Introducción

El diseño estructural tiene como objetivo garantizar la integridad de la estructura después de alguna carga ambiental, si la carga en cuestión es similar a la carga de diseño considerada en el código en cuestión, es decir, una carga extraordinaria, se espera que la estructura desarrolle un desempeño aceptable. Sin embargo, existen incertidumbres en la ocurrencia de solicitaciones, propiedades geométricas, mecánicas, etc. Una manera de considerar dichas incertidumbres es mediante el uso y aplicación de conceptos en el marco de la probabilidad. Los códigos de diseño consideran cargas ambientales de diseño asociadas a periodos de retorno prestablecidos. Los principales indicadores que permiten la toma de decisiones para un diseño adecuado, rediseño, mantenimiento, inspección, etc., son los niveles de seguridad determinados mediante algún indicador de confiabilidad estructural (ej. índice beta, tasa media anual de falla, tasa de excedencia de demanda, factor de confianza, etc.). En el caso de la tasa de falla existen varias técnicas para su estimación, entre las que destacan: a) mediante solución numérica, b) expresiones cerradas y c) por medio del teorema de probabilidad total.

La tasa media anual de falla obtenida mediante expresiones cerradas fue propuesta por ^{Cornell et al. (2002)}, donde los autores proponen una formulación cerrada que incluye las incertidumbres epistémicas asociadas a la capacidad y demanda. Adicionalmente, los autores proponen otro indicador de confiabilidad denominado factor de confianza, λconf, y su correspondiente nivel de confianza k _x . El trabajo de ^{Cornell et al. (2002)} se toma como base para estimar la confiabilidad en edificios de acero (^{FEMA-350, 2000}; ^{FEMA-355F, 2000}; ^{Yun et al., 2002}). Posteriormente, ^{Mackie & Stojadinović (2007)} presentan una metodología de diseño con base en el factor de confianza y nivel de confianza en estructuras de puentes considerando incertidumbres en la demanda, daño y pérdidas. ^{Dolšek & Fajfar (2007)} muestran un enfoque de estimación de seguridad estructural a través de factores de confianza asociados a estructuras asimétricas mediante análisis estáticos no lineales. ^{Vamvatsikos (2013)} desarrolla expresiones de forma cerrada para estimar tasas de falla y factores de confianza considerando un ajuste de segundo orden en la curva de peligro sísmico. La formulación original se extiende para considerar la variación en el tiempo de la capacidad estructural (^{Torres & Ruiz, 2007}; ^{Celarec et al., 2011}; ^{Vamvatsikos & Dolšek, 2011}; ^{Tolentino & Carrillo, 2018}). Tomando en cuenta la variación de la demanda en el tiempo (^{Ruiz et al., 2014}) y considerando la variación de la capacidad y demanda en el tiempo (^{Tolentino et al., 2012}; ^{Tolentino & Ruiz, 2015}). ^{Žižmond & Dolšek (2019)} presentan una formulación basada en el factor de confianza que tiene el objetivo de asociar el riesgo estructural y la aceleración espectral asociada al diseño estructural. ^{Jalayer et al. (2020)} estima la seguridad estructural en términos del factor de confianza añadiendo a la formulación original un estimador de daño estructural, además implementa un análisis dinámico no lineal llamado análisis de nube modificado.

A diferencia de los trabajos anteriores, en este trabajo se obtiene la tasa media anual de falla y factor de confianza considerando tanto a la capacidad como a la demanda como variables normalizadas. Como resultado de esta consideración, se obtienen nuevas expresiones cerradas. El enfoque propuesto se ilustra en un puente continuo de concreto reforzado diseñado para satisfacer cierto nivel de desempeño preestablecido. Se estiman los indicadores de confiabilidad para distintos estados límite de acuerdo con la normativa vigente.

Tasa media anual de falla

El valor esperado de la tasa media anual de falla se estima como sigue (^{Cornell, 1968}; ^{Esteva, 1968}):

Donde:

La ecuación 1 se puede calcular de forma numérica, simplificada o por medio del teorema de probabilidad total. Considerando que la ecuación 1 se resuelve en forma simplificada, se hacen las siguientes hipótesis:

Donde:

^{Cornell et al. (2002)} asocian la tasa media anual de falla con valor de tasa de falla permisible. A partir de esta consideración y haciendo algunos arreglos algebraicos los autores llegan al factor de confianza, λConf, como sigue:

Donde:

El factor de confianza, λConf, tiene un nivel de confianza, k _x , que representa un nivel de certeza como sigue:

Tasa media anual de falla con base en I _DC

Con la finalidad de estimar la tasa media anual de falla normalizando a la capacidad y demanda, se hacen las siguientes hipótesis:

donde PIDC>idc|Y=y es la probabilidad de que I _DC exceda un valor preestablecido i _dc ; dυ(y)/dy es el valor absoluto de la derivada de la curva de peligro sísmico. Si I _DC se afecta por una variable εA se tiene que IDC=I^DC∙εA, donde εA representa a las variables aleatorias. Si las variables aleatorias siguen una función de distribución lognormal con media y desviación estándar σln⁡(εA)=σlnIDC|y y considerando las hipótesis a, d y e, la ecuación (5) resulta como sigue:

Resolviendo la expresión anterior se tiene:

Si en la ecuación 7 se consideran las variables epistémicas relacionadas con la respuesta estructural y el peligro ambiental, la variable I _DC es afectada por las variables aleatorias, εA, y epistémicas, εE. Por lo tanto, IDC=I^DC∙εA∙εE, donde εE es una variable con media uno y desviación estándar σln⁡(εE)=σEIDC, la cual sigue una función de distribución lognormal. El modelo probabilista asociado a las incertidumbres epistémicas en el peligro ambiental o curva de peligro sísmico (CPS) se determinan como el producto de υyy con εEH. Por lo tanto, υy|εEHy=υyy∙εEH, donde εEH es un parámetro que sigue una función de distribución lognormal con media uno y desviación estándar σln⁡(εEH)=σEH. En la Figura 1 se muestra el modelo probabilista alrededor de I _DC que considera las incertidumbres epistémicas y aleatorias asociadas a la respuesta estructural y al peligro ambiental.

Figura 1 Incertidumbres aleatorias y epistémicas en la solución cerrada 

En la Figura 1 se muestra en línea negra los elementos que toman en cuenta las incertidumbres en la respuesta estructural y la línea azul punteada muestra los elementos que toman en cuenta las incertidumbres aleatorias y epistémicas tanto en la respuesta estructural como en el peligro ambiental. Considerando las hipótesis a, d, e, incertidumbres aleatorias y epistémicas, la ecuación 5 resulta como sigue:

donde σEHIDC es la fracción de desviación estándar correspondiente a las incertidumbres epistémicas como sigue:

donde σEH y σEIDC son las incertidumbres epistémicas asociadas a la CPS y la respuesta estructural, respectivamente.

Factor de confianza basado en I _DC

Asumiendo que la tasa de excedencia asociada a un estado límite, υIDCx, es menor o igual a una tasa de excedencia permitida, υ0, se tiene que:

Donde: υIDCx=kI^DC=1/α^(-r/β)exp⁡(r^2/2∙b^2σlnIDC|y^2+KxIDCσEHIDC);

σEHIDC representa la dispersión de las incertidumbres epistémicas asociadas a I _DC . Después de un procedimiento matemático, la ecuación 10 resulta como sigue:

Donde:

El nivel de confianza en términos de I _DC es como sigue:

donde x es una función gaussiana xIDC=Φ(KxIDC).

Movimientos sísmicos

Los movimientos sísmicos ocurridos en México han dejado una gran cantidad de estructuras con cierto daño y hasta casos de colapso. Por lo anterior, este tipo de solicitaciones se han convertido en una de las principales cargas en el diseño de estructuras. Para evaluar la confiabilidad estructural ante cargas sísmicas se cuenta con una red estaciones acelerometrícas en la Ciudad de México. Si los registros sísmicos no son suficientes para caracterizar el peligro sísmico del sitio, se recurre a la simulación de movimientos sísmicos sintéticos a partir de la información disponible del sitio de estudio y lugares cercanos. Para la generación de sismos sintéticos existen distintas técnicas como la que propone ^{Grigoriu et al. (1988)} quienes plantean un modelo que divide en segmentos el movimiento del suelo y utilizan procesos unidimensionales con amplitud y frecuencia moduladas. ^{Ordaz et al. (1995)} presentan una metodología de estimación de movimientos sísmicos con base en la función de Green. ^{Alamilla et al. (2001)} consideran al movimiento sísmico como un proceso estocástico gaussiano no estacionario, con parámetros estadísticos que dependen de la magnitud y la distancia entre la fuente y el sitio. De acuerdo con lo anterior, en este trabajo se simulan 1000 sismos sintéticos utilizando el enfoque propuesto por ^{Alamilla et al. (2001)}. Los movimientos sintéticos corresponden al suelo de transición en la Ciudad de México. En la Figura 2 se muestran solo 200 espectros de respuesta lineal de los sismos simulados.

Figura 2 Espectros de respuesta asociados a 200 sismos simulados 

Ejemplo de aplicación

Se estiman tasas de falla y el factor de confianza con el enfoque propuesto y alternativamente, con el trabajo de ^{Cornell et al. (2002)} en un puente continuo de concreto reforzado ubicado en suelo de transición Ciudad de México. El puente cuenta con una longitud de 110 m y tiene dos claros centrales de 30 m y un claro de 25 m en cada extremo (Figura 3). La estructura cuenta con cinco columnas circulares de 7.0 m de altura con cuatro carriles y un ancho de 18.2 m (Figura 4). Se considera un esfuerzo a la compresión del concreto, f'c, de 400 kg / cm ² en las vigas tipo AASHTO, f'c de 250 kg / cm ² en losa y f'c de 300 kg / cm ² en columnas y cabezales. El puente se diseña para desarrollar distorsiones iguales a 0.002 y 0.004. Los casos de estudio se diseñan para un factor de comportamiento sísmico Q=2. La estructura se ubica en la colonia San Rafael alcaldía Cuauhtémoc. Los casos de estudio resultan con un periodo fundamental T igual a 0.37 y 0.44 s para la distorsión de diseño de 0.002 y 0.004, respectivamente.

Figura 3 Dimensiones generales del puente de estudio 

Figura 4 Vista frontal del puente 

Para el diseño del puente se toma en consideración el camión de diseño IMT 66.5 de la norma N-PRY-CAR-6-01-006/03 (^{SCT, 2001a}), las combinaciones de carga de la norma N-PRY-CAR-6-01-006/01 (^{SCT, 2001b}) y las Normas Técnicas Complementarias vigentes (^{NTC, 2017}) para las solicitaciones sísmicas y diseño de los elementos estructurales de concreto reforzado. El armado de refuerzo se muestra en la Figura 5.

Figura 5 Secciones geométricas y acero de refuerzo, a) columnas y b) cabezales 

Caracterización no lineal e incertidumbres

La respuesta inelástica se estima mediante el programa Ruaumoko 3D (^{Carr, 2007}) y se modela la no linealidad mediante la filosofía de plasticidad concentrada. Se considera que el tablero solo trasmite carga muerta mientras que la rigidez lateral provee las columnas y cabezales. La falla estructural se encuentra cuando aparecen articulaciones plásticas en los extremos de todas las columnas, o bien, cuando ocurren articulaciones plásticas en la base de todas las columnas. Ruaumoko 3D caracteriza las articulaciones plásticas mediante la relación momento-curvatura. Esta relación se estima mediante la curva esfuerzo deformación del acero de refuerzo (^{Rodríguez & Botero, 1995}) y concreto reforzado (^{Mander et al., 1988}). Para modelar el comportamiento no lineal en los elementos estructurales se usa el modelo de histéresis de Takeda Modificado. El modelo no lineal de la estructura se construye considerando las incertidumbres relacionadas con las propiedades mecánicas y geométricas. En la Tabla 1 se muestran las incertidumbres asociadas a las propiedades geométricas y en la Tabla 2 se muestran las incertidumbres asociadas a las propiedades mecánicas.

Capacidad estructural

Se estima capacidad estructural mediante análisis dinámicos incrementales (IDAs) (^{Vamvatsikos & Cornell 2002}), se consideran 100 sismos simulados y estos se asocian a 100 modelos con propiedades simuladas. Un IDA es un análisis paramétrico que permite estimar el desempeño estructural ante eventos sísmicos, escalados gradualmente hasta que la falla estructural aparece. Las Figuras 6 y 7 muestran los IDAs expresados tanto en distorsión máxima global como en I _DC para los casos de estudio de 0.002 y 0.004, respectivamente.

Figura 6 IDAs en términos de la distorsión máxima en el tablero 

Figura 7 IDAs en términos de I _DC  

En la Figura 6a se hace notar que la distorsión de fluencia toma valores de 0.0018 a 0.0026. La distorsión que precede a la falla estructural toma valores entre 0.0036 y 0.0078. La Figura 6b muestra que la distorsión de fluencia se encuentra entre 0.0034 y 0.0052, mientras que la distorsión que precede a la falla presenta valores de 0.0060 hasta 0.0096. En la Figura 7a se obtienen valores de fluencia entre 0.194 y 0.732 mientras que en la Figura 7b se tienen valores de entre 0.262 y 0.837. Debido a la normalización en términos de I _DC , la falla estructural toma el valor de la unidad. El caso de estudio asociado a 0.002 (Figuras 6a y 7a) presenta la última falla a una intensidad de 2.194 Sa/g mientras que el caso que se diseña para desarrollar 0.004, presenta la última falla a una intensidad igual a 1.939 Sa/g (Figuras 6b y 7b).

Demanda estructural

La demanda estructural se obtiene mediante análisis dinámicos no lineales, la respuesta de la estructura se obtiene escalando gradualmente al sistema hasta que se presenta el colapso, se consideran 100 sismos simulados asociados a 100 modelos con propiedades simuladas. En la Figura 8a y b se muestran las medianas de la demanda en términos de la distorsión máxima en el tablero y el indicador I _DC . En ambas figuras se hace notar que es necesario una mayor intensidad símica para desarrollar la misma demanda cuando se comparan los casos de estudio 0.002 y 0.004. Al normalizar la respuesta mediante I _DC se visualiza una reducción de la diferencia en los casos de estudio debido a la normalización entre demanda y capacidad. Las desviaciones estándar en términos de distorsiones máximas en el tablero son iguales a σlnD=0.394∙y1.9741 y σlnD=0.502∙y1.731 para el caso de 0.002 y 0.004, respectivamente. Para el caso en términos de I _DC se tiene que σlnIDC=0.347∙y0.217 y σlnIDC=0.430∙y0.214 para los casos de 0.002 y 0.004.

Figura 8 Demanda estructural en términos de: a) distorsión máxima y b) I _DC  

Curvas de peligro sísmico

Las curvas de peligro sísmico CPS se tienen como dato conocido (Figura 9), estas curvas están asociadas al sitio de estudio, a un amortiguamiento crítico de 5 % y al periodo fundamental de la estructura. Las CPS se ajustan mediante la k∙yr en la zona de interés. En la Figura 9 se muestran las CPS para los periodos de 0.37 y 0.44 relacionados con los casos de 0.002 y 0.004, así como su ajuste para los estados límite de servicio y colapso. Los estados límite usados en este trabajo son: a) estado límite de servicio que se determina cuando aparece la primera fluencia en una rotula plástica en cualquier extremo de algún elemento estructural y b) estado límite cercano al colapso definido como un instante previo a la falla incipiente.

Figura 9 CPS asociados a los casos de estudio 

Tasas de falla

Se estiman tasas de falla asociadas a estados límite, servicio y cercano al colapso, considerando el enfoque de tasa de falla, Eυf, propuesto por ^{Cornell et al. (2002)} y el enfoque aquí propuesto E(υIDC). Los comentarios de las NTC-2020 (^{NTC, 2020}) refieren a un espectro elástico para un periodo de retorno de 250 años asociado a un estado límite cercano al colapso, mientras que para el estado límite de servicio se establece un espectro de diseño asociado a un periodo de retorno de 20 años. Con base en lo anterior, se tienen valores de D^ con el enfoque propuesto por ^{Cornell et al. (2002)} de δ0.002=0.0010 y δ0.004=0.0021 para el estado límite de servicio y en el caso del estado límite de cercano al colapso se tienen valores de 0.0026 y 0.0051 asociados a los casos de estudio 0.002 y 0.004. Para el enfoque propuesto, se tienen valores I^DC|δ0.002=0.2086 y I^DC|δ0.004=0.2564 para el estado límite de servicio y valores de I^DC|δ0.002=0.5088 y I^DC|δ0.004=0.6335 para el estado limite cercano al colapso. Las desviaciones estándar relacionadas con las incertidumbres aleatorias para los enfoques antes mencionados se estiman a partir de las expresiones que se muestran en la sección Demanda estructural. Las desviaciones estándar de las incertidumbres epistémicas σUD, σUC y σEHIDC son iguales a 0.15 (FEMA-355F). Los parámetros r y k asociados para los casos de estudio se muestran en la sección anterior. En la Tabla 3 se muestran las tasas de falla.

En la Tabla 3 se muestran diferencias de 13.3 % en el estado límite de servicio para ambos casos de estudio. En caso del estado límite cercano al colapso, Eυf es mayor en 36.4 % y 42.3 % para los casos de estudio 0.002 y 0.004. Con base en los resultados, se hace notar que las tasas de falla obtenidas con enfoque mostrado en este trabajo resultan menores que con el enfoque original, esto es debido a la reducción de incertidumbres epistémicas.

Factor y nivel de confianza

Se estima el factor y nivel de confianza tanto para la formulación original como el aquí propuesto. Los valores que caracterizan a la capacidad, C^, demanda, D^, y I^DC se muestran en la sección anterior. Los parámetros asociados al peligro sísmico se estiman en la sección Curvas de peligro sísmico. En la Tabla 4 se muestra el factor de confianza y nivel de confianza de los casos de estudio 0.002 y 0.004.

La Tabla 4 muestra valores del factor de confianza superiores a 1.5 para el estado límite de servicio en ambos casos de estudio, con una diferencia entre ambas filosofías de 4.9 % y 0.5 % asociadas a un porcentaje de confianza superior a 98.9 %. En el caso del estado límite cercano al colapso, se presentan valores del factor de confianza entre 1.15 y 1.66 con una diferencia entre ambos enfoques de 5.1 % y 8 % para los casos de estudio de 0.002 y 0.004, respectivamente. En el estado límite de cercano al colapso se muestran niveles de confianza superiores a 84.4 %. Se hace notar que para ambos estados límite las demandas no exceden a la capacidad, es decir, factores de confianza mayores a la unidad.

Conclusiones

Se presenta un enfoque para estimar la confiabilidad estructural en términos de dos indicadores mediante expresiones de forma cerrada. Las expresiones cerradas resultan útiles para su aplicación por ingenieros de la práctica debido a su rapidez y simplicidad para estimar la confiabilidad de una estructura ante algún tipo de solicitación. Las expresiones se pueden utilizar para cualquier sistema estructural y solicitación ambiental.

Se obtienen las tasas de falla y factores de confianza asociados a distintos estados límite en un puente continuo de concreto reforzado ubicado en la Ciudad de México mediante el enfoque propuesto por ^{Cornell et al. (2002)} y este estudio. El criterio de aceptación de seguridad estructural en términos del factor de confianza recomendado para el estado límite cercano al colapso por el SAC/FEMA (^{FEMA-350, 2000}) es de λConf≥1.3 asociado a un nivel de confianza mayor o igual a 90 %. Con base en los resultados obtenidos, se recomienda diseñar puentes de concreto reforzados, bajo la tipología estructural mostrada, para a una distorsión de diseño de 0.002. Sin embargo, no se recomienda diseñar estas estructuras para que desarrollen una distorsión de diseño de 0.004 debido a que no cumplen dicha recomendación. Lo anterior hace notar que se puede llevar a cabo un diseño considerando que una estructura de puente pueda desarrollar cierta distorsión preestablecida.

El criterio de estimación de confiabilidad estructural presentado en este trabajo es una herramienta que permite la toma de decisiones asociadas a diseño, reparación, inspección, montos de seguros y cobertura de seguros en estructuras civiles y de ingeniería.