3.1. Tarefas de natureza exploratória

Tanto a atividade do aluno como o papel do professor durante a aula estão relacionados com a abordagem curricular subjacente, o que influencia a seleção e elaboração da tarefa e todo o trabalho dos professores, desde o planeamento à reflexão pós-aula. À semelhança de outros estudos de aula já realizados em Portugal com professores em serviço (e.g., ^{Quaresma y Ponte, 2017}), no estudo de aula a que se refere este artigo, as professoras procuraram seguir uma abordagem de ensino-aprendizagem exploratória (Ponte, 2005). Nessa abordagem são valorizados os momentos de reflexão e discussão com toda a turma, com base no trabalho desenvolvido pelos alunos, “como momentos de excelência para a sistematização de conceitos, a formalização e o estabelecimento de conexões matemáticas” (^{Ponte, 2005, p. 16}).

Sobre as tarefas que são propostas aos alunos, ^{Ponte (2005)} refere que elas podem ser analisadas por duas dimensões: a estrutura (aberta ou fechada) e o grau de desafio (reduzido ou elevado). No ensino exploratório, predomina o trabalho dos alunos em tarefas de exploração, que o autor define como tarefas relativamente abertas e acessíveis, para as quais o aluno não tem uma solução imediata e em que pode começar a trabalhar a partir do seu conhecimento prévio. O aluno pode resolver essas tarefas usando diversas representações matemáticas e seguindo várias estratégias (^{Ponte et al., 2018}), que depois tem oportunidade de apresentar e discutir com os seus colegas.

Várias investigações (^{Ponte et al., 2015}; ^{Quaresma y Ponte, 2017}) referem que quando os professores propõem tarefas de cunho exploratório, os alunos conseguem ser autónomos na sua resolução e envolvem-se mais no processo de aprendizagem, resultando em aprendizagens mais significativas. Além disso, estas investigações fazem referência ao estudo de aula como uma oportunidade para os professores planearem e realizarem aulas exploratórias, permitindo-lhes repensar as suas práticas, o seu papel e o papel do aluno em sala de aula.

3.2. Trabalho do professor na elaboração de tarefas

O professor tem um papel fundamental na seleção das tarefas (^{Barber, 2018}; ^{Chapman, 2013}) e deve planear cuidadosamente o modo como vai conduzir a aula e o trabalho dos alunos, pois a aprendizagem é condicionada pela forma como as tarefas são interpretadas e realizadas na aula (^{Chapman, 2013}). O complexo trabalho dos professores na elaboração e planeamento das tarefas que vão propor aos alunos vai muito além do que é visível em sala de aula, como se da parte submersa de um iceberg se tratasse. Uma parte desse trabalho é a elaboração do enunciado da tarefa, que pode ser criado pelos professores ou adaptado de manuais escolares ou de outros materiais curriculares. Além de propor tarefas para promover a aprendizagem dos alunos sobre um determinado conteúdo (^{Ponte y Quaresma, 2016}), os professores podem apresentar tarefas para os levar a aplicar conhecimentos que já adquiriram, ou para verificar se dominam ou não certos conhecimentos (^{Ponte et al., 2015}).

As tarefas selecionadas pelos professores devem poder ser resolvidas recorrendo a diversas representações matemáticas e seguindo diversas estratégias (^{Doig et al., 2011}; ^{Fujii, 2019}; ^{Stein et al., 2008}), e devem permitir estabelecer conexões entre diferentes conceitos e procedimentos (^{Barber, 2018}). Vários autores referem que é fundamental que as tarefas sejam desafiantes (e.g., Quaresma y ^{Ponte, 2016}; ^{Stein et al., 2008}; ^{Stein y Smith, 2009}), sendo muito importante que o grau de desafio seja adequado aos alunos a quem a tarefa se destina. Por isso, quando elaboram as tarefas, os professores precisam de atender aos conhecimentos prévios dos alunos (Fujii, 2016, ²⁰¹⁸; ^{Stein y Smith, 2009}), pois a mesma questão pode ser um simples exercício, se eles dispõem de um processo imediato para a resolver, e, para outros, pode ser um difícil problema, o que pode desmotivá-los e desinteressá-los (^{Brodie, 2010}; ^{Jaworski y Potari, 2009}).

Antes de propor as tarefas aos alunos, o professor precisa de as resolver. Isso permite-lhe perceber se as tarefas que selecionou são motivadoras e matematicamente desafiantes e se se ajustam às características dos seus alunos (Fujii, 2016, ²⁰¹⁸; ^{Jaworski y Potari, 2009}; ^{Stein y Smith, 2009}) e permite-lhe pensar em estratégias que os alunos podem seguir e em erros e dificuldades que podem emergir (^{Fujii, 2019}).

Para potenciar discussões que vão ao encontro dos objetivos da aula, alguns autores referem discussões entre os professores participantes em estudos de aula sobre a escolha dos números que aparecem na tarefa (e.g., ^{Doig et al., 2011}; Fujii, 2016), sobre a redação do enunciado das questões e as condições que são escolhidas (^{Adler y Alshwaikh, 2019}) e sobre a seleção e sequenciação de exemplos e questões, com crescente grau de dificuldade (^{Lim et al., 2016}).

3.3 Antecipação de estratégias e dificuldades

Para além da formulação das tarefas, a forma como elas são apresentadas pelo professor e o modo como ele conduz a sua realização influenciam o trabalho e as aprendizagens dos alunos (^{Stein y Smith, 2009}). Assim, selecionada a tarefa, a planificação da aula é determinante para as aprendizagens que os alunos podem fazer durante essa aula (^{Fujii, 2018}; ^{Lee y Takahashi, 2011}), embora o professor não consiga prever tudo o que pode vir a acontecer. Vários autores referem diversos aspetos a incluir num plano de aula, entre os quais as tarefas a propor, a antecipação das estratégias e dificuldades dos alunos e as questões e comentários a usar para lhes responder (e.g., ^{Groves et al., 2016}; ^{Jesus et al., 2020}).

Além de desenvolver a capacidade de ver a Matemática através dos olhos dos alunos (^{Fujii, 2018}), antecipar estratégias e dificuldades dos alunos ajuda o professor a clarificar o valor matemático da tarefa, a identificar resoluções que vão ao encontro dos objetivos da aula e a sequenciá-las para o momento de discussão com toda a turma (^{Doig et al., 2011}; ^{Groves et al., 2016}; ^{Vale et al., 2019}). Isso pode levar o professor a alterar o enunciado da tarefa, se necessário, adequando-o ao trabalho que pretende realizar com os alunos (^{Fujii, 2018}, ²⁰¹⁹), e ajuda-o a assegurar-se que os objetivos da aula são atingidos (^{Jesus et al., 2020}; ^{Fujii, 2019}). Além disso, antecipar possíveis erros dos alunos ajuda o professor a analisar se devem ser explorados, de acordo com os objetivos da aula (^{Alshwaikh y Adler, 2017}), consciente de que podem surgir uma diversidade de estratégias e que algumas delas podem não ser adequadas à realização da tarefa.

Antecipadas possíveis dificuldades dos alunos, quando planifica os momentos de trabalho autónomo, o professor precisa de pensar em formas de os ajudar a ultrapassá-las (^{Jesus et al., 2020}; ^{Fujii, 2019}; ^{Vale et al., 2019}). O professor deve pensar nas questões ou comentários que pode fazer para apoiar os alunos durante a resolução da tarefa, seja para ajudar os que têm mais dificuldades ou para levar os que completaram a tarefa original a fazer generalizações ou demonstrações das suas respostas (^{Vale et al., 2019}). Nas suas interações com os alunos, o professor deve levá-los a questionar os seus argumentos e a procurar estratégias alternativas de resolução e deve ter o cuidado de não lhes indicar a estratégia a seguir ou os procedimentos a realizar, para não reduzir a complexidade da tarefa (^{Brodie, 2010}; ^{Stein y Smith, 2009}). Além disso, para manter um alto nível de exigência cognitiva de uma tarefa, nas suas intervenções, o professor deve incentivar “justificações, explicações e significados através de questões, comentários e feedback” (^{Stein y Smith, 2009, p. 27}). Sobre essas intervenções, no seu trabalho, ^{Barber (2018)} refere que antes de participar no estudo de aula, quando os alunos não davam as respostas que a professora esperava, ela explicava-lhes a resposta. No entanto, ao longo do estudo de aula, a professora reconheceu a importância de questionar os alunos e focou-se em perguntas que podia fazer para os ajudar a explicar e a justificar as suas respostas.

Embora seja uma parte importante da elaboração de tarefas num estudo de aula (^{Fujii, 2015}), vários autores dão conta dos desafios que se colocam aos professores quando tentam antecipar estratégias e dificuldades dos alunos, pondo-se no papel destes. Por exemplo, no seu trabalho, ^{Groves et al. (2016)} referem a dificuldade que os professores tiveram na antecipação de respostas dos alunos e a necessidade que sentiram de propor tarefas parecidas, ou até a mesma tarefa que usariam na aula de investigação, a outras turmas. As reflexões que fizeram sobre esse trabalho ajudaram os professores a antecipar as respostas dos alunos e a preparar as suas intervenções durante a aula de investigação para ajudar os alunos a explicar o modo com pensaram. Também ^{Ni Shuillea-bhain e Seery (2017)} relatam que, depois de observarem as aulas e refletirem sobre elas, os professores foram ganhando confiança para anteciparem as difi-culdades dos alunos e para incluírem no plano de aula questões e comentários que os ajudassem a ultrapassar essas dificuldades e a explicar o seu raciocínio.

6.1 Elaboração da tarefa - Inequações com funções racionais

A tarefa foi pensada para introduzir o tópico “estudo do sinal de funções racionais dadas por expressões da forma P(x)Q(x), onde P e Q são polinómios”, e foi dividida em duas partes. As professoras pensaram começar pela resolução da condição x2-4x-4>0. No entanto, se os alunos simplificassem a fração, isso poderia afastá-los dos objetivos da aula. Decidiram então propor a resolução de uma inequação em que o numerador e o denominador fossem polinómios de grau 1 (figura 1). Quanto à redação da questão, as professoras pensaram pedir aos alunos para apresentarem a representação gráfica a par da representação algébrica para potenciar o confronto das duas, como tinham feito numa outra tarefa. Depois de alguma discussão, decidiram não orientar o trabalho dos alunos, e explorar diferentes respostas durante a discussão coletiva, como referiu Branca: “E é interessante o confronto... até se uns fizerem analiticamente e outros graficamente, tentar perceber porque é que não são coincidentes... ou são...” (S5).

Figura 1 Enunciado da Primeira Questão da Tarefa 

Depois de ser discutida a primeira parte da tarefa, era dada aos alunos uma segunda parte (Figura 2). Os alunos já deveriam saber resolver as duas primeiras condições e poderiam usá-las para responder à questão seguinte.

Figura 2 Enunciado da Segunda Parte da Tarefa 

As professoras sequenciaram as questões para que os alunos começassem por um caso mais simples, o quociente de dois polinómios de grau 1, aumentando gradualmente o grau de dificuldade, como podemos ver nesta conversa entre elas:

Decidiram incluir uma outra questão, idêntica à 1.3, que tinha dois casos particulares, como refere Sofia: “aquelas situações em que é tudo positivo, por exemplo x2+4x-2<0, ou -x2-4x-2<0, para eles perceberem que também têm que pensar um bocadinho e não se pôr logo a resolver. Depois é também ter a perceção de que x2+4 é sempre positivo, e -x2-4 é sempre negativo” (S3). Deste modo, as professoras elaboraram esta tarefa para que os alunos compreendessem os procedimentos envolvidos na resolução de inequações fracionárias, não apenas para as aquelas condições em particular, mas para os aplicarem a outras condições.

As discussões sobre a elaboração da tarefa, potenciaram uma análise por parte das professoras da redação do enunciado das questões, para suscitar respostas com diferentes representações, e das condições que colocariam no enunciado da tarefa, permitindo trabalhar diversas situações, sem se afastarem dos objetivos da aula. Além disso, discutiram como iriam sequenciar as questões, tendo em atenção as dificuldades que os alunos poderiam ter. Esse trabalho aponta, assim, para o desenvolvimento do conhecimento das professoras sobre os alunos e a forma como aprendem e sobre a prática letiva.

6.2 Antecipação de estratégias e dificuldades

Enquanto elaboravam a tarefa, as professoras foram antecipando estratégias e dificuldades dos alunos, usando a sua experiência e apoiandose num artigo (^{Tsamir y Almog, 2001}) que apontava possíveis respostas em questões análogas às que colocaram nesta tarefa (figura 1 e figura 2).

As professoras esperavam que os alunos resolvessem esta tarefa algébrica ou graficamente e a discussão sobre estratégias que eles poderiam seguir foi uma oportunidade para discutir a seleção e sequenciação das respostas a explorar durante a discussão coletiva:

Depois de mais alguma discussão, as professoras decidiram começar a discussão coletiva da primeira parte da tarefa pela representação gráfica, seguida de representações algébricas incompletas (considerar apenas o numerador e o denominador positivos, por exemplo) ou com erros (considerar apenas o numerador positivo ou usar incorretamente conectores lógicos) e de uma representação algébrica correta. Por fim, seria apresentada uma resolução com recurso a uma tabela, onde os alunos podiam estudar o sinal do numerador e do denominador da fração e, a partir daí, concluir sobre o sinal do quociente, tal como já tinham feito, no 10.º ano, para determinar o sinal de funções polinomiais de grau superior a dois. Caso os alunos não usassem alguma destas representações, gráfica, algébrica, ou recorrendo a uma tabela, as professoras desafiariam os alunos mais rápidos a resolver a tarefa usando outras representações. Para a discussão das questões 1.3 e 1.4 da segunda parte da tarefa, as professoras pensaram começar novamente pela representação gráfica, seguida de uma resolução com recurso a uma tabela.

A discussão sobre possíveis representações e estratégias de resolução dos alunos levou as professoras a alterar o enunciado da tarefa (não incluir uma fração racional que pudesse ser simplificada). Levou-as também a refletir sobre as representações e as estratégias que poderiam selecionar para a discussão com toda a turma e como poderiam sequenciá-las. Além da representação gráfica, valorizaram a utilização de uma tabela onde os alunos pudessem estudar o sinal do numerador e do denominador da fração e, a partir daí, concluírem sobre o sinal do quociente, por ser uma estratégia que se pode usar no estudo do sinal de funções racionais ou em outras situações, para determinar sinais do quociente ou do produto.

As professoras anteciparam vários erros e dificuldades dos alunos. Entre eles, na primeira parte da tarefa, anteciparam que, na representação algébrica, os alunos poderiam considerar apenas que o numerador e o denominador teriam de ser ambos positivos. Para os ajudar a chegar à resposta correta, Sofia sugeriu: “Aqui podemos dizer: (…) vejam lá, se substituírem o x por −4, fica -1-6. É, ou não, solução?” (S4). Outra possibilidade seria os alunos confrontarem a representação algébrica com a gráfica: “indo por aí, [o aluno] percebe: «Espera aí. Isto não podia ser. Faltam-me aqui soluções»” (Sofia, S4). “Exatamente. Falta aqui qualquer coisa”, continuou Branca. Para os alunos que usassem uma tabela para resolver a condição, e tivessem dificuldade em fazê-lo, as professoras registaram no plano de aula um comentário que remetia para o trabalho com funções polinomiais que já tinham feito no 10.º ano, e escreveram uma questão que poderia ajudar os alunos: como podemos organizar a informação quando queremos determinar o sinal de uma função polinomial de grau 3 como, por exemplo, hx=(x2-4)(x-3)?

Apoiando-se no seu conhecimento sobre os alunos e no conhecimento de práticas anteriores, ampliado pela análise do artigo de ^{Tsamir e Almog (2001)}, as professoras anteciparam posssíveis erros e dificuldades dos alunos, as representações que poderiam surgir e as estratégias que eles poderiam seguir. Com base nessas discussões, repensaram o enunciado da tarefa e aprofundaram o seu conhecimento sobre a condução da realização de tarefas exploratórias, pensando em formas de ajudar os alunos, incentivando-os a explicarem as suas resoluções e a confrontarem várias representações. Esse trabalho trouxe-lhes também um novo olhar para a seleção e sequenciação de respostas para o momento de discussão coletiva, incluindo resoluções incompletas ou com erros, e foi uma oportunidade para as professoras ampliarem o seu conhecimento dos alunos e da prática letiva.

6.3 Reflexões pós-aula

A reflexão começou por uma comparação entre o trabalho dos alunos e o que tinha sido antecipado. Sobre o confronto entre a representação gráfica e algébrica, as resoluções foram ao encontro do que as professoras anteciparam. Em ambas as aulas de investigação, vários alunos perceberam que a sua resolução algébrica não estava correta quando a confrontaram com a representação gráfica. Isto foi referido por Sofia: “houve um aluno que disse assim: «Então, mas agora, a solução que obtivemos não corresponde ao gráfico»” (AI1R2). Além disso, vários alunos tiveram dificuldade em escrever o conjunto-solução da condição a partir da representação gráfica: “desenharam a hipérbole, sem aten-der ao zero. E depois não conseguiam tirar o conjunto-solução” (Sofia, AI1R2). As professoras discutiram essa questão e refletiram sobre a causa que poderia estar por detrás dessa dificuldade:

O facto de alguns dos alunos não conseguirem ver os dois ramos de hipérbole, na representação gráfica de fx=x2-4x-3 na calculadora gráfica, por não ajustarem a janela de visualização, levou-os a questionar as suas resoluções, sabendo que não poderiam obter diferentes conjuntos-solução. As professoras valorizaram esse trabalho dos alunos:

As professoras identificaram outras resoluções, com erros, que foram ao encontro do que anteciparam, como a apresentada na figura 3.

Figura 3 Resposta de um Grupo de Alunos à Questão 1.2 

Como referiu Branca, “o problema é que depois não sabem o que é isto x>±2” (S3). Embora esta questão já tivesse sido trabalhada, tanto no 10.º como no 11.º ano, as professoras acharam que esta poderia ser uma oportunidade para explorar este erro, muito frequente, e discutiram sobre qual pode ser a sua causa:

Nesta discussão, as professoras refletiram sobre as razões que podem levar os alunos a cometer este erro e referiram que pode estar relacionado com a ana-logia que eles estabelecem entre a resolução da equação x2-4=0 e a da inequação associada.

Estas reflexões sobre as razões que podem estar por detrás de erros dos alunos, assim como sobre o confronto de diferentes representações, criaram oportunidades para o desenvolvimento do conhecimento das professoras sobre os alunos e a sua aprendizagem e do conhecimento sobre a prática letiva.

As professoras refletiram também sobre as dificuldades dos alunos que tentaram fazer a resolução algébrica com conectores lógicos, nas questões 1.3 e 1.4 na primeira aula (AI1.1). Depois de determinarem os zeros dos polinómios do numerador e denominador, muitos alunos tiveram dificuldade em determinar o conjunto-solução da condição:

Nas aulas que lecionaram a outras turmas depois desta reflexão, as professoras deram maior ênfase à utilização da tabela na discussão coletiva da primeira parte da tarefa, enriquecendo o leque de estratégias que os alunos podem usar neste tipo de tarefa.

Depois da segunda aula (AI1.1), as professoras discutiram a forma como um aluno explicou a sua resolução à turma e como outra aluna apresentou uma outra estratégia (baseada na representação gráfica) para identificar os sinais do numerador e denominador da fração:

Tal como tinham planeado, as professoras selecionaram uma resolução com recurso a uma tabela para o momento de discussão coletiva, onde incentivaram os alunos a explicar e a justificar as suas resoluções. As professoras valorizaram a clareza dessa explicação e confrontaram diferentes estratégias, baseadas nas representações algébrica e gráfica, para responder à questão. Este trabalho permitiu-lhes aprofundar o seu conhecimento dos alunos e da forma como pensam, do modo como comunicam e das diferentes estratégias que podem seguir.

As professoras também refletiram sobre aspetos do trabalho dos alunos que as surpreenderam. Por um lado, contrariamente ao que esperavam, na representação algébrica muitos alunos escreveram que o numerador e o denominador teriam de ser ambos positivos ou ambos negativos, usando corretamente conectores lógicos: “Muitos disseram logo «ou os dois positivos, ou os dois negativos». E outra coisa: a muitos grupos, nem sequer faltou os parêntesis” (Sofia, AI1R2). Por outro lado, os alunos apresentaram resoluções que não estavam previstas. Numa delas, os alunos resolveram a primeira tarefa por tentativas, e a resolução foi selecionada pela professora para iniciar o momento de discussão coletiva. As professoras mostraram-se surpreendidas com a resolução e com o modo como os alunos escolheram valores que faziam variar o sinal do numerador e do denominador da fração:

A ideia de ir por tentativas, mas não são tentativas quaisquer! Como é que ele disse? [na discussão coletiva, o aluno disse “o alcance da expressão”] x=2 era impossível... e depois o x=3 (…) um número superior a 2 e [outro número, −4] inferior a −3. (…) por tentativas, tendo o primeiro membro da inequação (Sofia, AI1R2).

Na mesma tarefa, um grupo de alunos apresentou outra resolução não prevista e que as professoras acharam surpreendente (figura 4).

Figura 4 Resolução de um Grupo de Alunos Usando Várias Estratégias 

Os alunos começaram por escrever a condição com conectores lógicos, tentaram escrever o sinal do quociente a partir da análise das representações gráficas do numerador e do denominador da fração e concluíram a resolução com uma tabela que resumia a informação, permitindo-lhes escrever o conjunto-solução da condição.

Assim, além de analisarem os erros e dificuldades dos alunos, as professoras refletiram também sobre respostas que as surpreenderam, o que lhes trouxe novo conhecimento sobre as estratégias que os alunos podem seguir. Refletiram também sobre as explicações e as justificações dos alunos, mostrando-se mais uma vez surpreendidas, tanto pela escolha dos números na resolução por tentativas, como pelas estratégias seguidas por outro grupo, o que lhes permitiu aprofundar o seu conhecimento sobre os alunos e a sua aprendizagem e o conhecimento da prática letiva.

Estas reflexões proporcionaram o desenvolvimento do conhecimento das professoras, em especial na análise das respostas que anteciparam e nas respostas que as surpreenderam, aprofundando o seu conhecimento sobre a forma como os alunos comunicam as suas estratégias, e sobre o modo como o con-fronto de várias representações e estratégias pode promover a aprendizagem dos alunos. Perceberam também a vantagem que existe em antecipar diversas estratégias de resolução no momento de planificação da aula, tendo em vista a valorização da discussão coletiva.