Teoría de la Utilidad

La función de utilidad y su medición son conceptos totalmente abstractos. Además, no son instrumentos técnicos y operacionales. Esto generalmente siembra algunas dudas entre extraños o neófitos de la economía y las finanzas, pues se duda sobre la relevancia de esta teoría. Por ello, es preciso resaltar que la teoría de la elección en los mercados revela adecuadamente el comportamiento de los agentes económicos sobre sus decisiones de consumo e inversión; y la teoría de la utilidad da plena cuenta del comportamiento de los agentes económicos en la toma de decisiones en condiciones de riesgo.

Análisis experimentales sobre el comportamiento de los individuos y estudios empíricos sobre sus preferencias corroboran que más es siempre preferido a menos. Además, tal como la teoría lo propone, la satisfacción personal de cada unidad adicional de consumo o de un peso ganado, en el caso de las inversiones, producen una satisfacción cada vez menor, una satisfacción decreciente. Esto es consistente con los postulados de la teoría de la elección y de la utilidad.¹

Igualmente, la evidencia empírica también confirma el hecho de que los agentes económicos en su gran mayoría son aversos al riesgo. Aún más, solamente hace falta recordar que una gran parte de los individuos compran seguros contra el robo de coches, robos o daños a sus casas, etc., lo que revela una actitud de aversión al riesgo pues la prima de seguros es siempre más alta que la pérdida esperada, para cubrir los costos y ganancias de la aseguradora. En los países en vías de desarrollo la compra de seguros no es muy extendida, pero esto no se debe a una pasión por el riesgo, sino a los ingresos muy bajos de gran parte de la población. No obstante, tanto los agentes de países desarrollados como los de países en vías de desarrollo revelan aversión al riesgo en estudios experimentales. Al ofrecerles rendimientos constantes con diferentes niveles de riesgo, la gente invariablemente escoge las jugadas de menor riesgo.

Finalmente, aún si el inversionista o el administrador de portafolios no cree que sea posible derivar funciones de utilidad, los principios de esta teoría ofrecen mucho para comprender el proceso de toma de decisiones racionales; explica claramente el porqué, se aceptan o rechazan ciertas inversiones y portafolios de inversión.

No obstante, cabe resaltar la presencia de una paradoja: si se supone racionalidad, ¿por qué un mismo individuo compra tanto seguros como boletos de lotería?, esta preferencia por loterías y juegos al azar es contraria a los postulados de la teoría de la elección y de la utilidad, pues su rendimiento esperado es negativo, y revela una actitud de pasión por el riesgo. Para explicar esta situación, ^{Friedman y Savage (1948) 2} sugieren que la curva de utilidad toma diferentes formas según los niveles de ingreso de los individuos. La curva de utilidad se compone de tres segmentos: ³ tiende a ser cóncava hacia abajo para niveles bajos de ingreso, cóncava hacia arriba para niveles medios de ingreso y nuevamente cóncava hacia abajo para niveles altos de ingreso (utilidad marginal decreciente, creciente, y decreciente, respectivamente).

En la Figura 1. Se observa en A niveles de ingreso bajos donde los individuos presentan una curva de utilidad cóncava hacia abajo y son aversos al riesgo, pero gustan tomar juegos al azar, si tales juegos les pueden cambiar su riqueza a niveles B y más altos (donde la curva de utilidad es nuevamente cóncava hacia abajo. En la segunda categoría se encuentran individuos que prefieren grandes juegos al azar. En el último segmento se encuentran los individuos de altos ingresos y que prefieren la certeza en relación al riesgo moderado y en relación al riesgo extremo. Prefieren juegos de ganancias pequeñas, razonablemente seguras con la posibilidad de pérdidas pequeñas. Son individuos aversos al riesgo que buscan un premio por tomar riesgos moderados.⁴ Esta situación se representa en la Figura 2.

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1 Curva de utilidades segmentada de acuerdo a niveles de ingreso 

Fuente: Elaboración propia.

Figura 2 Curva de utilidad 

La teoría de la utilidad se ha enriquecido en las dos últimas décadas con modelos que toman en cuenta la complejidad de la toma de decisiones. Las preferencias de los individuos pueden estar marcadas por varios factores. Por ejemplo, un individuo puede estar preocupado a la vez por la estabilidad de sus niveles de ingreso, así como por su salud; si su salud ha mermado un tanto, podría asignar menos valor a sus ingresos futuros ante la imposibilidad de gozar plenamente de los mismos. Asimismo, la inestabilidad en los niveles de ingreso alteran los patrones de consumo y ahorro, De ahí que ante una posible reducción en el ingreso futuro muchos agentes económicos tiendan a ahorrar más como una medida preventiva. Es un ahorro precautorio. Actitudes como las anotadas han sido ampliamente analizadas por psicólogos, economistas y actuarios, a menudo en estudios multidisciplinarios. Analíticamente, se examina las derivadas de alto orden de la función de utilidad.

Teoría de portafolios

El rendimiento total deseado del inversionista en su portafolio de inversión se expresa por la ecuación siguiente:

El rendimiento real deseado del inversionista es el ingreso que obtiene derivado de su inversión, es decir, sacrifica su consumo presente por futuro, invirtiendo patrimonialmente en la compra de acciones, con la esperanza de incrementar su ganancia.

La pérdida en el poder adquisitivo del inversionista a causa de la inflación, es compensada mediante una sobretasa sobre el rendimiento real deseado; la cual es igual a la tasa de inflación (π). La tasa de rendimiento real deseado (r) más la prima por el riesgo inflacionario determinan la “tasa libre de riesgo” (TLR). Esta tasa es la que tiene el riesgo más bajo de incumplimiento bancario; comúnmente esta tasa en México es otorgada por los Certificados de Tesorería (CETES).

El inversionista también desea una sobretasa que compense sus riesgos adquiridos por invertir en activos distintos al libre de riesgo, es decir, en activos riesgosos. Para ello se necesitan de dos tipos de primas: una prima por el riesgo de mercado, y una prima por el riesgo intrínseco de cada empresa.

El riesgo del mercado en las pérdidas o ganancias del inversionista se debe al cambio en precios de los activos en los Mercados Financieros. Este riesgo, se tiene principalmente a causa de las decisiones que se toman en política gubernamental. El riesgo intrínseco se compone a su vez del riesgo financiero y el riesgo comercial. El riesgo comercial se da a causa de posibles impactos negativos que afecten la eficiencia de cada empresa. El riesgo financiero se da a causa de posibles impactos negativos justo en los rendimientos de los activos financieros.

Modelo de Portafolio media-varianza de Merton

Partiendo de las características de una inversión, anteriormente mencionadas, ^{Merton (1972)} revoluciona el pensamiento financiero. Aportando su contribución mediante un modelo en la construcción de portafolios de inversión óptimos minimizando el riesgo del portafolio sujeto a un nivel dado del rendimiento esperado del portafolio. La solución de dicho problema se le conoce como el portafolio de media-varianza. Analizando la construcción del modelo de Merton, tenemos que el rendimiento esperado del portafolio es el promedio ponderado de los rendimientos esperados de los activos que conforman dicho portafolio:

Mientras que el riesgo del portafolio se mide con su desviación estándar respecto a su rendimiento esperado. ^{Luenberger (1998)} dice que la varianza de los rendimientos de los portafolios es el promedio ponderado de las covarianzas de todos los pares incluidos en el portafolio, lo anterior se expresa como:

Análogamente la matriz de varianza-covarianza puede ser descompuesta mediante,

Por lo tanto, la estimación de la varianza del portafolio se puede llevar a cabo mediante,

Cabe mencionar, esta descomposición de la matriz de varianzas y covarianzas es la que se utilizará para incorporar los modelos cópula y los modelos GARCH. Los modelos cópula se incorporarán a través de los parámetros de correlación, para conformar la matriz de correlación; y los modelos GARCH se incorporarán a través de los parámetros de volatilidad, para conformar la matriz de volatilidad.

La expresión de la ecuación (3) en su forma matricial es igual a:

Por lo que la desviación estándar del portafolio (el riesgo) es:

Para encontrar la frontera eficiente de los portafolios de inversión se necesita encontrar las ponderaciones óptimas (W₁,W₂,…,W_n) que minimizan el riesgo para cada rendimiento esperado posible. Por lo que el problema de optimización planteado por Merton se expresa de la manera siguiente:

sujeto a:

La restricción de que las ponderaciones al menos obtengan el valor de 0, esto es, para no permitir ventas en corto en el modelo.

Teoría de cópulas

Una función cópula es una función de distribución multivariada definida en el cubo unitario [0,1]ⁿ x [0,1], con marginales uniformemente distribuidas. El sustento matemático de las funciones cópula lo establece ^{Hoeffding (1940)} y se precisa a través del Teorema de ^{Sklar (1959)}.

Teorema de Sklar

Sea una función de distribución n-dimensional F con distribuciones marginales continuas F₁,…,F_n, existe una única -cópula C:[0,1]ⁿ → [0,1] tal que:

De este modo, la cópula combina las marginales para formar una distribución multivariada. Este teorema proporciona una parametrización de la distribución multivariada y un esquema de construcción de cópulas.

Este teorema consiente la elección de marginales diferentes y una estructura de dependencia dada, para luego ser usadas en la construcción de una distribución multivariada⁵. Esto difiere con la manera tradicional de construir distribuciones multivariadas, en donde se tiene la restricción de que las marginales son usualmente del mismo tipo.

Las funciones cópula que se utilizarán en este trabajo son cópulas bivariadas, es decir, cópulas compuestas solo por dos funciones de distribución marginal. Es importante señalar que las funciones de distribución marginales que se utilizarán para después vía estas poder construir las funciones cópulas bivariadas, serán funciones de distribución marginales correspondientes a la estructura distribucional que se propondrá a través de las cópulas.

A pesar de existir un número considerable de funciones cópula, en este trabajo solo nos enfocaremos en las cópulas de la familia Elíptica: la cópula gaussiana y la cópula t-Student,

La principal característica de estas cópulas es que se encuentran asociadas a variables aleatorias cuya función de distribución multivariada es simétrica, por ende, las curvas de nivel que se generan a través de este tipo de cópulas tienen forma Elíptica.

Cópula gaussiana

La cópula Gaussiana es una generalización de una distribución Gaussiana multivariada. Para el caso bivariado Φ denota la distribución gaussiana (acumulada) Φ_p,2 y denota la distribución gaussiana estándar 2-dimensional con matriz de correlación p.

La cópula gaussiana bivariada con matriz de correlación p es,

Como se señaló anteriormente, las funciones de distribución marginales que se utilizan en este trabajo para la estimación de las cópulas bivariadas normales, son funciones de distribución marginales correspondientes a la estructura distribucional de la cópula, en este caso marginales gaussianas.

Cópula t-Student

La cópula t-Student es una generalización de una distribución multivariada t-Student. Para el caso bivariado, una distribución t-Student 2-dimensional T_2,p,v con grados de libertad y una matriz de correlación se define,

Y su respectiva cópula bivariada t-Student con matriz de correlación ρ y v grados de libertad es,

donde T _v es la distribución univariada t-Student con v grados de libertad.

Como se indicó, las funciones de distribución marginales que se utilizan para la estimación de las cópulas bivariadas t-Student, son funciones de distribución marginales correspondientes a la estructura distribucional de la cópula, en este caso marginales t-Student.

Estimación de los Parámetros cópula

La estimación de los parámetros de las cópulas Elípticas propuestas en este trabajo, será a través de la maximización de su función de log-verosimilitud. La función de log-verosimilitud está definida como,

en donde θ es el conjunto de parámetros tanto de las marginales como de la cópula.

La función de log-verosimilitud se maximiza y se obtiene el estimador de máxima verosimilitud,

El parámetro estimado de la cópula (parámetro de dependencia) fungirá como el parámetro de correlación en el portafolio de Merton, de esta manera se generarán dos matrices de correlación una con los parámetros estimados vía la cópula gaussiana y otra con los parámetros estimados vía la cópula t-Student.

Modelo GARCH

^{Bollerslev (1986)} amplía el modelo ARCH, proponiendo el modelo GARCH⁶. El modelo autorregresivo de heteroscedasticidad condicional generalizado (GARCH), estima que la varianza condicional depende de dos factores: las innovaciones de los residuales al cuadrado ε² _t-1, ε² _t-2, ε² _t-p, conocido como efecto ARCH, con sus respectivos coeficientes autoregresivos; y las varianzas condicionales previas σ² _t-1, σ² _t-2, σ² _t-p, conocido como efecto GARCH, con sus respectivos coeficientes autoregresivos; un término de intercepto, γ₀; y un término de error, u_t.

El modelo GARCH se expresa,

El modelo GARCH ejemplifica un modelo GARCH(p,q), en donde p y q determinan el número de rezagos. Es necesario mencionar que la suma de los coeficientes autoregresivos de los efectos ARCH y GARCH debe ser menor o igual a 1, i.e, α₀ + α₁ +∙∙∙+ α_p + β₀ + β₁ + ∙∙∙ + β_q ≤ 1 para que así el proceso GARCH se asegure es estacionario y ergódico.

Particularmente en este estudio se hace uso del modelo GARCH con errores distribuidos de dos maneras diversas, en específico vía las dos propuestas distribucionales también propuestas en los modelos cópula: la distribución gaussiana y la distribución t-Student. Una vez obtenida la varianza condicional de ambos modelos se saca su raíz cuadrada para conseguir así la desviación estándar (volatilidad) ajustada que será utilizada en la conformación de las matrices de varianzas y covarianzas que se utilizarán en la conformación de los portafolios ajustados.