2.1. Sobre los programas de estudio a nivel escolar

Actualmente en Chile, las Bases Curriculares establecen y orientan el hacer del Sistema Educativo Nacional con base en diferentes subsectores del aprendizaje (^{Ministerio de Educación [MINEDUC], 2011}). El subsector de matemática se organiza a través de cuatro ejes temáticos, siendo Álgebra uno de ellos. Para dicho eje, en el nivel donde se atiende a estudiantes de entre los 14 y 15 años, se formulan dos objetivos de aprendizaje (OA) que hacen mención a los SEL. El primero de ellos establece “resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo”. El segundo plantea “graficar relaciones lineales en dos variables de la forma f(x, y)=ax+by; por ejemplo: un haz de rectas paralelas en el plano cartesiano, líneas de nivel en planos inclinados (techo) […]” (^{MINEDUC, 2017}, pp. 31 y 32).

2.2. Sobre los estándares referenciales para la formación de profesores de Matemática

El Estado de Chile está llevando a cabo lo que se conoce como Programa Inicia. Este considera estándares referenciales de desempeño para la formación de profesores de todas las disciplinas y una prueba para los egresados que incluye diferentes instrumentos. En esos estándares orientadores se explicitan indicado-res que dan cuenta de un dominio y desempeño para cada nivel disciplinar (^{MINEDUC, 2012}). En la tabla 1 se presenta el estándar disciplinar y los correspondientes indicadores de desempeño para el tema SEL, que se han propuesto para la formación de los estudiantes de Pedagogía en Matemática.

2.3. El caso SEL 3x2 en el marco de esta investigación

La razón de enfocarnos en los SEL 3x2 es la necesidad de avanzar gradualmente en la identificación de aquellos elementos matemáticos que propician la comprensión del CSSEL desde el nivel de secundaria al de la enseñanza universitaria.

Sea V un K-espacio vectorial V, y sea E un conjunto de vectores de V, de cardinal n. Si n=2, que E sea linealmente dependiente se reduce a que cada vector es múltiplo del otro, y la combinación lineal correspondiente es solo del tipo av1=v2; si, por el contrario, n>2, la dependencia lineal debe expresarse de la manera general. De allí que, en los SEL n×m(m>2), la solución en ese caso se pueda encontrar directamente examinando si los vectores ortogonales a los hiperplanos determinados por las ecuaciones son múltiplos uno del otro, en cuyo caso las variedades lineales correspondientes al sistema no homogéneo ya sea que coinciden o bien no intersecan.

El caso de un SEL 2x2 necesita considerar tres vectores (bien sean los ortogonales a cada recta afín involucrada o, más naturalmente, sus vectores directores), y, en el caso no homogéneo, aparece una situación no prevista en el caso de 3x2: las rectas afines pueden intersecar a pares, pero sin encontrarse las tres en un punto. La situación es análoga para un SEL n×2, y sugiere la compleja situación que puede ocurrir para un SEL n×m, en el cual subconjuntos del conjunto de variedades lineales correspondientes a las ecuaciones podrían intersecarse, sin que el sistema tenga solución -es decir, que tenga solución vacía-.

El presente artículo indaga con profundidad en el SEL 3x2, que resulta relevante pues desde el caso de un SEL 2x2 los conceptos de variable, incógnita y parámetro ya entran en tensión, porque la idea de incógnita que se hereda de la resolución de ecuaciones de primer grado no es suficiente para comprender el CSSEL (^{Ursini y Trigueros, 2006}). Por otro lado, dicha tensión se agudiza cuando las ecuaciones son equivalentes, hecho que dificulta a un estudiante obtener el CS con un método que ha sido exitoso en un SEL 2x2 (con el determinante de los coeficientes diferente de cero), pero que en un SEL 3x2 no lo es. Para atender esto último, se hace necesaria una aproximación diferente que incluya el concepto de función, como ya lo han planteado ^{Sfard y Linchevsky (1994)}. En atención a lo que plantean ^{Eslava y Villegas (1998)} y ^{Barrera (2008)}, la interpretación geométrica que hacen los estudiantes de un SEL 2x2 y 3x3, respectivamente, es insuficiente para comprender qué es la solución de un SEL. Por otro lado, cuando un estudiante llega por procedimientos algebraicos a expresiones del tipo 0 = 0 o bien 0 = p (p no nulo), ello le genera aún más dificultades para interpretar qué ocurre con las soluciones del SEL (^{Alcocer, 2007}; ^{Cutz, 2005}; ^{Ramírez, 2005}).

2.4. Preguntas de investigación

En atención a los antecedentes y la problemática que hemos presentado en el apartado anterior, nos propusimos responder las siguientes preguntas de investigación:

4.1. De la unidad de análisis y el cuestionario

Para esta investigación hemos considerado un estudio exploratorio, descriptivo y no correlacional mediante un estudio de casos (^{Stake, 2010}). La muestra fue no probabilística y la conformaron estudiantes de secundaria (E), de Pedagogía en Matemática para secundaria (P) y de Ingeniería (I), que de ahora en adelante llamaremos informantes. Agregar un número correlativo a las letras I, E y P tuvo como propósito identificar a nuestros informantes dependiendo del caso de estudio en que se sitúan, lo que se detalla en la tabla 3.

Los estudiantes de Ingeniería formaban parte de un curso de álgebra que se dicta en el primer semestre de su carrera, asignatura que no incluye el tema SEL. Por otro lado, los estudiantes de secundaria cursaban el plan electivo de matemática, instancia al cual optan quienes desean estudiar una carrera universitaria del área científica. El criterio de selección de los escolares fue tener un buen rendimiento en la asignatura de Matemática del plan común. Nuestro Caso 1 representan la transición entre la enseñanza secundaria y la universitaria para observar de qué manera influye la matemática escolar en la resolución de un SEL 3x2; con este caso se buscó observar si es posible extrapolar técnicas para resolver un SEL 2x2 en uno de 3x2. Por último, cabe indicar que los estudiantes de Pedagogía en Matemática, Caso 2, ya habían cursado asignaturas como AL y geometría analítica, además de un curso de didáctica del álgebra y la geometría. Con el Caso 2 nos propusimos indagar cómo el conocimiento de AL incide en la resolución de un SEL y, por ende, en la comprensión del CSSEL 3x2.

4.2. Análisis a priori de las preguntas del cuestionario

En la tabla 4 presentamos una respuesta esperada para las cuatro preguntas de nuestro cuestionario, el que hemos adjuntado en los anexos. Para completar dicha tabla recurrimos a los antecedentes curriculares que se pueden revisar en los apartados 2.1 y 2.2.

4.3. Categorías de análisis para las preguntas del cuestionario

A continuación, en la tabla 5, proponemos algunos procedimientos matemáticos, estrategias y argumentos para cada una de las preguntas del cuestionario, en correlato con los distintos MP y, un eventual tránsito que hemos simbolizado con “⟷”, de acuerdo a la descripción de los MP que se proponen en la tabla 2. En particular, hemos destacado aquellos elementos que parecen indicar la presencia de un modo de pensamiento en el que el estudiante considera el objeto -en cualquier caso, el diseño del cuestionario es también una invitación a transitar entre uno y otro modo de pensamiento-. La tabla, entonces, nos sirve para poner atención a la presencia eventual de un modo de pensamiento particular en algún momento de la respuesta que un estudiante da al cuestionario.

Para analizar los datos utilizaremos las categorías de la tabla 5 y el Analyse Statistique Implicative (ASI) mediante el software Cohesive Hierarchical Implicative Classification (CHIC), versión 6.0 (^{Gras et al., 2008}). Una de las motivaciones para el uso de este tipo de estadística obedece, fundamentalmente, a que ASI es un método exploratorio no simétrico que permite obtener indicadores tales como similaridad e intensidad de implicación, los que son calculados bajo un enfoque probabilístico. La similitud es una medida de correspondencia entre las variables que se clasifican jerárquicamente, utilizando la copresencia como criterio de agregación -en el sentido clásico del análisis de conglomerados-, el método provee de informantes que contribuyen a las clases significativos sobre un umbral que el investigador determina relevante. Por otro lado, la intensidad de implicación es una medida que se basa en el número de contraejemplos que invalida una implicación entre dos variables, en un sentido matemático clásico (^{Gras et al., 2008}); con el grafo implicativo es posible establecer un vínculo directo con las categorías de análisis y el fenómeno que se estudia, en nuestro caso el tránsito entre los modos de pensamiento.

El árbol jerárquico de similaridad (dendograma) se forma de la manera habitual, esto es, comienza con cada variable formando una única clase y agrupando, sucesivamente, paso a paso, las dos clases más similares, hasta llegar a una única clase que agrupa todas las variables, siendo la interpretación de los grupos hallados el aspecto más importante del proceso. Adicionalmente, el árbol de similaridad destaca algunas clases como significativas, por la relación preponderante de los índices de similaridad entre las variables que se hallan reunidas en ellas (^{Gras et al., 2008}). Una vez obtenida la colección de clases de variables similares, habiéndose formado cada clase de variables similares, se puede calcular un índice de contribución de cada informante a la formación de su respectiva clase. Con esos índices, se destaca el grupo de los informantes que más la ha manifestado. Una inspección detallada de esos informantes permite ahondar aún más en la descripción de la clase, así como indagar el posible efecto de otras variables (asociadas a las categorías de análisis) en su formación.

El grafo implicativo es la representación gráfica de las reglas de asociación entre parejas de variables. La fuerza de las reglas de asociación se suele medir mediante un índice llamado confianza, esto es, el porcentaje de individuos que cumple la regla de entre los que la podrían cumplir (por verificar el antecedente de la regla). Este indicador es útil para predecir si un individuo presenta el rasgo del consecuente, una vez se sabe que presenta el rasgo del antecedente. No obstante, cuando el rasgo consecuente es muy abundante en los informantes, no es evidente que su presencia se deba a un efecto causado por el antecedente de la regla. Así, el grafo implicativo representa las reglas cuyas intensidades superan un umbral (elegido por los investigadores, y que suele ser del 90%, 95% o 99%), y se deben interpretar como asociaciones implicativas estadísticamente significativas. A partir de estas asociaciones, distinguimos relaciones de causa y efecto, que se justifican a la luz de nuestras categorías de análisis a priori, y otras relaciones, que se puedan justificar adecuadamente, por ejemplo alguna relación ligada a un resultado de una investigación previa al estudio.

5.1. Hipótesis sustentadas en las respuestas de los informantes I4, E3 y E4 al cuestionario: Caso 1

En la figura 2 se aprecia un extracto de la respuesta de I4 a la pregunta 1, quien asume que un punto común a dos rectas de un SEL es una solución. Además recurre al concepto de pendiente para escribir dos ecuaciones homogéneas de un SEL. El proceder de I4 sugiere un tránsito entre los modos SG y AA, al manifestar que dos rectas, cuyas pendientes son distintas, se intersectan en un punto solución, basándose en la solución de un SEL 2x2.

Figura 2 Parte de la respuesta de I4 a la pregunta 1. 

Por otro lado, E3 supone que la posición relativa de las tres rectas no aporta soluciones al Conjunto Solución SEL 3x2 (CSSEL3x2), como se aprecia en la figura 3. Además, escribe ecuaciones del SEL asignando valores a las variables, incluyendo una ecuación homogénea. Para las dos primeras ecuaciones considera el par ordenado (1, −1), para las dos últimas el par ordenado (2, −2) y, finalmente, para la primera y la última ecuaciones, el par ordenado (5, −5). E3, al hablar de intersecciones se aproxima al tema de manera SG, y procede a resolver el sistema, pensando en la propiedad que se cumple, es decir, AE. Sin embargo, el tránsito no le resulta, a nuestro parecer, por un posible obstáculo didáctico, proveniente de que el profesor se suele referir al modo SG con cierta imprecisión: “la solución se produce allí donde se intersectan”; de allí que no pueda transitar correctamente entre estos MP.

Figura 3 Respuesta de E3 a la pregunta 1. 

De igual manera E4 reconoce que la posición relativa de las tres rectas no aporta soluciones al SEL, como se observa en la figura 4. Aunque E4 no escribe un SEL, declara que mediante la ecuación de una recta es posible hacerlo. Dicho procedimiento -utilizar convenientemente un sistema de coordenadas rectangular para aplicar la fórmula “punto pendiente” y obtener la ecuación de la recta- favorece un tránsito entre los modos SG y AA. Con ello se refuerza la relación de un SEL 3x2 y la representación geométrica mediante los puntos de intersección de las rectas, lo que podría ser un camino para avanzar a la idea de solución en este tipo de SEL. En efecto, E4 se aproxima al tema desde el modo SG y, a nuestro parecer, el tránsito al modo AA es correcto, dado que, al intentar responder la pregunta, la cual comienza por pedir un sistema de ecuaciones que sea una instancia de la situación propuesta, escribe un sistema adecuado. Con ello E4 muestra claridad en cuanto al tránsito del modo SG al AA, cosa que E3 no tenía.

Figura 4 Parte de la respuesta de E4 a la pregunta 1. 

Por otro lado, como se aprecia en la figura 5, E3 responde a la pregunta 2 asignando valores a los parámetros de las ecuaciones de tal manera que los coeficientes de las ecuaciones sean múltiplos, declarando que las rectas vectoriales asociadas al SEL son coincidentes. Ello sugiere que la noción de múltiplo asociada a los coeficientes de las ecuaciones promueve un tránsito entre el modo SG y AA. Con ello se muestra que la proporcionalidad de los coeficientes y términos constantes en un SEL homogéneo conecta con rectas coincidentes (o paralelas, para el caso de que los términos constantes no lo sean).

Figura 5 Respuesta de E3 a la pregunta 2. 

En la figura 6 se presenta un extracto de la respuesta que dio E2 a la pregunta 3, quien se enfoca en el parámetro p de la primera ecuación para inferir que el CSSEL no puede ser vacío, en la posibilidad de existir proporcionalidad entre los coeficientes y términos constantes con la segunda ecuación. Cabe destacar que la idea de múltiplo en los coeficientes y términos constantes de un SEL, que incluye ecuaciones homogéneas y no homogéneas, permite activar un tránsito entre el modo SG y AA, relacionando rectas paralelas o coincidentes.

Figura 6 Extracto de la respuesta de E2 a la pregunta 3. 

En la figura 7 se aprecia la respuesta que dio E3 a la pregunta 4, donde muestra que las dos últimas ecuaciones del SEL representan dos rectas paralelas. Además identifica coeficientes que son múltiplos.

Figura 7 Extracto de la respuesta de E3 a la pregunta 4. 

Con base en los argumentos observables presentados por los informantes de estos casos, postulamos que la estrategia “asignar valores a expresiones algebraicas” permite escribir ecuaciones lineales de dos incógnitas a partir de rectas en un plano, en atención a lo realizado por E3. Dicha estrategia permite coordinar la elección de los coeficientes de las ecuaciones y las respectivas soluciones que se suponen a priori, hecho que refuerza la idea de solución de una ecuación lineal. Por otro lado, como lo indicó E4, proponemos que la estrategia de ubicar convenientemente las rectas en un sistema de coordenadas permite luego, vía procedimientos de la geometría analítica, determinar las ecuaciones de las rectas a partir de las coordenadas de los puntos pertenecientes a ellas que se obtengan en el plano. Pareciera que estas dos estrategias son indicio de los informantes que activan un tránsito entre los modos SG y AA. Con base en las dos estrategias anteriores, si se agrega la decisión de elegir un par de ecuaciones en un SEL3x2, hecho que también podemos realizar en un SEL n×2, aplicando en esa selección los métodos para un SEL 2x2 -como se evidenció en la respuesta de I4-, se obtendrían valores x1,y1 que deberían satisfacer a cada una de las ecuaciones del SEL n×2 para que (x1,y1) sea declarada una solución del SEL 3x2. Esta última estrategia la hemos propuesto en el modo AA.

Otra hipótesis que se puede sustentar vía procedimientos algebraicos al resolver un SEL 3x2 con ecuaciones equivalentes, se relaciona con evocar la posición relativa de sus rectas para interpretar resultados imprevistos, a través de la pendiente y coeficiente posicional de la recta. En ese sentido destaca la respuesta de I4 a la pregunta 2, quien al resolver “por parejas” las ecuaciones del SEL 3x2 compara las pendientes de ambas rectas para interpretar el resultado 0 = 0.

El procedimiento realizado por I4 en la pregunta 2 nos lleva a proponer que el aplicar la propiedad “del producto nulo” permite establecer que un SEL homogéneo siempre incluye en su conjunto solución la solución trivial.

5.2. Respuestas de algunos informantes al cuestionario: Caso 2

En la figura 8 se muestran algunas de las posibilidades que P8 consideró para representar un SEL 3x2, con ello se muestra la confusión que este tiene para saber cuál de los puntos en común a las tres rectas es una solución de dicho SEL. Ello queda de manifiesto en el ejemplo que etiquetó como (5). Con ello P8 muestra, probablemente, que está influenciado por lo que ocurre en el caso de un SEL 2x2.

Figura 8 Respuesta de P8 a una parte de la pregunta 1. 

Por otro lado, como se aprecia en la figura 9, P12 logra mostrar las distintas posibilidades de representar geométricamente un SEL 3x2, lo que le permite determinar cuándo el CSSEL es vacío y también aquellos casos en que hay solución. Por último, P12 deja en claro que una solución es aquel punto común a todas las rectas que están relacionadas con el SEL. En la respuesta de P12 se evidencia una comprensión del CSSEL 2x3 en el modo SG, considerando que la dirección de las rectas no interfirió en el número de posibilidades que tuvo para representar un SEL 3x2.

Figura 9 Parte de la respuesta de P12 a la pregunta 1. 

Como se observa en la figura 10, P3 logra conciliar los aspectos geométricos y algebraicos ante la dificultad de los parámetros asociados a los coeficientes de las ecuaciones del SEL homogéneo de la pregunta 2, reparando en la solución trivial. Destacamos en la respuesta de P3 las relaciones que establece entre los coeficientes de las ecuaciones, para referirse al CSSEL. Con ello se muestra un eventual tránsito entre el modo SG y AA mediante las relaciones de proporcionalidad que se enuncian entre los coeficientes de las ecuaciones del SEL.

Figura 10 Respuesta de P3 a la pregunta 2. 

La figura 11 muestra que, para responder a una parte de la pregunta 2, P7 aplica operaciones elementales fila a la matriz ampliada, motivado por la presencia de parámetros en los coeficientes de las ecuaciones, pero no termina con éxito dicho procedimiento.

Figura 11 Respuesta de P7 a la pregunta 2. 

Por otro lado, en la figura 12 se aprecia un extracto de la respuesta de P7 a la pregunta 4, quien hace referencia explícita a la presencia de rectas paralelas cuando hay pares de ecuaciones con coeficientes que son múltiplos, hecho que lo lleva a suponer que el SEL no tiene solución.

Figura 12 Respuesta de P7 a la pregunta 4. 

En la respuesta de P9 a la pregunta 4 (figura 13), P9 logra escalonar la matriz ampliada y se refiere a la solución del SEL mediante el análisis de los rangos asociados a dicha matriz. Además, P9 complementa su respuesta, argumentando que ello se debe a la presencia de un par de ecuaciones que al tener coeficientes que son múltiplos no transforman un par (x, y) en el mismo número real. Lo anterior, sin hacer mención explícita a las propiedades de R como campo. Asimismo, en los argumentos mostrados por P9, se logra un trabajo activo en el modo AA mediante la noción de múltiplo.

Figura 13 Respuesta de P9 a la pregunta 4. 

En general, los argumentos mostrados por nuestros informantes mayoritariamente se instalan en el modo AA para resolver el SEL 3x2, y desde ahí transitan hacia los modos AE o SG.

En relación con el resto de los argumentos, sobresale la respuesta de P9 a la pregunta 4, porque en ella: (1) aplica correctamente el método de Gauss-Jordan, (2) compara las ecuaciones cuyos coeficientes generaron ceros en la matriz ampliada y, (3) interpreta ese hecho desde el campo de los números reales. Esta manera de proceder de P9 sugiere una articulación entre los modos AA y AE mediante las propiedades de suma y multiplicación del campo de los números reales.

Otra respuesta que destacamos es la de P11 a la pregunta 4. Con ella de base proponemos como hipótesis que las operaciones elementales de fila permiten escribir a través de matrices un SEL equivalente, con ecuaciones que contienen coeficientes que son múltiplos o combinación lineal de otras ecuaciones del SEL.

Estas maneras de proceder que se han mostrado para el Caso 2, sugieren una articulación de los modos SG y AE, dando paso a un tránsito entre la matemática escolar y la introducción al AL.

5.3. El Análisis Implicativo a las respuestas de los dos casos de estudio al cuestionario

Para analizar las respuestas del cuestionario asignamos un 1 para la presencia de nuestras categorías de análisis y un 0 para la ausencia de estas. Luego, mediante el uso del software CHIC, obtuvimos un árbol de similaridad y un grafo implicativo para aquellos informantes con conocimiento de AL, Caso 2, y aquellos informantes sin ese conocimiento, Caso 1.

5.3.2. El árbol de similaridad y las categorías de análisis a partir de las clases significativas

En la figura 14 el árbol de similaridad para los informantes de los Casos 1 destaca 7 clases significativas que el software CHIC marca con un trazo rojo. Por otro lado, en la figura 15, el árbol de similaridad para los participantes del Caso 2 incluye 9 clases significativas.

Figura 14 Árbol de similaridad para escolares y estudiantes de Ingeniería. 

Figura 15 Árbol de similaridad para estudian tes de Pedagogía en Matemática. 

La tabla 7 presenta información específica de las tres primeras clases significativas para cada árbol de similaridad. Cabe indicar que no hay un criterio que establezca cuál de esas clases significativas se debe analizar, sin embargo, para nuestro análisis hemos considerado un índice de similaridad igual o superior a 0,90. La elección de ese nivel de significación nos permite acceder a las categorías de análisis que son más representativas de nuestros dos casos de estudio.

Tabla 7 Clases significativas y los indicadores más representativos de estas para los dos casos de estudio 

Clase	Clase	Similaridad	Informantes	Casos de estudio
1	(p2 p3)	0,992069	I4, E3, E4	Estudiantes de Ingeniería y de secundaria (Caso 1)
6	((a2 e4) a9)	0,951698	E3, E4
9	(((a2 e4) a9) a4)	0,919736	E4
1	(e3 e7)	0,998054	P8, P12	Estudiantes de Pedagogía en Matemática (Caso 2)
5	((e5 e6) a6)	0,979188	P3, P5, P8, P12
9	((p5 p9) ((e3 e7) a10))	0,902528	P8, P12

En relación con el Caso 1, a partir de las categorías de la clase 1, se puede inferir que es altamente probable que algunos estudiantes consideren rectas coincidentes, aspecto que es necesario articular con el modo AA mediante relaciones proporcionales de sus coeficientes, para identificar ecuaciones equivalentes en un SEL. Por otro lado, de las categorías asociadas a la clase 6, podemos desprender que -para que el caso del SEL 2x2 no sea un obstáculo didáctico en la comprensión de la solución de un SEL 3x2- un estudiante debe transitar del modo AE al modo AA, asumiendo que una solución satisface simultánea-mente a cada ecuación, y que ello se observa en los puntos que coinciden con todas las rectas asociadas con el SEL -de lo contrario haría inestable la comprensión de lo que es el conjunto solución de un SEL 3x2-. Por último, la clase 9 permite agregar, a lo anterior, la importancia del tránsito del modo SG al modo AA para comprender el rol de las ecuaciones equivalentes en la comprensión del conjunto solución de un SEL.

Para el Caso 2, la clase 1 plantea la necesidad de simplificar el problema y analizarlo en términos de rectas vectoriales, aplicando luego técnicas para un SEL 2x2. De la clase 5 se puede ver lo relevante que son el paralelismo y las rectas vectoriales con ecuaciones homogéneas al interpretar las posibilidades de los parámetros. Por último, la clase 9 destaca el rol de los coeficientes proporcionales para identificar rectas paralelas y/o coincidentes desde ecuaciones homogéneas y no homogéneas. Con dichas clases se pone de manifiesto un modo AE basado en los rangos de las matrices.

5.2.1. Sobre el grafo implicativo

En el grafo implicativo de la figura 16 aparecen las implicaciones e6 → e5 y e6 →e3 que ponen de relieve las estrategias e3, e5 y e6. De la primera implicación se supone que hay informantes que relacionan rectas paralelas o coincidentes con ecuaciones cuyos coeficientes son proporcionales. En la figura 16 se presenta el grafo implicativo para las categorías de análisis en el Caso 1 y, en la figura 17, el respectivo grafo para el Caso 2. En particular se muestran aquellas implicaciones con un índice de implicación igual o superior a 0,85. Ese índice debe ser entendido como la probabilidad que se asocia al número de contraejemplos que debilitan la implicación 1 → 0, en un sentido clásico. Es ese el procedimiento que utiliza CHIC para desplegar implicaciones mediante un grafo implicativo, asignando un índice de implicación.

Figura 16 Grafo implicativo para el Caso 1. 

Figura 17 Grafo implicativo para el Caso 2. 

En el grafo implicativo de la figura 17 se aprecian dos grupos de implicaciones que incluyen procedimientos matemáticos y argumentos. Del primer grupo se desprenden las siguientes cadenas de implicaciones (a11 → a7 → p7) y (p6 → a7 → p7), a través de las cuales se evidencia lo conveniente que resultó resolver un SEL 3x2 cuando se mezclan ecuaciones homogéneas y no homogéneas agregando algunos parámetros a sus coeficientes, porque ante la dificultad de aplicar el método de Gauss-Jordan se puede recurrir a otros procedimientos matemáticos y/o activar los aspectos geométricos que están implícitos en la resolución de un SEL n×2. Por otro lado, en el segundo grupo, destacan las cadenas (p9 → p5 → a4 → a5) y (p9 → p5 → a2) que muestran qué tan probable resulta asociar los coeficientes de las ecuaciones de un SEL 3x2 con la posición relativa de sus rectas, al determinar si los coeficientes de las ecuaciones son proporcionales o no.