1. Introducción

Por medio de una práctica de la física se pretende que alumnos del nivel de ingeniería, de entre 18 a 20 años de edad, identifiquen las funciones exponenciales y logarítmicas que resultan de la graficación de la función que modela el fenómeno de capacitancia. Como resultado de esa actividad, se busca que reafirmen el significado del concepto de función visto en los cursos de cálculo diferencial a partir de sus componentes fundamentales: dominio, contradominio, variables dependiente e independiente, concavidades, crecimiento y decrecimiento, entre otros.

Se parte del supuesto de que la práctica contiene una buena carga de elementos empíricos que surgen del fenómeno físico. En consecuencia, los datos que de la práctica resultan refieren magnitudes de tiempo t contra voltaje V y corriente I. Esas magnitudes se deben interpretar en el contexto de las funciones como valores de y según x, de modo que ello dé lugar a la graficación de la función que modela el fenómeno y a la identificación de las propias funciones.

El problema de investigación parte de una expresión de la física-matemática; es decir: It=εRe-tRC, que se determina mediante un proceso de análisis de mallas que involucran magnitudes de capacitancia C, resistencia R, voltaje ε. El análisis lleva a su vez a la determinación de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm (^{Serway, 1997, p. 154}). Para determinar una expresión analítica que involucre la dependencia del tiempo de carga y corriente se debe resolver la ecuación del circuito de la malla a partir de las reglas de Kirchhoff; es decir:

donde q es la carga en el capacitor; ello lleva a establecer dos ecuaciones, como las siguientes:

Como R y C son constantes, esto puede ser integrado utilizando condiciones iniciales, como para t=0, I=I0, cuya sustitución lleva a la expresión buscada:

El procedimiento anterior es poco comprensible para un estudiante de segundo semestre de ingeniería y anula la parte experimental de la que surge. De ahí que sea necesaria una actividad de experimentación física que la valide, adecuada para los estudiantes de ese semestre.

Debido a los tipos de técnicas algorítmicas que surgen en la actividad, nos inclinamos por utilizar el marco teórico reconocido como modelo praxeológico extendido, de ^{Castela y Romo-Vázquez (2011)}. El modelo extendido parte de incorporar a la teoría antropológica de lo didáctico (TAD) una componente conocida como tecnología práctica, simbolizada como θP (Figura 1), que permite sumar a la modelización técnicas prácticas, ausentes en las tecnologías teóricas θth (teoremas, definiciones, etcétera) de las que se desprenden las técnicas matemáticas que ayudan en la resolución de tareas adheridas al discurso matemático de la clase (^{Castela, El Idrissi y Malonga, 2015, p. 424}).

Fig. 1 Modelo praxeológico extendido propuesto por ^{Castela y Romo-Vázquez (2011)}, en el que se incluye a la unidad básica de análisis [T, τ, θ, Θ] una tecnología práctica θ^p. 

Las técnicas prácticas suelen ser proposiciones empíricas que se corresponden con la fenomenología física (^{Camacho y Sánchez, 2015}), o bien con disciplinas ajenas a la matemática que no se justifican con los elementos tecnológicos supuestos en el modelo de organización matemática (OM), reconocido en la TAD como praxeologías canónicas (^{Chevallard, 2007}) que no incorporan en su definición estructural al empirismo.

En la Figura 1, Iu representa la institución usuaria de la matemática, en este caso la física, productora de tecnologías prácticas θ^p. P(M) es la disciplina matemática constituida por la comunidad de investigadores que producen praxeologías matemáticas. Mientras que los tipos de tareas T y las técnicas ( se corresponden con las involucradas en la unidad básica de análisis de [T, τ, θ, Θ], así reconocida en ^{Chevallard (1999)}. En esta última, el símbolo θ^th representa una tecnología teórica; es decir, un teorema, una definición, etcétera.

En la TAD, las praxeologías se consideran organizaciones matemáticas que contienen objetos y técnicas que se dedican en la práctica matemática hacia la resolución de problemas. Desde este punto de vista, las actividades de enseñanza-aprendizaje son constituidas por praxeologías matemáticas cuyos objetos no consideran otros conceptos que dieron origen a la construcción social de los conocimientos sobre los que descansa actualmente la enseñanza de la matemática. Por sí mismo, este marco teórico no acepta la modelación de conceptos de la matemática, cuya definición se considera empírica (^{Camacho y Romo-Vázquez, 2015, pp. 444-445}; ^{Castela, 2008}); por ejemplo: los estudiantes en el nivel superior utilizan cotidianamente el software conocido como Wolfram, en sus diferentes versiones que se bajan al móvil, para resolver ecuaciones diferenciales que se les proponen como ejercicios en el salón de clase. La aplicación les otorga una síntesis de la solución de la ecuación sin mediar en el procedimiento completo, lo que da por resultado un desconcierto de los estudiantes al no contar con la totalidad del ejercicio. Como herramienta, el Wolfram se puede considerar como una técnica práctica que no pertenece al discurso diario de la clase, que utilizado adecuadamente puede favorecer el entendimiento de la resolución de diferentes problemas que se ventilan en los cursos. Otros casos frecuentes en el aula son las definiciones de las ecuaciones diferenciales parciales que devienen a las propias actividades de la física matemática, así como otros conceptos que se justifican a través de esta última ciencia, o bien a partir de argumentos que forman parte de la ingeniería.

2. Método

La actividad práctica es descrita ampliamente en ^{Armendáriz (2017)}. Fue desarrollada a partir de la experiencia de la autora en la impartición del curso de física para estudiantes de ingeniería del sistema Tecnológico Nacional de México y eventualmente ha sido validada a los largo de varios semestres de su experimentación. La descripción que se muestra enseguida es fruto de esa experiencia.

2.3. Descripción de las lecturas y gráficas

Por el tipo de experimento, se estimaron al menos cinco tablas con sus respectivas gráficas. La primera de ellas enlista elementos numéricos de voltaje V contra tiempo t, en el proceso de carga en el condensador. La segunda refiere voltaje V contra tiempo t, en el proceso de carga en el resistor. En la tercera, se estima corriente I contra tiempo t, en el proceso de carga. En la cuarta se considera voltaje V contra tiempo t en el proceso de descarga en el condensador. Finalmente, en la quinta, se contempla corriente I contra tiempo t, en el circuito dentro del proceso de descarga.

En la imagen de la Figura 2 se encuentran enumerados los valores de corriente I contra tiempo t, determinados durante el proceso de carga del condensador, la gráfica de valores fue elaborada por uno de los equipos. Se puede observar que la cantidad de valores puntuales tienden a la gráfica de una función exponencial, cuya expresión es semejante a: fx=a-x.

Fig. 2 Gráfica de la corriente I contra tiempo t, en el proceso de carga del condensador. 

Después de que los equipos terminaron de llenar las tablas de valores y elaborar las gráficas correspondientes, el profesor les hizo entrega de una lista de gráficas de diferentes tipos de funciones (ver Anexo al final del artículo), como por ejemplo: fx=c, fx=ax, fx=ax, fx=x3, etc., en las que se colocaron funciones exponenciales y logarítmicas, como las determinadas en la experimentación. Esto último permitió que los estudiantes identificaran las gráficas elaboradas, así como sus elementos significativos: variables dependiente e independiente, dominio, rango, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidades y asíntotas.

Debido a que las gráficas elaboradas a partir de los datos de la experimentación, son semejantes a las proporcionadas en el listado por el profesor, no fue difícil que los estudiantes las identificaran. Sin embargo, se presentaron algunas situaciones que consideramos necesario comentar. Una de ellas tiene que ver con los tipos de gráficas que aparecen en el listado (Anexo) ya que la gráfica que resulta de la experimentación, Figura 2, no se encuentra en este último, siendo la correspondiente, del tipo fx=a-x. Ello provocó cierta confusión en los estudiantes, haciendo necesaria la participación del profesor, quien los orientó con una serie de preguntas hacia el tipo de gráfica deseada.

Otro problema se presentó al intentar definir el rango de ésta última, que en los cursos de cálculo se reconoce como de (0, ∞), el voltaje en general limita al voltaje que otorga la fuente, por lo tanto la corriente quedaría en los límites de [ 0, 0.8 ] miliamperios (mA). De igual manera, en los cinco casos, el dominio que involucra al tiempo t solamente ocurría en el intervalo de [ 0, ∞), que en la práctica de la experimentación no se va al infinito, siendo que en las gráficas cotidianas de los cursos de cálculo es de (-∞,8).

3. Discusión y resultados

Durante el desarrollo de la experimentación, la actividad física irrumpió con conocimientos cercanos a los conceptos del cálculo diferencial, como fueron dominio, contra-dominio y gráficas de las funciones en juego. Esos conocimientos se salieron del control de la modelización, lo cual provocó cierta confusión en los estudiantes, que deberá tomarse en consideración para futuras reproducciones de la práctica. Además, en otro momento, para modelar la actividad física desde el punto de vista de la didáctica de la matemática, será necesario un tratamiento acorde a los Momentos de Estudio de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de ^{Chevallard (2007)}.

Los momentos se concibieron bajo una estructura metodológica que lleva a los estudiantes a construir los conocimientos en el acto mismo de su enseñanza-aprendizaje. Además, una reproducción de la práctica en un escenario del curso de cálculo diferencial, hace necesario que el profesor tenga conocimientos elementales de la física, lo cual no necesariamente puede ocurrir.

4. Conclusiones

En la práctica que precede se parte de un cuestionamiento que surge de actividades de la física, en este caso el circuito de carga de un condensador. Tal actividad supone un trabajo de modelización de la práctica misma. Trabajo que involucra la recolección de datos que a su vez lleva a la graficación de funciones de la matemática. En la experimentación se introdujeron funciones exponenciales y logarítmicas, herramientas valiosas que dejan claro el concepto de capacitancia y confirman el comportamiento de las variables de las funciones mencionadas a través de su crecimiento y decrecimiento, considerando también los intervalos de los dominios y contra dominios, respectivos.

En este sentido, consideramos que los estudiantes reafirmaron el conocimiento que tenían del concepto de función exponencial, toda vez que esa ratificación se dio a través de las actividades desarrolladas con la práctica.

En sentido inverso, es decir desde la enseñanza del concepto de función (exponencial y logarítmica) en la asignatura del Cálculo Diferencial, esta situación pudiera luego constituir una base para mejorar y reafirmar el aprendizaje del mismo concepto, toda vez que la actividad es susceptible de conducir a la introducción de la gráfica de las funciones, desde un contexto no-matemático, lo cual entra en conflicto con la presentación de estos temas en los cursos habituales de esa asignatura (^{Castela, El Idrissi & Malonga, 2015}). No obstante, la introducción de conceptos en el curso de cálculo desde la física es cotidiano y la justificación a tales conflictos y restricciones que se provocan con su inmersión, se encuentra en el marco teórico propuesto, toda vez que poco conocido en los países latinoamericanos. En esos conflictos se encuentran dos modos de razonamiento opuestos, de los que destaca el nivel de rigor que debe emplearse en la enseñanza de las matemáticas para los futuros ingenieros y el empirismo dominante en el aula.