algebraico, preguntándole a los alumnos sobre las características de las figuras en las posiciones pares e impares, y que finalmente generalicen a la posición nésima.

Figura 1 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 26}). 

El alumno tiene que asociar la posición (N = 1, 2, 3, 4, ...) para cada figura con el color de los elementos que la conforman (Figura 2). Si identifica, por ejemplo, que a todos los números pares le corresponde siempre la figura cuyo color verde está “arriba” y a todos los números impares le corresponde siempre la figura cuyo color verde está “abajo”, entonces se puede decir que la tarea promueve un pensamiento proto-algebraico de carácter funcional de nivel 1 de algebrización. Claramente el niño de 6-7 años no tiene que enunciar la regla verbalmente, basta con que sea capaz de formar la figura correctamente si se le solicita la posición 15 o 26, sin que tenga que formar las figuras precedentes.

Figura 2 Tratamiento proto-algebraico funcional de la tarea planteada en la Figura 2. 

Por otro lado, la tarea 12 (Figura 3) propone al alumno el conteo de los objetos. En el primer caso de la consigna 1, el niño tiene que contar los jarrones de la mesa naranja para determinar el número de objetos que están sobre ella, es decir 9; luego tendría que iniciar el conteo de los jarrones de la mesa verde, o sea 5, y continuar hasta que llegue a 9. Así obtendría la respuesta. De manera similar puede resolver lo que se indica en la consigna 2, coloreando las frutas de la canasta amarilla. Realizar este conteo no implica un acercamiento a formas de pensamiento proto-algebraicas, pero de la tarea emerge la noción de equivalencia, que es posible potenciar para promover el pensamiento algebraico, proporcionando otras indicaciones al estudiante.

Figura 3 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 29}). 

A partir de la tarea 12 es posible establecer una correspondencia entre las flores de la mesa verde y las de la mesa naranja, sin hacer el conteo de manera explícita. Posteriormente, recurrir a la descomposición numérica del número de objetos que hay sobre la mesa naranja y conducir hacia un pensamiento relacional del signo igual (Figura 4).

Figura 4 Tratamiento proto-algebraico estructural de la tarea planteada en la Figura 3. 

De esta manera se usa el sentido del número y la operación para reflexionar sobre expresiones matemáticas en calidad de objetos, en lugar de como procedimientos aritméticos que se llevan a cabo (^{Carpenter, Franke & Levi, 2003}). Lo anterior situaría la tarea como promotora de un pensamiento proto-algebraico de carácter estructural de nivel 1 de algebrización.

En las tareas 7, 9 y 13, particularmente, aunque se identificaron objetos algebraicos, estos no resultaron ser condición suficiente para desarrollo del pensamiento algebraico. En la tarea 7 y 9 se identificó la noción de sucesión, pero la tarea refiere al conteo de los primeros 30 números naturales completando casillas vacías (cantidad desconocida) consecutivas, por lo cual estos dos elementos -sucesión y cantidad desconocida- presentes en las tareas, no potencian el pensamiento proto-algebraico. Para el caso de la tarea 13 observamos que la sola existencia de cantidades indeterminadas tampoco promueve un pensamiento algebraico, necesariamente tiene que estar en un contexto de equivalencia. A continuación, se ejemplifica esta situación con la Figura 5 que representa la tarea 13, la única del bloque 1 que plantea problemas de tipo verbal.

Figura 5 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 30}). 

En esta tarea 13 se promueve la idea del signo igual en su significado como resultado de operación, por lo cual la cantidad desconocida queda asociada a un carácter procedimental que denota la expresión a + b = █, con a y b conocidos. La solución implica el uso de operaciones aritméticas encadenadas e indicadas en el enunciado del problema, por lo que no es posible implicar al estudiante en la comprensión y aplicación de propiedades de las operaciones.

4.3. ANÁLISIS DE LAS TAREAS DEL BLOQUE 2 DEL LIBRO DEL ALUMNO

En el segundo bloque del libro de primer año, que cuenta con 12 tareas, encontramos objetos algebraicos tales como la noción de equivalencia (EQ), propiedades de las operaciones (PO) y cantidades desconocidas (CD), presentes la Tabla 3.

Predominan las representaciones icónicas y es evidente de nuevo que la presencia de las cantidades indeterminadas no es condición suficiente para el desarrollo del pensamiento algebraico. Llama la atención que este bloque presenta 3 tareas que plantean problemas verbales, las tareas 22, 24 y 28. Sin embargo, estos problemas verbales se resuelven con expresiones del tipo a + b = █, en donde la cantidad inderminada es el resultado de la operación. Lo anterior puede apreciarse en la Figura 6, que muestra un extracto de la tarea 22 en donde la solución al problema verbal planteado resulta de realizar 20 menos 12.

Figura 6 Extracto de la tarea 22 del libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 44}). 

Así, encontramos 3 tareas a través de las cuales se puede tener un acercamiento al pensamiento proto-algebraico de carácter estructural, las tareas 19, 20 y 21. A continuación describimos el análisis de la tarea 19 (Figura 7), la cual es planteada con la finalidad de que el niño compare cantidades haciendo la operación de sumar números de hasta dos dígitos.

Figura 7 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 41}). 

En la tabla que corresponde a la primera semana, se cuenta el dinero total de Pedro (10+5+1+1+2=19), para compararlo con el dinero total de Guadalupe (10+5+5+1=21). Claramente es promovida una interpretación de signo igual como resultado de operación, además de calcular con números particulares, en un formato icónico y aplicando la correspondiente consigna aditiva para hallar la respuesta. No obstante, con esta misma situación que plantea la tarea podría orientarse la atención del niño en el uso de la propiedad asociativa, a través de la descomposición numérica y de la noción de equivalencia. Por ejemplo, la Figura 8 representa el tratamiento que podría darse al dinero acumulado de la primera semana de Guadalupe y Pedro. Es claro que el niño no tiene que implicarse en el nombramiento de cada una de las propiedades, pero si se le puede referir a la acción que conlleva su uso, lo cual implica un pensamiento proto-algebraico de carácter estructural de nivel 1 de algebrización. Posteriormente, si se amplía al marco del estudio de las equivalencias tales como 5 = 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 2 = (1 + 1 + 2) + 1 y 4 + 1 = 1 + 1 +1 + 2, en las que se comience a introducir la notación simbólica, se estaría en un nivel de algebrización 2. Por ejemplo: 4 + █ = █ + █ + █ +2. De la misma manera puede analizarse el dinero obtenido por Pedro, para finalmente comparar sentencias como 10 + 5 + 4 y 10 + 5 + 4 +2 y así obtener la respuesta solicitada en la tarea.

Figura 8 Tratamiento proto-algebraico estructural de la tarea propuesta en la Figura 7. 

De esta forma se incursiona al niño en el conocimiento de las propiedades estructurales que comprende el conocimiento, en este caso propiedades como la asociativa; también en el sentido relacional del signo igual para el tratamiento de las equivalencias a través de identidades numéricas, e introducir la notación simbólica. El uso de identidades aritméticas puede considerarse un paso previo en la adquisición del concepto de ecuación (^{Alibali et al., 2007}).

4.4. ANÁLISIS DE LAS TAREAS DEL BLOQUE 3 DEL LIBRO DEL ALUMNO

En el tercer bloque, que cuenta con 12 tareas, fueron encontrados los siguientes objetos algebraicos: la noción de equivalencia (E), propiedades de las operaciones (PO), cantidades desconocidas (CD) y sucesión (SU), como puede apreciarse en la Tabla 4.

Prevalecen las representaciones numéricas y tabulares; al igual que en el bloque anterior, encontramos 3 tareas, 35, 36 y 37, en contextos de problemas verbales que hacen alusión al tipo de modelización que se proponen a través de ellas. Estas tareas evocan cantidades indeterminadas que se corresponden con los resultados de las operaciones del tipo a + b = █, por lo cual tampoco implican el desarrollo de un pensamiento algebraico. En este bloque hay un aumento entre el número de tareas que evocan cantidades indeterminadas que se corresponden con los resultados de las operaciones, por ello no se promueve la analiticidad con las cantidades indeterminadas. Las tareas 30, 31 y 32 están orientadas al conteo de los primeros 100 números naturales de forma consecutiva; en el caso de las tareas 30 y 31, ocultan valores que el niño tendría que completar. Al igual que la tarea 7 del bloque 1, estas tareas no promueven el pensamiento pro-algebraico.

Identificamos, finalmente, a las tareas 33, 34 y 38 como facilitadoras para el desarrollo del pensamiento proto-algebraico de carácter estructural. Las tareas 33 y 34 se enmarcan en la descomposición numérica con objeto de obtener expresiones equivalentes para un mismo número. Por ejemplo la tarea 34, presentada en la Figura 9, se encuentra articulada con la intención de descomponer los números 15 y 4, y encontrar las expresiones que cumplan con la condición x + y = 15 y x - y = 4.

Figura 9 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 66}). 

La tarea sugiere una interpretación del signo igual como resultado de operación, ya que no se propone al estudiante que compare las expresiones equivalentes entre sí. Sin embargo, es posible dar a la tarea dos orientaciones en el aula. En la primera, el profesor podría generar el análisis de las diferentes sentencias numéricas que expresen la suma de dos dígitos igual a 15, por ejemplo: 1 + 14 = 15; 2 + 13 = 15; 3 + 12 = 15 y así sucesivamente. Posteriormente, podrían analizarse las equivalencias entre dichas expresiones, es decir, 1 + 14 = 2 + 13; 1 + 14 = 3 + 12; 2 + 13= 3 + 12, utilizando la propiedad asociativa. Es en este sentido en el que se plantea un cambio en la enseñanza de contenidos aritméticos en la educación primaria respecto al desarrollo de un significado relacional y simétrico del signo igual, pues los niños de este nivel tienden a ver este símbolo como un operador que indica un resultado (^{Jones & Pratt, 2006}). Con el análisis de expresiones numéricas equivalentes estaríamos promoviendo pensamiento proto-algebraico de carácter estructural de nivel 1, que podría considerarse de un nivel 2 de algebrización si se introduce notación simbólica (de manera similar a la tarea 19 del bloque 2).

La segunda orientación implicaría un análisis tabular como el dado en la Figura 10, donde la representación tabular podría ampliarse al estudio de los números negativos y de expresiones equivalentes, tales como y = 15 - x y y = x - 4. También podría implicarse el estudio de las gráficas correspondientes a las funciones definidas, que enmarcaría a la tarea como promotora de un pensamiento algebraico consolidado con un nivel 3 de algebrización.

Figura 10 Tratamiento proto-algebraico funcional de la tarea propuesta en la Figura 10. 

Con esta tarea se puede tratar a las operaciones aritméticas como funciones, para que los estudiantes analicen las relaciones de cambio en conjuntos de números (Carraher, Schliemann & Brizuela, 2000).

4.5. ANÁLISIS DE LAS TAREAS DEL BLOQUE 4 DEL LIBRO DEL ALUMNO

El bloque 4 del libro cuenta con 12 tareas y en él se encontraron objetos algebraicos como la noción de equivalencia (EQ), propiedades de las operaciones (PO), cantidades desconocidas(CD), la noción de relación de cambio (RC) y sucesión (SU), mostrados en la tabla siguiente:

Fueron identificadas representaciones de tipo numérico, icónico y tabular, y prevalecen las situaciones que evocan cantidades indeterminadas que se corresponden con los resultados de las operaciones del tipo a + b = █. Este tratamiento del signo igual como resultado también está presente en la tarea 42, que promueve la identificación de la mitad y el doble de un número en un escenario de problemas verbales. La analiticidad no está presente en las tareas de este bloque. Las tareas 40 y 41 se enmarcan en el conteo de los primeros 100 número naturales, centrándose en la ubicación de determinados números en la secuencia. La tarea 45 está centrada en la descomposición numérica únicamente en decenas y unidades para obtener un resultado específico, por lo cual no es posible que emerja la noción de equivalencia. Finalmente, las tareas 48 y 49 refieren al cálculo mental de la suma y resta de números menores a 10. Por lo anterior, las tareas no fueron referidas como promotoras de un pensamiento algebraico. Identificamos que las tareas 43, 44 y 46 potencian un pensamiento proto-algebraico de carácter estructural, mientras que la tarea 47 uno de carácter funcional. La formulación de la tarea 47 (Figura 11) fue planteada por los autores para ser resuelta por niños de 6 años que están iniciándose en el aprendizaje de la numeración y las operaciones de sumar y restar números de dos dígitos.

Figura 11 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 88}). 

Aunque se advierte que la intención de la tarea es poner a los niños en situación de resolver una ecuación del tipo x - 7 = 24 , evitando el uso de símbolos literales para la cantidad desconocida, ya que esta es sustituida por una celda en blanco, él niño se ve orientado a interpretar el signo igual como resultado. Por tanto, solo se calcula el resultado aplicando la correspondiente consigna aditiva o sustractiva con números pequeños y particulares en cada una de las tablas de la tarea (sumar 4, sumar 6, restar 7 y restar 5). Con este planteamiento no se puede decir que intervenga el pensamiento algebraico, sino puramente aritmético. No obstante, con esta misma situación podría ampliarse la tarea para focalizar la atención en objetos y procesos de naturaleza proto-algebraica, según indicamos a continuación.

En la tarea de la Figura 13 se identifican conceptos como el de valor desconocido, relación de cambio entre dos cantidades y la regla de correspondencia. Implícitamente está la noción de función; por ejemplo, la tabla 3 (mirando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo) puede desarrollarse en el siguiente arreglo tabular (Figura 12):

Figura 12 Tratamiento proto-algebraico funcional de la tarea propuesta en la Figura 11. 

El maestro podría, entonces, promover el tránsito de lo numérico a lo tabular y posteriormente -en niveles educativos más avanzados- de lo gráfico a lo simbólico-literal. Si el alumno solo es capaz de identificar el término siguiente, se encuentra en un nivel cero de algebrización. Sin embargo, si se lo lleva a pensar en la idea de “cualquier posición”, puede llegar a reconocer la regla de correspondencia y generalizar que “restando 7” a cualquier valor proporcionado (dominio de la función) puede obtener el valor correspondiente (contradominio de la función), lo cual supone un primer nivel de algebrización. De esta manera, con la ayuda del profesor, podría tener un primer encuentro con el pensamiento proto-algebraico funcional, con un nivel de algebrización 1. Finalmente, en niveles más avanzados, el niño podría llegar a formular una expresión más formal como f(n) = n - 7 y ampliar el estudio de los naturales hacia los enteros, lo que implica un nivel de algebrización 2. Un nivel 3 podría alcanzarse en contextos más complejos donde se demanda operar con las variables (^{Puig & Rojano, 2004}) para obtener formas canónicas de expresión. Se puede apreciar cómo la tarea promueve la relación entre cantidades, escenario que el maestro de primaria puede aprovechar para promover el análisis de la situación planteada, a fin de que los alumnos piensen algebraicamente. En este sentido, las tareas deben estimular el uso de los números y operaciones numéricas como objetos para el pensamiento algebraico; hacer hincapié en el hecho de que los números pueden ser usados algebraicamente cuando el tipo o medida del número elegido requiere que el estudiante piense sobre la estructura y la relación entre cantidades, y no simplemente en operaciones aritméticas con cantidades (^{Kaput & Blanton, 2002}).

4.6. ANÁLISIS DE LAS TAREAS DEL BLOQUE 5 DEL LIBRO DEL ALUMNO

El bloque 5 del libro cuenta con 6 tareas donde encontramos objetos algebraicos tales como la noción de equivalencia (EQ) y propiedades de las operaciones (PO) en contextos numéricos.

Detectamos registros del tipo numérico e icónico, la analiticidad continúa ausente en el tratamiento de cantidades indeterminadas. En este bloque las tareas 52, 53 y 55 resultaron favorecedoras para el desarrollo de un pensamiento proto-algebraico de tipo estructural. Por ejemplo, la tarea 55, representada en la Figura 13, está planteada para que el niño compare expresiones equivalentes de un mismo valor numérico. La particularidad de esta tarea es que solicita comparar dos procedimientos diferentes que conducen a un mismo resultado, a través de preguntas específicas que conllevan el focalizar las equivalencias en las expresiones justificadas por la descomposición numérica de los cálculos de Carmita y Lupe, respectivamente, es decir, comparar 14 + 30 = 15 - 1 + 29 + 1 y 10 + 34 = 15 - 5 + 29 + 5.

Figura 13 Ejemplo de tarea en el libro de texto de primaria (^{SEP, 2015: 97}). 

Es posible incentivar, posteriormente, a reconocer la propiedad de que “dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí” al centrase en las expresiones 14 + 30 = 44 y 10 + 34 = 44 y, por tanto, 14 + 30 = 10 + 34. Enfatizamos, otra vez, que el niño no precisa nombrar esta propiedad, sino más bien reconocerla a través de su uso. Este tipo de actividades se enmarcaría en un nivel 1 de algebrización, pues promueven un pensamiento proto-algebraico de carácter estructural.

Es importante señalar que en estos cinco bloques, como hemos reportado, identificamos tareas que presentan situaciones de secuencias numéricas, como las tareas 7, 9, 29, 30, 31, 32, 40 y 41. Sin embargo, las situaciones que plantean dichas tareas están encaminadas al conteo de al menos los primeros 100 números naturales, completando casillas vacías (cantidad desconocida) consecutivas. De manera similar, encontramos tareas en las que emergen únicamente cantidades indeterminadas, condición que resultó insuficiente para la reorientación de la tarea hacia niveles progresivos de algebrización.

De manera general, en la siguiente tabla se puede apreciar la identificación de los objetos algebraicos de índole estructural (OAE) o funcional (OAF), así como el tipo de notación o representación (NoR) que se utiliza en las tareas (T) por cada bloque (BL). Identificamos objetos proto-algebraicos estructurales como equivalencia (EQ), propiedades de las operaciones (PO) y cantidades desconocidas (CD); también otros de carácter funcional, por ejemplo, las relaciones de cambio (RC), patrones (PA) y sucesiones (SU). Todas las tareas tenían connotaciones verbales, pero también se identificaron aquellas representaciones icónicas (IC), numéricas (NU) y tabulares (TA) que eran necesarias para llevar a cabo la tarea. Es importante mencionar que la modelización (MO) solo estuvo presente a través de problemas de palabras que involucraban ecuaciones de la forma + = ; en ninguna tarea se promueve operar con las cantidades desconocidas o indeterminadas.

Lo expuesto, en el análisis de las tareas presentes en el libro de texto de primero de primaria, evidencia que la potencialidad de la tarea para promover el pensamiento algebraico en los estudiantes depende de la práctica matemática que pueda elaborarse a partir de ella. Se trata de posibles enfoques para las tareas propuestas en la educación primaria, con el propósito de hacer emerger elementos algebraicos. El análisis efectuado resulta útil en la formación inicial y continua del profesorado de esos grados educativos, ya que según la propuesta “Early algebra” y la “algebrización del currículo”, los docentes han de suscitar la observación de patrones y propiedades matemáticas para crear un ambiente escolar en el cual se promueva que los alumnos exploren, discutan, argumenten y comprueben ideas (^{Kaput, 1998}; ^{Cai & Knuth, 2011}). Esto implica el desarrollo de competencias específicas que debieran ser consideradas en la formación de los maestros, si la intención es el desarrollo del razonamiento algebraico en los niños. Así, la propuesta de niveles de algebrización para el análisis de tareas podría incorporarse a ciclos formativos adecuados para los docentes, que les permitan desarrollar orientaciones instruccionales para el aula, con la finalidad de favorecer el surgimiento y consolidación de niveles progresivos del razonamiento algebraico en los niños.