2.1. PROBLEMAS ADITIVOS DE ENUNCIADO VERBAL

Un problema es toda situación desafiante o retadora en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla. La vía de solución es desconocida o no tiene un camino de solución inmediato y la persona quiere realmente realizar la transformación (^{Rizo y Campistrous, 1999}). Si éstas dos últimas condiciones no se dan, la situación no constituye un problema para la persona.

En la mayoría de los currículos educativos, la resolución de problemas se presenta como una competencia basada en que el individuo resuelva de manera autónoma, tareas matemáticas desafiantes (^{SEP, 2011b}; ^{CCSSI, 2018}). La resolución de problemas no sólo se centra en situaciones de la vida cotidiana, sino que se preocupa por aquellas situaciones que no resulten familiares, que tengan un alto grado de dificultad, donde el individuo manifieste sus habilidades cognitivas (^{Echenique, 2006}).

Existen distintos tipos de problemas matemáticos, entre los que se encuentran los aritméticos, que:

En su enunciado presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución (^{Echenique, 2006, p.30}).

Los problemas aritméticos pueden ser: aditivos, multiplicativos, entre otros. Asimismo, estos problemas se pueden presentar de diversas formas, por ejemplo, verbal, numérica y gráfica (^{Bonilla, Sánchez y Guerrero, 1999}).

En este estudio son de interés los problemas aditivos (aditivo-sustractivos), los cuales se caracterizan por requerir en su resolución una o varias adiciones y/o sustracciones (^{Vergnaud, 1991}; ^{Echenique, 2006}). También, este tipo de problemas poseen relaciones formadas por adiciones o sustracciones, a lo que se le conoce como estructuras aditivas (Castro, Rico y Castro, 1995; ^{Bonilla et al., 1999}). ^{Cañadas y Castro (2011)} mencionan que los problemas de una etapa o simples son aquellos que se resuelven mediante una única operación aritmética, ya sea una adición o una sustracción. Los problemas simples se constituyen de una estructura simple. Mientras que los problemas de más de una etapa o de etapas, son los que necesitan operaciones para llegar a su solución. Así, los problemas aditivos de una etapa requieren de una sola suma o resta para su resolución y los de etapas implican sumas y/o restas.

Los problemas aditivos verbales se estudiaron desde las relaciones aditivas ternarias, utilizándose seis categorías con sus esquemas⁸ basados en relacionar y operar con medidas (^{Durand y Vergnaud, 1976}; ^{Vergnaud, 1991}). También, los problemas aditivos de enunciado verbal se clasifican con base en la estructura semántica, es decir, las relaciones entre los elementos que aparecen en el enunciado de la situación problema (^{Van Dijk y Kintsch, 1983}; ^{Orrantia, 2003}; ^{Orrantia et al., 2005}; ^{Castro et al., 2014}). Cabe mencionar que, la semántica desde una perspectiva léxica, estudia el significado de las palabras, así como las diversas relaciones de sentido que se establecen entre ellas (^{Real Academia Española, 2014}).

2.2. CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE ENUNCIADO VERBAL (PAEV)

ADITIVOS (PAEV ADITIVOS)

La clasificación de los PAEV aditivos se realizó con base en los trabajos de ^{Heller y Greeno (1978)}, ^{Orrantia et al. (2005)} y ^{Cañadas y Castro (2011)}, a partir de su estructura semántica y la componente sintáctica en cuatro tipos de problemas: cambio, combinación, comparación e igualación.

En la estructura de cambio se distinguen tres elementos diferentes, una cantidad inicial sometida a una transformación (cambio) que la modifica para llegar a una cantidad final. El efecto del cambio puede ser un aumento o una disminución. En la estructura de combinación se consideran dos cantidades que forman parte de un todo que las incluye en su totalidad. Lo desconocido puede ser el conjunto o cantidad total o uno de los subconjuntos. La estructura de comparación parte de dos cantidades independientes que se relacionan mediante la comparación, en este tipo de problemas se relacionan tres cantidades, el referente (R), el comparado (C) y la diferencia (D). La relación de comparación está dada por palabras que están presentes en el enunciado del problema, como, por ejemplo, más que y menos que (^{Riley, Greeno y Heller, 1983}; Castro, Rico y Castro, 1995; ^{Orrantia et al., 2005}; ^{Cañadas y Castro, 2011}).

A esta clasificación se le agrega una cuarta categoría, correspondiente a la estructura semántica de igualación, identificada como aquella que restringe lo desconocido a la diferencia entre: cantidad dada y la cantidad deseada. Esta estructura se compone de tres cantidades, igualación, comparado y referente. Dichos problemas en el enunciado exponen una acción física necesaria para que una cantidad sea igual a otra (^{Cañadas y Castro, 2011}). Otros investigadores como Castro et al. (1995), ^{Echenique (2006)} y ^{Orrantia (2006)} mencionan que, los problemas de igualación se originaron a partir de una relación entre los problemas de cambio y comparación, donde se produce una acción al comparar dos cantidades y luego un cambio de aumento o disminución respecto de una cantidad. Cabe resaltar que, los problemas de cambio e igualación se consideran dinámicos y los problemas de combinación y comparación son estáticos.

La clasificación de los problemas aditivos se extiende a veinte tipos (ver Tabla 1), cuando se hace referencia a la componente sintáctica, entendida como el orden y las relaciones entre los datos, palabras, símbolos y el lugar que ocupa la incógnita (cantidad desconocida) en el enunciado del problema (^{Puig y Cerdán, 1988}).

Además, según el grado de dificultad los PAEV aditivos, se pueden clasificar en consistentes e inconsistentes. Los consistentes hacen referencia a los problemas que se solucionan por medio de una estrategia de traducción directa o modelado directo, es decir, los términos del enunciado o palabra clave, por ejemplo, “ganar” o “más que”, coinciden con la operación a realizar, en este caso la adición (^{Hegarty, Mayer y Monk, 1995}; ^{Orrantia et al., 2005}). Los inconsistentes presentan un mayor grado de dificultad, no pueden solucionarse por medio de modelado directo, es decir, los términos o palabras clave entran en conflicto con la operación a realizar, por ejemplo, “ganar” o “más que” y se requiere de una sustracción (^{Hegarty et al., 1995}; ^{Orrantia et al., 2005}).

Los problemas que presentan mayor dificultad se constituyen de estructuras complejas asociadas a los problemas inconsistentes identificándose esquemas parte-parte-todo donde se relacionan tres componentes que aparecen en el enunciado del problema mediante sumas o restas usando la reversibilidad para comparar y establecer igualdades y desigualdades (^{Nesher, 1999}; ^{Castro, 2013}; ^{Orrantia et al., 2005}). En este sentido, para resolver un problema con estructuras complejas se requiere el uso de estrategias para comprender el enunciado y trasladar adecuadamente la información escrita a una representación abstracta o a un esquema donde se tengan en cuenta las relaciones semánticas accediendo al conocimiento conceptual (^{Riley et al., 1983}; ^{Orrantia et al., 2005}).

Las estructuras semánticas compuestas dependen de las estructuras simples y el número de etapas requeridas para la resolución de un problema. En este sentido, por cada operación que se utilice, va de manera implícita una estructura semántica simple (cambio, combinación, comparación e igualación) y sus respectivas tipologías según la componente sintáctica.

3.1. REVISIÓN DE LOS PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIOS

La revisión de los planes y programas de estudio, permitió identificar la promoción de los problemas aditivos de enunciado verbal en la educación básica. En este sentido, se tuvieron en cuenta los ejes temáticos, el tema de problemas aditivos y la afirmación de los programas de estudio que al culminar el segundo periodo escolar los estudiantes saben resolver problemas aditivos con diferentes estructuras (^{SEP, 2011a}). Por tanto, el estudio se centró, además, en revisar los libros de texto de educación primaria para conocer si la tipología de problemas mantenía una diversidad de estructuras.

A partir de ello, se identificaron tipos de problemas aditivos que se presentan en los libros de texto, diferenciando entre problemas aditivos verbales, numéricos, gráficos desde la perspectiva de ^{Bonilla et al. (1999)}, así como aquellos que se constituyen de más de dos tipos, por ejemplo, numérico-gráfico. Este primer análisis nos permitió observar que, los problemas aditivos de tipo numérico son los que se presentan con mayor frecuencia en los libros de texto analizados. Respecto de los problemas aditivos verbales se identificaron en el primer grado veintitrés, en segundo grado veintinueve y en tercer grado dieciocho, en este último libro se presentan además problemas de enunciado verbal con estructuras multiplicativas. En este estudio, se consideraron solamente problemas verbales y de éstos se obtuvieron los PAEV aditivos, pues la literatura dejó entrever que las dificultades de estudiantes y profesores se centran en el escaso dominio conceptual de los problemas antes mencionados.

3.2. SELECCIÓN Y DESCRIPCIÓN DE LOS LIBROS DE TEXTO

La selección de los libros de texto, se dio a partir de la revisión de los planes y programas de estudio y los textos escolares de educación primaria en México. Al identificar en el plan de estudios que al culminar el segundo periodo escolar los estudiantes deberían resolver problemas aditivos con diferentes estructuras, nos tomamos la tarea de seleccionar y analizar los textos correspondientes al primero, segundo y tercer grado. Estos libros son materiales gratuitos y únicos elaborados por la Comisión Nacional de Libros de Textos Gratuitos (CONALITEG) correspondientes a la tercera reimpresión del año 2016 (ciclo escolar 2017-2018), los cuales son ofrecidos por la SEP en sus versiones para el estudiante y para el profesor usados por escuelas públicas y privadas de México.

Los libros de texto “desafíos matemáticos” poseen consignas que contienen actividades donde el estudiante debe buscar estrategias que le ayudan a ganar, crear espacios de interacción con sus compañeros para vencer los desafíos, y conseguir estrategias para solucionar problemas. Asimismo, este material curricular está apegado al programa oficial y cubre todos sus contenidos, tiene un formato ágil y desafíos que apoyan a la labor diaria del docente, para que éste los analice previamente a su puesta en práctica en el aula (^{SEP, 2016a}; ^2016b; ^{2016c, p.7}).

Los libros de texto de primero, segundo y tercer grados están constituidos por bloques, que contienen a los desafíos y, éstos a las consignas donde se presentan actividades que contienen problemas matemáticos, así como las instrucciones o la forma de organizar las actividades (^{SEP, 2016a}; ^2016b; ^2016c). En los bloques se incluyen contenidos de los tres ejes temático: sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida y manejo de la información, con la intención de estudiarlos simultáneamente para con ello tener una visión global de las matemáticas (^{SEP, 2011a}). Cabe señalar que, en cada bloque se presentan los aprendizajes esperados de los diferentes ejes temáticos, los que resultan útiles a los docentes para llevar a cabo un proceso de evaluación y de apoyo para el logro de aprendizajes (^{SEP, 2011b}). En la Tabla 2 se describen los libros con respecto a los problemas aditivos.

3.3. ANÁLISIS DE CONTENIDO

Esta investigación se realiza con base en el análisis de contenido desde la perspectiva de ^{López-Noguero (2002)} como una forma particular de análisis de documentos, con la que no se pretende analizar el estilo del texto, sino las ideas expresadas en él, como por ejemplo, el significado de las palabras, temas o frases que requieren de una cuantificación. Bajo este contexto analizamos los PAEV aditivos presentes en los libros de texto, de acuerdo con su estructura semántica y componente sintáctica. Para ello, se consideran elementos reportados en ^{Navarro (2015)}, para establecer y definir las unidades de análisis, y determinar las categorías que representan las variables de la investigación.

3.3.1. UNIDADES Y CATEGORÍAS DE ANÁLISIS

Con base en los elementos teóricos y estudios realizados sobre análisis de libros de texto, se consideraron las unidades y categorías de análisis a partir de la clasificación para los PAEV aditivos de acuerdo con su estructura semántica desde la perspectiva de ^{Riley et al. (1983)}, ^{Orrantia et al. (2005)}, y ^{Cañadas y Castro (2011)}, quienes han clasificado a los PAEV aditivos en: cambio, combinación, comparación e igualación (ver Figura 1). Las categorías de análisis se conformaron a partir de la componente sintáctica, siendo los elementos o dimensiones de las variables investigadas y son útiles para clasificar o agrupar dependiendo de las unidades de análisis (^{López-Noguero, 2002}).

Nota: Información adaptada de ^{Carpenter et al. (1981)}, ^{Puig y Cerdán (1988)}, ^{Orrantia et al. (2005)} y ^{Cañadas y Castro (2011)}.

Figura 1 Unidades y categorías de análisis basadas en la estructura semántica y componente sintáctica. 

Por otra parte, los PAEV aditivos de más de una etapa, se analizan a partir de las estructuras compuestas. Cuando los problemas requieren para su solución más de una operación, debe asociarse una estructura semántica simple por cada etapa. Por ejemplo, combinación 1-cambio 2 (CB1-C2).

4.1. PAEV ADITIVOS EN EL LIBRO DE PRIMER GRADO

En la Tabla 3, se evidencian los desafíos que contienen PAEV aditivos, los cuales se tendrán en cuenta en el análisis. Cabe resaltar que, el libro de texto de primer grado para el maestro en algunos casos hace referencia a determinar el resultado al “juntar” o “separar” colecciones de objetos (^{SEP, 2016a}), siendo éste un significado asociado a la adición y a la estructura semántica de combinación. Sin embargo, se presentan otras estructuras como las de cambio.

Teniendo en cuenta que los desafíos están conformados por consignas y éstas contienen a los problemas, se presenta el desafío 13, conformado por dos consignas que reúnen cinco PAEV aditivos (ver Figura 2), pertenecientes al contenido: obtención del resultado de agregar o quitar elementos de una colección, juntar o separar colecciones, buscar lo que le falta a una cierta cantidad para llegar a otra, y avanzar o retroceder en una sucesión.

Figura 2 Consigna 1 y 2 del desafío 13 ¿Cómo quedó? (^{SEP, 2016a, p.42}). 

En el primer problema se evidencia una estructura semántica de cambio 1 aumento con la incógnita en la cantidad final. El segundo problema se constituye de una estructura semántica de cambio 2 con la incógnita en la cantidad final. El tercer problema tiene una estructura semántica de cambio 4 con la incógnita en la cantidad de cambio. De forma general, este tipo de problemas son de tipo consistente, de tal menara que, los datos se presentan ordenados y se pueden resolver por un método de resolución directo. Cabe resaltar que, se necesita conocer el resultado del primer problema, porque el segundo y el tercer problema no presentan explícitamente uno de sus datos numéricos. En su conjunto, se considera un problema aditivo de más de una etapa conformado por tres problemas en los que se identifican estructuras simples que constituyen a una estructura semántica compuesta de cambio 1-cambio 2-cambio 4 (C1-C2-C4).

Estos problemas se pueden representar por medio del siguiente esquema (ver Figura 3), que ayudan al proceso de lectura y comprensión del enunciado, así como la organización de los elementos e identificar la acción que ejerce una cantidad sobre otra.

Figura 3 Esquemas de los problemas propuestos en la consigna 1 del desafío 13. 

En la segunda consigna, se evidencian dos problemas aditivos. El primero se constituye de una estructura semántica de combinación 1 con la incógnita en la cantidad total. El segundo problema es compuesto o incluye más de una etapa, situación que requiere de tres etapas para su resolución. En la primera etapa se encuentra un problema con estructura semántica de cambio 1 aumento con incógnita en la cantidad final. Posteriormente, en la segunda etapa se parte del resultado obtenido anteriormente para poder resolver una situación problema con estructura semántica de cambio 2 disminución, con la incógnita en la cantidad final, y en la última etapa se presenta una estructura semántica de cambio 1 aumento con incógnita en la cantidad final.

Figura 4 Esquemas de los problemas propuestos en la consigna 2 del desafío 13. 

En la Figura 4 se evidencian los esquemas de los problemas 1 de una etapa y el problema 2 de tres etapas que conforma una estructura semántica compuesta cambio 1-cambio 1-cambio 2 (C1-C1-C2). De manera general, en la Tabla 4 se observa la cantidad de estructuras que se evidenciaron en todos los problemas aditivos del libro de primer grado.

4.2. ANÁLISIS DE LOS PAEV ADITIVOS DEL LIBRO DE SEGUNDO GRADO

En particular, en este libro de texto se empiezan a proponer estructuras diferentes a las encontradas en el libro de primer grado, caracterizándose por mostrar variedad en el lugar de la incógnita, por ejemplo, en la cantidad inicial y la que modifica, para los problemas con estructura de cambio. Asimismo, la incógnita en una de las partes para los problemas de combinación y aparecen con más frecuencia los problemas de comparación y por primera vez los de igualación. En la Tabla 5 se presentan los desafíos considerados.

Así, por ejemplo, el desafío veintitrés, está conformado por una consigna constituida por cinco problemas aditivos de enunciado verbal como se presentan en la Figura 5. Asimismo, corresponde al contenido: Resolución de problemas de sustracción en situaciones correspondientes a distintos significados: complemento, diferencia.

Figura 5 Desafío 23, ¿Cuál es la diferencia? (^{SEP, 2016b, p.72}). 

En el inciso a) se presenta un problema con estructura semántica de comparación 1 con la incógnita en la diferencia, es de una etapa y de tipo consistente. En el caso del inciso b) se propone un problema con estructura semántica de comparación 1 con la incógnita en la diferencia, es de una etapa o simple, con un enunciado consistente. En el inciso c) se presenta un problema con estructura semántica de comparación 1 con incógnita en la diferencia, de una etapa y de tipo consistente. Por su parte, el problema propuesto en el inciso d) por la redacción, podría tener implícitamente una estructura semántica de comparación que puede ser de comparación 1 o comparación 2. Sin embargo, por la forma como están ubicadas las cantidades numéricas en el enunciado, es un problema con estructura semántica de comparación 1 con incógnita en la diferencia.

El último inciso e) propone un problema constituido por una estructura semántica de combinación 2 con la incógnita en una de las partes que conforman el todo y es de una etapa de tipo consistente, ver Figura 6.

Figura 6 Esquemas de los problemas propuestos en el desafío 23. 

En este libro de texto, se logra evidenciar que la estructura semántica de cambio se completa teniendo en cuenta el problema con estructura de cambio 4 que aparece en el libro de primer grado. De igual manera sucede con la estructura de combinación, y para las estructuras de comparación e igualación sólo se presentan tres tipos atendiendo a su componente sintáctica. En este sentido, se puede afirmar que, los problemas conservan un tipo de estructuras sencillas pero que van aumentado su grado de dificultad a medida que van pasando de un grado escolar a otro. En la Tabla 6, se presentan todas las estructuras semánticas presentes en los problemas del libro de segundo grado.

4.3. ANÁLISIS DE LOS PAEV ADITIVOS DEL LIBRO DE TERCER GRADO

En el libro de tercer grado se identificaron desafíos que contienen PAEV aditivos con estructuras semánticas sencillas, como las de cambio 1 y combinación 2, estructuras complejas como comparación 1 e igualación 1 (ver Figura 7). Cabe resaltar que, los problemas de este libro contienen combinaciones de estructuras, tanto aditivas como multiplicativas, por lo que en algunos problemas analizados sólo se tomó en cuenta la parte que implica una adición y/o sustracción.

En este sentido, el desafío 43 está conformado por tres consignas, de las cuales se tomó la primera a manera de ejemplo, en la que se proponen cuatro PAEV aditivos (ver Figura 7), pertenecientes al contenido: determinación y afirmación de un algoritmo para la sustracción de números de dos cifras.

Figura 7 Desafío 43, sumas y restas (^{SEP, 2016c, p.142}). 

En cuanto a la primera consigna (ver Figura 7), el primer problema está constituido por dos estructuras semánticas, una de cambio 3 y la otra de cambio 4, ambas con la incógnita en la cantidad de cambio, identificadas para dar respuesta a los incisos a, b y c. Es un problema que requiere de dos etapas con estructura semántica compuestas cambio 3-cambio 4 (C3-C4). El segundo problema tiene una estructura semántica de comparación 3 con la incógnita en el comparado. Además, es de una etapa, de tipo consistente El tercer problema es de dos etapas, en la primera se presenta una estructura semántica de cambio 1 con la incógnita en la cantidad final. En la segunda etapa se evidencia una estructura semántica de cambio 2 con la incógnita en la cantidad final, es de tipo consistente y tiene una estructura semántica compuesta cambio 1-cambio 2 (C1-C2). Ver esquemas en la Figura 8.

Figura 8 Esquemas de los problemas 1, 2 y 3 del desafío 43. 

El cuarto problema es de dos etapas, en la primera etapa se presenta una estructura semántica de combinación 1 con la incógnita en la cantidad total, y en la segunda etapa se identificó una estructura semántica de cambio 2 con la incógnita en la cantidad final. Este problema es de tipo consistente, y tiene una estructura semántica compuesta de combinación 1- cambio 2 (CB1-C2), presentándose a través de esquemas en la Figura 9.

Figura 9 Esquemas del problema 4 del desafío 43. 

En relación con la consigna 3, se evidencia un problema de tres etapas. La primera se conforma de tres subetapas. La primera y segunda subetapa tienen una estructura semántica de combinación 1 con la incógnita en la cantidad total, en la tercera subetapa se presenta una estructura semántica de cambio 2 con la incógnita en la cantidad final. En la segunda etapa se presenta una estructura semántica de combinación 1 con la incógnita en la cantidad total. En su conjunto estos problemas son de tipo consistentes. En la tercera etapa se identificó una estructura semántica de combinación 2 con la incógnita en una de las partes que conforman el todo, ver Figura 10.

Figura 10 Esquema del problema contenido en la consigna 3 del desafío 43. 

A su vez, se identificaron problemas conformados por estructuras semánticas compuestas, considerando la estructura de combinación 1 siendo la más frecuente en cada composición. También, se resalta un factor importante en la resolución de problemas inconsistentes presentándose casos en los que se involucran hasta tres etapas en las que la estructura semántica es la misma, en este caso cambio 5 e igualación 1.

En la Tabla 8 se sintetizan las estructuras semánticas contenidas en los PAEV aditivos en el libro de tercer grado. Con base en esta información, se da a conocer que las estructuras semánticas más identificadas son las de combinación 1 con la incógnita en la cantidad total, 31.4% de los problemas. Seguidos por las estructuras de cambio 2 encontradas, 22.8%. Asimismo, se presenta con 11.4% las estructuras de cambio 1 y 8.6% las estructuras de cambio 5, combinación 2 e igualación 1, evidenciándose para cada tipo de problema tres estructuras semánticas. En menor frecuencia se presentan las estructuras de cambio 3, cambio 4 y comparación 3,2.9%.

4.4. ESTRUCTURAS SEMÁNTICAS COMPUESTAS EN LOS PAEV ADITIVOS

Con base en las estructuras semánticas simples que se identificaron en los problemas, a continuación, se presentan las estructuras semánticas compuestas evidenciadas en los PAEV aditivos en los tres libros de textos analizados, en los que se requieren para su resolución más de una operación (adición y/o sustracción), ver Tabla 9.