Construcción de vivienda en México

Durante los últimos años y como consecuencia del aumento poblacional, se observan tres tendencias:

Lo anterior ha ocasionado que durante los tres últimos sexenios se haya modificado el marco regulatorio de construcción de la vivienda (^{Normatividad en materia de vivienda, 2017}) y como consecuencia de esto, las viviendas de interés social que se ofertan en la actualidad sean terrenos de cinco metros de frente por quince de fondo (75 mts²) con viviendas de 40 mts² o hasta de 34 mts² de construcción (Figura 1), consistentes de minúsculos espacios de sala-comedor-cocina, dos recámaras y un baño (^{Comisión Nacional de Vivienda, 2017}).

Vivienda saludable

Otro punto importante que se debe considerar son las repercusiones psicológicas y mentales de las personas que habitan en casas de pequeñas proporciones. El habitar espacios reducidos genera efectos nocivos para la salud, constituyendo además, un factor que fomenta el surgimiento de entornos domésticos nocivos caracterizados por la agresividad y el estrés. Pero ¿Qué se puede hacer cuando ya se tiene una casa de pequeñas proporciones? (^{Gonzáles, 2010}). La decoración de la casa y el mobiliario utilizado pueden generar un estado de confort y bienestar, el sector mobiliario es el que más ha intervenido de manera constante en este aspecto, diseñando y desarrollando mobiliario que se adapta a determinadas condiciones espaciales, además de tener la capacidad de ajustarse en tamaño, forma y de manera práctica a las necesidades del usuario final.

Según un artículo del economista (^{Gutierrez, 2014}), la moda cada vez más creciente de adquirir artículos inteligentes, está dirigida a elementos multifuncionales (artículos con más de una función aparte de la propia); cuyo propósito es ayudar a organizar el espacio, pero cumpliendo con la premisa de “ser elegantes a la vista”. Los elementos multifuncionales han resuelto de manera práctica los problemas de espacio, al facilitar el desarrollo de hábitos sustentables con base en el uso de artefactos, muebles y equipamientos específicos para las necesidades de espacio reducido.

La taza como elemento multifuncional

Uno de los elementos más utilizados de forma cotidiana y con más problemas de espacio, pese a su multifuncionalidad y tamaño, es la taza; la cual es un recipiente que consta de una sola asa, usada para tomar líquidos; pero también, como contenedor, portalápices, elemento decorativo, etcétera. Ésta puede ser elaborada con materiales tan diversos como huesos de animales o de humanos y hasta cerámicas, sin olvidar las porcelanas y el borosilicato (^{Dunkin Coffee, 2013}); pero todas ellas tienen como característica común el asa que facilita su manejo (Figura 2) y cuyo objetivo principal es el de evitar quemaduras de manos por líquidos calientes, pero que de forma casi inherente, minimiza el aprovechamiento del espacio.

Situación del problema

El diseño tradicional de una taza presenta dos problemas:

Descomposición del plano euclidiano

Si descomponemos el Plano Euclidiano en polígonos regulares (todos sus lados y ángulos iguales), cada polígono tiene n vértices y, en cada vértice se intersectan k polígonos.

Como se observa en la Figura 6, cada polígono cuadrado tiene n=4 vértices y en cada vértice se intersectan k=4 polígonos, lo cual se denotará como (n, k)=(4,4). De manera análoga, tenemos que, para los polígonos triangulares y hexagonales, n, k= 3, 6y n, k=6, 3, respectivamente (las únicas soluciones para la pareja (n, k), que permiten la descomposición del Plano Euclidiano en polígonos convexos regulares son: (4,4), (3, 6) y (6, 3).

Sea D una descomposición del Plano Euclidiano en polígonos convexos regulares. Entonces, cada polígono Pn∈D tiene n vértices y n cantos, y en cada uno de sus vértices, k polígonos de D se intersectan.

Observemos que:

Dentro de Pn conectando un vértice v0=v con cada uno de los otros vértices v1,v2, …, vn-1 generamos (n-2) triángulos denotados como ∆1, ∆2…, vea la Figura 7. Denotamos por γi el ángulo interior en el vértice vi-1 en el polígono Pn, y por αj, αj+1,αj+2, los ángulos interiores del triángulo ΔQ, con j=3(Q-1)+1, para Q=1, . . . , n-2, vea Figura 7. Por la regularidad de Pn, γ1=γ2=…=γn, dado que ∑i=13(n-2)αi= ∑j=1n γi, se tiene que (n-2)*180°=n*γi debido a que cada ∆k es un triángulo. Esto implica γ1=n-2n*180 °, de donde se obtiene que k*γ1=k*n-2n*180 °=360 °. En consecuencia, k*[n-2n]=2, o sea k=2n/(n-2).

Si n>6, entonces se tiene que k=[2nn-2]<3, lo que contradice el hecho de que k≥3. Por lo tanto, las únicas soluciones para la pareja (n, k) son las siguientes: n,k∈{4,4, 3,6,6,3}, las cuales corresponden al cuadrado, triángulo equilátero y hexágono, respectivamente. Ahora, la pregunta por contestar sería: ¿Cuál de estas posibilidades permite maximizar el área, de tal forma que pueda contener la mayor cantidad de líquido?

Isoperimetría de polígonos regulares

En matemáticas, la Isoperimetría es el estudio general de las figuras geométricas que tienen contornos iguales. En el libro V de su “colección Matemática” (^{El legado de las Matemáticas: de Euclides a Newton, 2000}), Pappus de Alejandría establece que:

Teorema. Entre dos polígonos regulares con el mismo perímetro, el que tiene mayor área es el que posee más ángulos.

Se busca optimizar la utilización del plano al mismo tiempo que se maximice la cantidad de líquido contenido en el recipiente, de tal forma que el cumplimiento de una condición no menoscabe el cumplimiento de la otra, se procede a demostrar que entre los tres polígonos regulares que pueden teselar al Plano Euclidiano (Figura 8), el hexágono es el más adecuado.

Antes que cualquier otra cosa, considérese el siguiente hecho:

Es claro que la desigualdad anterior es válida para todo α>1, dado que -1≤sen⁡α≤1 para todo α∈R; mientras que para α∈0,1, esta desigualdad se hace evidente al observar en la Figura 9 al Círculo Trigonométrico ubicado sobre el primer cuadrante del Plano Cartesiano; en donde α, además de medir al ángulo que funge como el argumento de la función seno, también mide a la longitud del arco circular BD^ que corresponde a ese mismo ángulo, dado que el radio del Círculo Trigonométrico es unitario por definición; es decir, α=BD^. Por otro lado, la cantidad sen⁡α mide a la longitud del segmento de recta CD-, o sea sen⁡α=CD-; el cual a su vez, funge como el cateto opuesto al ángulo α en el triángulo rectángulo ∆OCD, por lo que es evidente el hecho de que la longitud del segmento CD- siempre será más pequeña que la del arco BD^; es decir, CD-<BD^ ⇔ sen⁡α<α para todo α∈0,π2.

Por otro lado, la Figura 10 también ilustra la validez de la desigualdad sen⁡α<α para todo α>0, mientras que sen⁡α>α para todo α<0 y sen⁡α=α ⇔ α=0; pues en dicha figura se muestran las gráficas de las funciones identidad y seno, es decir Iα=α y Sα=sen⁡α, respectivamente, de modo que es claro que para todo α>0, la gráfica de la función I siempre estará por encima de la gráfica de la función S; o sea Sα<Iα   ∀ α>0.

Ahora bien, si se toma α=2πx con x>2, entonces se tiene que:

Luego, si se considera la identidad trigonométrica sen⁡2β≡2sen⁡βcos⁡β  ∀ β∈R, entonces:

Por otro lado, se tiene que 0<sen2⁡πx<sen2⁡π2=1, dado que 2<x<∞ implica que 0<πx<π2 y además se tiene que x>2 ⇒x3>8, por lo que x3sen2⁡πx>0 para todo x>2; finalmente, de todo lo anterior se deduce la siguiente:

Ahora considérese a la siguiente función:

Entonces, para este caso se tiene que el rango de la función πx está dado por el intervalo abierto 0,π2, sin ningún tipo de discontinuidades o indeterminaciones para cualquier x>0, además de que tan⁡πx≠0 para todo x>2; y por otro lado, al ser también x≠0, se concluye que f también carece de discontinuidades e indeterminaciones para todo x>2, lo cual se ilustra en la Figura 11.

Luego, como la función f está definida a través de una multiplicación y una división de funciones continuas y diferenciables en todo x>2, entonces f también es una función diferenciable y continua en todo x>2; por lo tanto, tiene sentido hablar de la derivada de esta función sobre su dominio definido por el intervalo 2,∞, en consecuencia:

Nótese que justo antes de haber definido la función f, se demostró que f'x>0 para todo x>2; lo que se aprecia en la Figura 12.

Lo anterior garantiza que la función f es estrictamente creciente sobre el intervalo 2,∞; es decir, x1≤x2 ⇔ fx1≤fx2 de modo que x1=x2 ⇔fx1=fx2, para cualesquiera x1,x2∈2,∞.

Ahora bien, si un polígono regular tiene n lados, es claro que también tiene el mismo número n de ángulos; además, si al polígono en cuestión se le divide en n triángulos isósceles, todos idénticos entre sí, de modo que el centro de masa del polígono coincida con cada uno de los vértices opuestos al lado desigual de cada uno de estos triángulos (Figura 13); entonces es claro que θ=2πn; adicionalmente, si a es la apotema del polígono en cuestión, entonces l cada uno de sus n lados, entonces también es claro que a es la altura de cada uno de esos triángulos isósceles y l sus respectivos lados desiguales; así pues, a parte por la mitad a cada uno de estos triángulos, tal y como se muestra en la Figura 14.

Ahora bien, de acuerdo con la Figura 14 también se tiene la siguiente relación:

Lo que implica que:

Por lo tanto:

Mientras que si el perímetro del polígono está dado por P=nl, entonces l=P/n; en consecuencia:

Ergo, si An es el área de cualquier polígono regular de n lados, entonces se tiene lo siguiente:

Nótese que si n∈N es el número de lados o ángulos que puede tener un polígono, entonces forzosamente n>2; pues dentro del contexto de la Geometría Euclidiana el tipo de polígono con el menor número posible de lados o ángulos que puede haber es el triángulo; por lo tanto, la relación anterior se puede expresar de la siguiente manera:

Finalmente, como ya se demostró que f es una función estrictamente creciente para cualquier valor dentro del dominio 2,∞; entonces, en particular se tiene que para cualesquiera dos números naturales n1 y n2 distintos entre sí, tales que 2<n1<n2, la desigualdad estricta fn1<fn2 también es válida. Así pues, como P2/4>0 y por hipótesis se tiene que el valor de P es invariante ante cualquier número n de ángulos que tengan los polígonos en cuestión; entonces se tiene que:

Es decir, si dos polígonos regulares distintos entre sí tienen el mismo perímetro, entonces el que tenga la mayor área siempre será el que tenga el mayor número de lados o ángulos, lo que nos conduce a la primera especificación de la taza: El diseño exterior debe ser un hexágono, ya que todo lo anterior garantiza que, de las tres figuras que se consideraron, este es el polígono con la mayor área, o sea, esta será la forma óptima de la taza.

Diseño de asa lateral

Una vez determinada la forma más adecuada para teselar el plano, el siguiente paso es diseñar el asa lateral. Así pues, se encuentran en el mercado tazas con forma cuadrada, rectangular, ovalada e incluso hexagonal, pero todas ellas presentan como característica general un asa externa. El diseño de la taza tradicional o no tradicional, pero con asa externa, implica que se desperdicia espacio perimetral alrededor de la misma, como consecuencia del “estorbo” que ocasiona el asa.

Debido a lo anterior, se considerará la siguiente solución: diseñar el asa para que, de ser un elemento externo, se convierta en un elemento interno; utilizando para ello una de las caras laterales del hexágono, de tal forma que siga teniendo la misma función y utilidad, pero que elimine el inconveniente que presenta, facilitando la manipulación de la misma, sin dejar de lado la estética visual y la capacidad del líquido contenido.

Descripción del diseño propuesto

El asa interna presenta tres ondulaciones que permiten la sujeción de la taza de forma ergonómica y segura (Figura 15). Como se observa, el asa no utiliza espacio fuera de la periferia hexagonal, sino que está inscrita en una de las caras laterales (inciso b, Figura 16).

La cavidad posterior del asa tiene una forma semicircular (a) que facilita la inserción de los dedos al momento de sujetar la misma y que ha determinado la forma de media luna de la cavidad interna (Figura 16).

El diseño hexagonal en conjunto con el asa interna, permiten que el espacio en el que se almacene la taza sea mejor aprovechado, disminuyendo el área sin utilizar en la periferia de la misma (Figura 17).

Diseño de la cavidad interna

Una vez seleccionado el diseño exterior de la taza, el siguiente paso fue determinar la figura interna, se decidió retomar el diseño actual (circulo), pero modificado por la incorporación del asa externa. El resultado obtenido fue una taza con diseño interior en forma de media luna. En la Figura 18 se observa la taza en dos tonos (azul y rojo) para diferenciar el interior del exterior.

Diseño de base inferior

El último problema que falta por resolver, es la inestabilidad en el estibaje vertical para más de dos piezas. Para esto, se incorporará al diseño preliminar una base inferior circular de menor área que la boquilla superior, de modo que las tazas se puedan ensamblar unas con otras (Figura 19), sin que se colapsen ni derrame su contenido y sin que su estructura sufra daño alguno ni afecte su funcionamiento. En la Figura 19 se observa el ensamble de la base circular inferior (taza superior) dentro de la boquilla superior (taza inferior), así como la base y la boquilla.

La base inferior y la boquilla superior facilitan el ensamble vertical, sin embargo y a pesar de que la estructura ha sido diseñada para un apilamiento vertical, las tazas se pueden almacenar también de forma horizontal, sin que se vea afectada la integridad del apilamiento (Figura 20).

Por otra parte, los acabados redondeados del asa y su cuerpo interno permiten una limpieza sencilla, sin que se acumulen residuos indeseables.