2.1. Estrategias para la generalización de patrones y flexibilidad

Las estrategias son los métodos que conducen a la solución de problemas de cualquier tipo, y en Educación Matemática se definen como “formas de actuación o ejecución de tareas matemáticas […] y suponen cualquier tipo de procedimiento que pueda ejecutarse, teniendo en cuenta las relaciones y los conceptos implicados” (^{Rico, 1997, p. 31}).

^{Stacey (1989)} identificó en estudiantes de 9 a 13 años tres tipos de estrategias en la resolución de problemas de generalización de patrones: 1) aproximación recursiva en la que se utiliza un método de conteo más o menos sofisticado, por ejemplo, dibujando la figura correspondiente al término pedido y contando el número de elementos, utilizando la diferencia, a, entre los términos de la sucesión, que responde al patrón f(n) = f(1)+a+a+...; 2) aproximación funcional, en la que se relacionan dos variables, la posición de la figura y el número de elementos de ésta mediante una expresión matemática en forma de función afín f(n) = an+b (b≠0), donde a es la diferencia entre términos consecutivos y b se mantiene constante en toda la sucesión, y 3) razonamiento proporcional incorrecto usando la relación f(n) = an en lugar de la relación f(n) = an+b (b≠0).

^{García Cruz (1998)}, al ratificar la clasificación de ^{Stacey (1989)}, estableció tres esquemas subyacentes a las estructuras de cálculo: 1) esquema de recuento en el que el alumno cuenta los elementos del término requerido; 2) esquema lineal en el que la respuesta dada por los alumnos corresponde a la estructura simbólica f(n) = an+b (b ( 0), y 3) esquema de proporcionalidad directa en el que el alumno utiliza razonamientos proporcionales erróneos.

En la misma línea, ^{Zapatera y Callejo (2011)} clasificaron las estrategias de la generalización de patrones en: 1) estrategias aditivas que pueden ser de recuento sobre el dibujo, recuento iterativo o recuento recursivo; 2) estrategias funcionales mediante la aplicación de la función afín f(n) = an+b (b ( 0), y 3) estrategias proporcionales mediante la función lineal f(n) = an.

Las investigaciones han constatado que una de las dificultades de los estudiantes en el proceso de generalización es el paso del recuento a la abstracción del patrón. Esta dificultad está asociada con la falta de flexibilidad, entendida como “la habilidad para modificar la resolución de un problema cuando se modifica la demanda de la tarea” (^{Krems, 1995, p. 202}).

De esta manera, ^{Lee (1996)} observó que la fijación de una cierta estrategia y su resistencia a abandonarla es un obstáculo que impide generalizar a algunos estudiantes; ^{Orton & Orton (1994)} centraron esta fijación en los enfoques recursivos que suponen un obstáculo para avanzar hacia la regla general, y ^{English & Warren (1998)} confirmaron que una vez que los estudiantes percibían un patrón de una determinada manera, les costaba abandonar esta percepción inicial.

2.2. Elementos matemáticos y estadios de comprensión de la generalización de patrones

Investigaciones centradas en la manera en la que los estudiantes de Primaria resuelven tareas de generalización de patrones lineales (^{Carraher, Martínez & Schliemann, 2008}; ^{Radford, 2011}; ^{Rivera, 2010}; ^{Warren, 2005}; ^{Zapatera y Callejo, 2013}), han puesto de manifiesto el papel relevante en el desarrollo del proceso de generalización de tres elementos matemáticos: 1) estructuras espacial y numérica; 2) relación funcional, y 3) proceso inverso.

Para continuar una sucesión, los estudiantes necesitan identificar una regularidad que relacione la estructura espacial, basada en la distribución espacial de los elementos de las figuras, y la estructura numérica, basada en el número de elementos que componen cada figura (^{Radford, 2011}; ^{Rivera, 2010}); para identificar un término lejano, o no especificado, los estudiantes deben establecer una relación funcional que asocie la posición de una figura y la cantidad de elementos que la forman (^{Radford, 2011}; ^{Rivera, 2010}; ^{Warren, 2005}), y para identificar la posición de una figura, conocido el número de elementos que la forman, es preciso establecer una relación funcional inversa a la anterior (^{Warren, 2005}).

A partir de estos resultados, ^{Zapatera (2015)} caracterizó tres estadios de comprensión en el desarrollo del proceso de generalización de patrones: estadio 1, si el estudiante es capaz de continuar la sucesión para términos cercanos identificando el patrón de crecimiento cuantitativo, pero no coordina las estructuras numérica y espacial; estadio 2, si el estudiante es capaz de coordinar las estructuras espacial y numérica y de establecer una relación funcional que le permita hallar el número de elementos de cualquier término de la sucesión, y estadio 3, si el estudiante además es capaz de invertir dicha relación en casos específicos (Figura 1).

Figura 1 Estadios del proceso de generalización de patrones. 

2.3. Trayectoria de aprendizaje

Estos estadios, relacionados con los tres elementos matemáticos significativos, establecen una cierta progresión en el desarrollo del proceso de generalización y marcan el punto de partida para una posible trayectoria de aprendizaje.

Las trayectorias de aprendizaje tienen su origen en las trayectorias hipotéticas de aprendizaje que ^{Simon (1995)} introdujo como parte de su modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas. Las trayectorias hipotéticas de aprendizaje que realiza el profesor en su planificación de tareas “consisten en los objetivos para el aprendizaje de los estudiantes, las tareas matemáticas que se usarán para promover el aprendizaje de los estudiantes y las hipótesis acerca del proceso de aprendizaje de los estudiantes” (^{Simon & Tzur, 2004, p. 93}) (Figura 2) y constituyen “un marco para pensar sobre cómo las tareas pueden fomentar el proceso de aprendizaje” (^{Simon & Tzur, 2004, p. 101}).

Figura 2 Ciclo de la enseñanza de las matemáticas. (^{Simon, 1995, p. 136}) 

El constructo teórico trayectoria de aprendizaje puede entenderse como un camino hipotético por el que los estudiantes progresan en el aprendizaje de un tópico matemático (^{Clements & Sarama, 2014}), de forma que contienen conjeturas sobre el orden y el carácter del crecimiento de la comprensión matemática de los estudiantes y sobre las tareas que impulsen la transición hacia el objetivo programado.

^{Clements & Sarama (2004)} hacen hincapié en tres elementos de las trayectorias de aprendizaje como herramientas de investigación: 1) un objetivo matemático; 2) un modelo de cognición que llaman progresiones del desarrollo, y 3) tareas de instrucción en las que los estudiantes progresan a través de los niveles de desarrollo. ^{Battista (2004)} conceptualiza las progresiones del desarrollo utilizando el concepto de niveles de sofisticación, que son estratos mediante los cuales los estudiantes progresan en su razonamiento al pasar por diferentes estadios cognitivos que culminan en conceptos matemáticos formales. Investigadores como ^{Steffe (2004)} y ^{Gravemeijer (2004)} consideran “la construcción de trayectorias de aprendizaje como un trabajo del investigador, cuyos resultados pueden apoyar el trabajo del profesor” (^{Gómez y Lupiáñez, 2006, p. 82}), es decir, la información teórica generada en las trayectorias de aprendizaje puede proporcionar “un marco conceptual que los profesores pueden utilizar para construir trayectorias de aprendizaje hipotéticas que se ajusten a sus propios contextos de aula” (^{Clements & Sarama, 2004, p. 1}).

Las trayectorias de aprendizaje permiten diagnosticar la comprensión de los estudiantes y describir el progreso en términos de crecimiento a través de niveles, proporcionan un feedback para los maestros y mejoran la enseñanza y el aprendizaje de los estudiantes mediante la adaptación de la instrucción a lo que el estudiante necesita con el fin de progresar hacia el objetivo del aprendizaje. Investigaciones sobre la generalización de patrones han identificado la importancia de la idoneidad de las estrategias a utilizar y de la flexibilidad en el uso de las estrategias que permite pasar de la generalización cercana a la generalización lejana y a la expresión de la regla general. Sin embargo, estos trabajos aportan poca información acerca de la secuencia de estrategias que utilizan los alumnos a lo largo del proceso de resolución o de cómo varía esta secuencia en estudiantes de diferentes edades (^{Callejo y Zapatera, 2014}). Esta información es importante para identificar los obstáculos de los estudiantes en el proceso de generalización y para favorecer los cambios cognitivos que permitan identificar el patrón general a partir del recuento de casos particulares.

3.1. Participantes y contexto

En este estudio participaron 106 estudiantes de 3º a 6º de Educación Primaria (de 8 a 12 años) del CEIP “Poble Nou” de Villajoyosa (Alicante) que no habían recibido ninguna preparación específica en la resolución de problemas de generalización de patrones.

3.2. Instrumento de recogida de datos

El enunciado del problema de generalización lineal utilizado (Figura 3) proporciona los primeros términos de una progresión aritmética que relaciona mesas y sillas, en el que se pide realizar la generalización en los dos sentidos, directo e inverso. Este problema es una adaptación y una ampliación del propuesto por ^{Carraher et al. (2008)} en el que los estudiantes debían completar una tabla con el número de mesas y sillas.

Figura 3 Problema de generalización de patrones. 

Con las cinco primeras cuestiones se estudiará el proceso directo de la generalización lineal: con las dos primeras la generalización cercana; con la tercera la generalización lejana, y con las dos siguientes la expresión de la regla general verbal y simbólicamente. Con las cuatro últimas cuestiones se estudiará el proceso inverso: con la sexta cuestión la generalización cercana; con la séptima la generalización lejana, y con las dos últimas la expresión de la regla.

El objetivo del problema propuesto es analizar el proceso de generalización de patrones en estudiantes de Educación Primaria, y con las cuestiones se pretende establecer la progresión de los estudiantes mediante niveles de desarrollo de la trayectoria de aprendizaje.

3.3 Análisis de datos

Las respuestas se analizaron con base en dos criterios: 1) corrección de las respuestas, y 2) estrategias de resolución. Las respuestas se consideraron correctas si tanto el procedimiento como la solución eran correctos, aunque el procedimiento no fuese el más eficiente; en cualquier otro caso se consideraron incorrectas. Las estrategias empleadas se han clasificado siguiendo las aportaciones de ^{Zapatera y Callejo (2011)} (Figura 4).

Figura 4 Estrategias de resolución de Problema de generalización de patrones. 

En el apartado directo se recogen las respuestas que los estudiantes escriben de forma directa sin mostrar evidencias de ningún tipo de estrategia.

En las estrategias aditivas (EA) el alumno observa el patrón de crecimiento, las dos sillas que aumentan por cada mesa, y realiza el recuento dibujando la figura y contando los elementos (RD), partiendo de la primera figura y sumando el patrón de crecimiento de forma iterada hasta el término requerido (RI) o partiendo de una figura cualquiera y sumando el patrón de crecimiento de forma iterada hasta el término requerido (RR).

En las estrategias funcionales (EF) el alumno relaciona las dos variables, la posición de la figura y el número de elementos de ésta mediante una función afín f(n) = a·n + b (b≠0), donde a es el patrón de crecimiento, las dos sillas que aumentan por cada mesa, y b es el término independiente, las dos sillas de los extremos, que se mantiene constante. Pueden ser estrategias de función local (FL) si la relación se aplica a una determinada figura, y estrategias de función global (FG) si la relación se aplica a una figura cualquiera.

En las estrategias proporcionales (EP) el alumno halla, erróneamente, el número de elementos mediante razonamientos proporcionales con multiplicaciones o reglas de tres con base en una función lineal f(n) = an, donde no se considera el término independiente que se mantiene constante.

Como otras se consideran las respuestas que usan estrategias, acertadas o erróneas, distintas a las anteriores, o respuestas sin sentido aparente.

A partir del nivel de éxito de cada una de las cuestiones se podrá observar la progresión de los estudiantes en el proceso de generalización, lo que permitirá establecer niveles de una posible trayectoria de aprendizaje y caracterizar los descriptores de cada nivel.

4.1. Nivel de éxito

En la Tabla I se muestran las respuestas correctas de los alumnos de cada curso a cada una de las cuestiones planteadas.

En el proceso directo los estudiantes consiguieron un mayor éxito en las cuestiones 1 y 2, las cuestiones de generalización cercana: de los 106 estudiantes, 100 continuaron con éxito la secuencia de figuras y 97 calcularon el número de sillas de 8 mesas; el éxito de la cuestión 3 de la generalización lejana, que pedía calcular el número de sillas de 100 mesas, fue ligeramente superior al de la cuestión 4 que pedía expresar de forma verbal la regla general, 45 sobre 40, y la cuestión que presentó mayor dificultad para los estudiantes fue la cuestión 5 en la que debían expresar la regla general de forma algebraica haciendo uso de la indeterminada, que sólo fue contestada correctamente por cuatro alumnos de 6º.

Los resultados de las cuestiones del proceso inverso fueron significativamente inferiores a las del proceso directo, pero mantuvieron una línea semejante: 79 estudiantes realizaron correctamente la generalización cercana de la cuestión 6, en la que debían calcular el número de mesas que correspondían a 12 sillas; 22 la cuestión 7 de la generalización lejana en la que debían calcular las mesas correspondientes a 100 sillas; 18 estudiantes expresaron la regla general de forma verbal en la cuestión 8, y sólo dos expresaron la regla de forma algebraica en la cuestión 9.

El análisis empírico de estos resultados nos muestra las primeras evidencias para la elaboración posterior de la trayectoria de aprendizaje: 1) la expresión de la regla general requiere un mayor nivel cognitivo que la generalización lejana y ésta, a su vez, requiere un mayor nivel que la generalización cercana, y 2) el proceso inverso requiere también un mayor nivel cognitivo que el proceso directo.

El nivel de éxito, relacionado con el desarrollo cognitivo y biológico de los estudiantes, aumentó progresivamente según los cursos: los porcentajes de respuestas correctas de 3º y 4º han sido, respectivamente, 27 y 35%, mientras que los de 5º y 6º han sido bastantes superiores, 52 y 56%.

4.2. Estrategias

En la Tabla II aparecen los resultados obtenidos en las cuestiones de generalización cercana, generalización lejana y regla general en los dos procesos, directo e inverso, clasificados por estrategias y con el número de respuestas correctas entre paréntesis. Las columnas O y B se refieren respectivamente a “otras estrategias” y a “respuestas en blanco”.

En el proceso directo los estudiantes han utilizado mayoritariamente en la generalización cercana estrategias aditivas, especialmente el recuento sobre el dibujo; en la generalización lejana han utilizado estrategias funcionales locales o, erróneamente, estrategias proporcionales, y para expresar la regla general han utilizado estrategias funcionales, globales si expresaban la regla para cualquier término y locales si lo hacían apoyándose en términos determinados, y también han utilizado erróneamente estrategias proporcionales.

En el proceso inverso los estudiantes han resuelto la generalización cercana de forma directa fijándose en resultados de cuestiones anteriores y mediante estrategias aditivas, especialmente el recuento sobre el dibujo; en la generalización lejana han utilizado estrategias funcionales locales o estrategias proporcionales que les han conducido a error; para la regla general han utilizado estrategias funcionales, globales o locales, y en muchos casos estrategias proporcionales erróneas.

Las estrategias con mayor éxito en el proceso directo han sido las aditivas en la generalización cercana, las funcionales locales en la generalización lejana y las funcionales globales en la expresión de la regla general; mientras que en el proceso inverso las estrategias más exitosas han sido semejantes: en la generalización cercana, junto con las estrategias aditivas, se incluye también el método directo al apoyarse algunos estudiantes en los resultados obtenidos en las cuestiones anteriores, en la generalización lejana las estrategias con más éxito han sido las funcionales locales y en la regla general las funcionales globales.

4.3. Trayectoria de aprendizaje de la generalización lineal

Para establecer los niveles de la trayectoria de aprendizaje se ha analizado por separado el éxito de las cuestiones relacionadas con los procesos directo e inverso de la generalización lineal de patrones, en el que se observa una progresión constante y lineal en cada uno de los procesos. Posteriormente se han analizado las cuestiones de los dos procesos de forma conjunta, intercalando las cuestiones de ambos procesos según el nivel de éxito, y se ha observado también una progresión lineal en casi todos los estudiantes. El orden de las cuestiones nos ha permitido establecer una serie de niveles de una trayectoria de aprendizaje y definir sus descriptores en función de las cuestiones resueltas correctamente.

En el proceso directo, 21 de los 24 alumnos de 3º de Primaria fueron capaces de continuar una sucesión y 19 de realizar la generalización cercana, pero sólo dos fueron capaces de realizar la generalización lejana y de describir una regla general que relacionara el término de la figura con la cantidad de elementos. Los resultados de las dos primeras cuestiones de los alumnos de 4º fueron semejantes a los de 3º, 25 de 28 alumnos fueron capaces de continuar la serie, y 24 de realizar la generalización cercana, pero aumentaron de forma considerable en las cuestiones 3 y 4, 9 realizaron correctamente la generalización lejana, y 7 expresaron verbalmente la regla general (Figura 5).

Figura 5 Evolución por cursos del proceso directo de la generalización lineal. 

Los resultados de los alumnos de 5º y 6º fueron mejores en todas las cuestiones: todos fueron capaces de continuar la secuencia y generalizar para términos pequeños, 18 de 28 alumnos de 5º y 16 de 26 de 6º realizaron correctamente la generalización lejana, y 16 de 5º y 15 de 6º expresaron verbalmente la regla general; sin embargo, sólo cuatro alumnos de 6º fueron capaces de expresar algebraicamente la regla general utilizando la indeterminada.

Hemos observado que la progresión a lo largo de las cinco cuestiones ha sido constante y lineal, de forma que todos los estudiantes que han resuelto correctamente una determinada cuestión habían resuelto también correctamente las cuestiones previas.

De los 24 alumnos de 3º, 13 fueron capaces de invertir el proceso para términos pequeños y sólo uno fue capaz de invertir el proceso para términos grandes y de escribir la regla general: estos resultados aumentan ligeramente en los alumnos de 4º, de los que 17 realizaron la generalización cercana, tres la generalización lejana y dos expresaron verbalmente la regla general (Figura 6).

Figura 6 Evolución por cursos del proceso inverso de la generalización lineal. 

El número de alumnos de 5º y de 6º capaces de invertir el proceso fue muy superior: 26 alumnos de 5º y 23 de 6º invirtieron el proceso para términos pequeños, ocho de 5º y diez de 6º invirtieron el proceso para términos grandes, y seis de 5º y nueve de 6º expresaron verbalmente la regla general del proceso inverso. Sólo dos alumnos de 6º expresaron algebraicamente la regla general del proceso inverso.

La progresión en el proceso inverso, al igual que en el directo, a lo largo de los cuatro cursos y de las cuatro cuestiones, también ha sido constante y lineal.

Al unificar los resultados de los dos procesos, se observa que todos los alumnos, excepto uno de 5º, siguen también una progresión lineal según la secuencia de cuestiones de la Figura 7. En la parte superior de esta figura se muestran los alumnos que superan cada una de las nueve cuestiones ordenadas según la progresión y en la parte inferior los alumnos que no superan cada una de las cuestiones.

Figura 7 Evolución por cursos del proceso de la generalización lineal, directo e inverso. 

El alumno de 5º curso que no sigue la progresión lineal resolvió la cuestión 3, generalización lejana del proceso directo, y no expresó en la cuestión 4 la regla utilizada, sin embargo, sí invirtió el proceso para términos lejanos en la cuestión 7.

Esta secuenciación de tareas nos ha permitido establecer 10 niveles de desarrollo en una trayectoria de aprendizaje: el nivel 0 estaría formado por los estudiantes que no siguen la secuencia y los nueve niveles siguientes se caracterizarían por los saltos cognitivos que permiten adquirir ese determinado nivel y que se arrastran progresivamente a los niveles posteriores.

A partir de estos resultados hemos clasificado a todos los estudiantes, excepto al alumno de 5º que no sigue la progresión, en los diez niveles (Tabla III).

Los resultados obtenidos permiten organizar los cursos analizados en dos ciclos diferenciados: más de la mitad de los alumnos de 3º y 4º estarían en el nivel 3 o superior, mientras que más de la mitad de los alumnos de 5º y 6º estarían en el nivel 5 o superior. Además, las medias ponderadas para cada uno de los cuatro cursos marcan también esta diferenciación: las medias de 3º y 4º están próximas entre sí, 2’46 y 3’18, y separadas de las de 5º y 6º, 4’63 y 5’04. Estos datos confirman la progresión a lo largo de los cuatro cursos, marcando un salto notable en el paso de 4º a 5º.

Los seis estudiantes del nivel 0 no fueron capaces de continuar la secuencia dibujando cuatro mesas, ya que no respetaron las estructuras espacial o numérica al dibujar las mesas separadas o al dibujar más sillas de las que se le pedía. Un ejemplo de estudiante de este nivel es Sara, de 4º curso (Figura 8).

Figura 8 Respuestas de Sara, 4º curso, del nivel 0 a la cuestión 1. 

Sara no respetó la estructura espacial a la hora de continuar la secuencia y dibujó las cuatro mesas separadas. Este error provocó que contestara erróneamente el resto de las cuestiones aplicando estrategias proporcionales y considerar que todas las mesas tenían cuatro sillas.

Los tres estudiantes del nivel 1 continuaron la secuencia pero después usaron estrategias proporcionales erróneas para hallar el número de sillas de ocho mesas: uno no tuvo en cuenta las dos sillas de los extremos y multiplicó 8·2 = 16, y los otros dos argumentaron que si en cuatro mesas hay diez sillas, en ocho mesas habrá 20 sillas, entre ellos Luz, de 3º curso (Figura 9).

Figura 9 Respuestas de Luz, de 3º curso, del nivel 1 a las cuestiones 1 y 2. 

Luz realizó un recuento sobre el dibujo en la primera cuestión, pero en la segunda no captó las dos sillas de los extremos y utilizó una estrategia proporcional multiplicando 10 por 2.

Los 16 estudiantes del nivel 2 realizaron correctamente la generalización cercana para ocho mesas, la mayoría mediante un recuento sobre el dibujo; sin embargo, no fueron capaces de invertir el proceso para hallar el número de mesas que se necesitan para invitar a 12 niños y utilizaron mayoritariamente estrategias proporcionales. Es importante señalar que la mitad de estos estudiantes fueron conscientes, como Kevin, de 5º curso (Figura 10), de que esta cuestión tiene “algo” distinto de las cuestiones anteriores y dividieron en lugar de multiplicar.

Figura 10 Respuestas de Kevin, de 5º curso y del nivel 2, a las cuestiones 2 y 6 

Kevin realizó correctamente el recuento sobre el dibujo en la segunda cuestión, pero en la cuestión 6 no supo invertir el proceso y utilizó una estrategia proporcional, aunque captó “algo” distinto y, en lugar de multiplicar, dividió 100 entre 2.

Los 36 estudiantes del nivel 3 invirtieron el proceso y hallaron las mesas necesarias para 12 sillas, casi la mitad de forma directa apoyándose en las respuestas de las cuestiones anteriores y el resto mediante estrategias aditivas, especialmente en el recuento sobre el dibujo. Sin embargo, no fueron capaces de coordinar las estructuras espacial y numérica para calcular el número de sillas para 100 mesas y utilizaron, casi todos, estrategias proporcionales erróneas, como María, de 6º curso (Figura 11).

Figura 11 Respuestas de María, de 6º curso y nivel 3. 

María utilizó el recuento sobre el dibujo en la cuestión 6 en la que le pedían el número de mesas necesarias para invitar a 12 niños, pero no fue capaz de realizar la generalización lejana y multiplicó las 100 mesas por 4.

Los cuatro estudiantes del nivel 4 coordinaron las estructuras espacial y numérica para realizar la generalización lejana y hallar el número de sillas correspondientes a 100 mesas, tres mediante la función afín f(100) = 2·100 + 2 y el otro mediante 𝑓(100) = 98·2 + 2·3. Sin embargo, no fueron capaces de expresar verbalmente esta relación funcional utilizando estrategias proporcionales, como Iván de 6º (Figura 12) o escribiendo explicaciones sin sentido.

Figura 12 Respuestas de Iván, 6º curso, del nivel 4. 

Iván estableció una relación funcional para realizar la generalización lejana, pero no fue capaz de explicarla al olvidar sumar las dos sillas de los extremos.

Los 19 estudiantes del nivel 5 expresaron verbalmente la regla general que relaciona el número de mesas y de sillas: diez utilizaron una función local al basar su explicación en un número determinado de mesas y nueve utilizaron una función global al explicar la regla general para un número cualquiera. Sin embargo, no fueron capaces de invertir el proceso para términos lejanos y utilizaron estrategias funcionales incompletas o estrategias proporcionales erróneas, como Lucía de 5º curso (Figura 13).

Figura 13 Respuestas de Lucía, de 4º curso y nivel 5. 

Lucía expresó la regla general mediante una relación funcional global, pero no fue capaz de invertir el proceso para hallar las mesas necesarias para 100 niños y se limitó a dividir entre 2.

Los tres estudiantes del nivel 6 invirtieron el proceso para hallar las mesas correspondientes a 100 sillas utilizando una función local; sin embargo, no fueron capaces de expresar verbalmente la relación funcional inversa que relaciona las sillas con las mesas; Carla, de 6º curso (Figura 14), pertenece a este nivel.

Figura 14 Respuestas de Carla, de 6º curso y nivel 6. 

Carla invirtió el proceso para términos lejanos realizando un tanteo y comprobando después su validez, pero expresó de forma incompleta la regla general al no concretar el número de sillas de las mesas del principio y del final. La función local que utilizó para realizar la generalización lejana del proceso inverso se basa en que las mesas centrales tienen dos sillas y las de los dos extremos tienen tres sillas.

Los 14 estudiantes del nivel 7 expresaron verbalmente la regla general del proceso inverso, 11 mediante una función global que sirve para cualquier término y tres mediante una función local al basar su explicación en 100 sillas. Estos estudiantes, como César, de 3º curso (Figura 15), no fueron capaces de utilizar la indeterminada “m mesas” para explicar algebraicamente la regla general en el proceso directo.

Figura 15 Respuestas de César, de 3º curso y nivel 7. 

César fue el alumno de 3º curso que llegó a un nivel más alto sorprendiendo a los investigadores por sus respuestas: en la cuestión 1 siguió la secuencia e hizo el dibujo como se le pedía, pero después realizó todas las demás cuestiones mediante estrategias funcionales, incluso expresó la regla general del proceso inverso con “la mitad menos 1”, aunque no fue capaz de expresar algebraicamente las reglas y escribió “m niños” en la cuestión 5 y “n sillas” en la cuestión 9. Además, en la cuestión 5, utiliza la indeterminada m en lugar de n.

Los dos estudiantes del nivel 8 son de 6º curso y aunque utilizaron la indeterminada “m mesas” para escribir algebraicamente la regla general del proceso directo, 2m+2, no fueron capaces de utilizar la indeterminada “n sillas” para expresar la regla general del proceso inverso, escribiendo uno de ellos 2n+2 y la otra, Natalia, una expresión en la que no aparecía la indeterminada n (Figura 16).

Figura 16 Respuestas de Natalia, de 6º curso, del nivel 8. 

Natalia escribió algebraicamente la regla del proceso directo, utilizando la indeterminada m y comprobando su validez para dos mesas; sin embargo, no fue capaz de expresar algebraicamente la regla general en el proceso inverso, limitándose a hallar el número de mesas necesarias para invitar a 20 niños.

Sólo dos alumnos de 6º, uno de ellos Jaime (Figura 17), alcanzaron el nivel 9, al realizar correctamente todas las cuestiones.

Figura 17 Respuestas de Jaime, de 6º curso, del nivel 8. 

Jaime, además de escribir algebraicamente las dos reglas generales, haciendo un uso muy correcto de los paréntesis en la regla general del proceso inverso, explicó ambas reglas con total precisión a pesar de no haberse iniciado en clase el estudio de la sintaxis algebraica. Este hecho puede deberse, en opinión del profesor-tutor, a la alta capacidad del alumno y a la implicación familiar.

En la figura 18 se recogen los descriptores de los niveles de la trayectoria de aprendizaje de la generalización de patrones; estos descriptores son acumulativos, de forma que un determinado nivel también incluye los descriptores de los niveles que le preceden; entre paréntesis se muestra la dificultad que impide a los estudiantes de un determinado nivel avanzar al nivel siguiente.

Figura 18 Descriptores de los niveles de la trayectoria. 

De los 105 estudiantes clasificados en niveles, 40 están en el nivel 5 o superior, es decir, consiguieron completar las tres fases del proceso directo de la generalización de patrones: 1) para realizar la generalización cercana, 32 hicieron un recuento sobre el dibujo y ocho utilizaron una función local; 2) para la generalización lejana, 39 utilizaron la función local y uno contestó de forma directa, y 3) para expresar la regla general, 24 utilizaron una función global, 15 una función local y uno utilizó recuento iterativo. Además, la secuencia de estrategias que más éxito obtuvo en las tres fases del proceso directo fue “recuento sobre dibujo -función local- función global” que fue seguida por 19 estudiantes de los 40 que completaron las tres fases de la generalización de patrones.

Por otra parte, 18 estudiantes están en el nivel 7 o superior, es decir, completaron las tres fases del proceso inverso de la generalización: 1) 12 utilizaron la función local para realizar la generalización cercana, tres realizaron un recuento sobre el dibujo y otros tres contestaron de forma directa; 2) todos utilizaron la función local para conseguir la generalización lejana, y 3) 14 expresaron la regla general de forma verbal mediante una función global y cuatro mediante una función local. La secuencia más exitosa en el proceso inverso ha sido “función local -función local- función global”, que fue seguida por 10 estudiantes de los 18 que completaron las tres fases del proceso inverso.

De esta forma, los estudiantes que más éxito obtuvieron en el problema de generalización de patrones fueron los que se apoyaron en un dibujo para captar el patrón de crecimiento de la sucesión y después tuvieron la flexibilidad necesaria para cambiar a estrategias funcionales, primero local para un determinado término de la secuencia, y después global para cualquier término de la secuencia.

5.1. Nivel de éxito alcanzado

Casi 90% de los alumnos de 3º de Educación Primaria siguió la secuencia dibujando la figura y realizando correctamente el recuento de sillas, 80% realizó la generalización cercana y sobre 10% realizó la generalización lejana y expresó verbalmente la regla general; estos resultados confirman la observación en la que ^{Radford (2011)} sostenía que estudiantes de Primaria son capaces de coordinar las dos estructuras a partir de 2º grado.

La tercera parte de los alumnos de 4º han sido capaces de realizar correctamente la generalización lejana y una cuarta parte incluso ha expresado verbalmente una regla general; estos resultados también confirman la idea de ^{Warren (2005)} de que los estudiantes son capaces de establecer una relación funcional entre la posición de la figura y el número de elementos que la componen a partir de 4º grado.

Hemos comprobado también que, tal y como afirma ^{Zapatera (2015)}, a la mayoría de los estudiantes de Primaria les resulta difícil revertir el pensamiento para, dado el número de elementos de una figura, identificar su posición: los resultados obtenidos en el proceso inverso son inferiores a los obtenidos en el proceso directo, de tal forma que en la generalización cercana se ha pasado de más de 90% de éxito en el proceso directo a menos de 75% en el proceso inverso, y en la generalización lejana y en la expresión de la regla general se ha pasado de un éxito en torno a 40% y 20%. Sin embargo, muchos de los estudiantes que no son capaces de invertir el proceso, sí observan que en las cuestiones del proceso inverso se pide “algo” distinto y realizan divisiones en lugar de multiplicaciones.

Los estudiantes de Primaria encuentran un nivel de dificultad muy alto en las cuestiones en las que tienen que expresar la regla general de forma algebraica mediante la utilización de indeterminadas. Aunque esta dificultad para utilizar las letras como variables ha sido atribuida frecuentemente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los estudiantes (^{Schliemann, Carraher, Brizuela, Earnest, Goodrow, Lara-Roth & Peled, 2003}), pensamos que la causa está relacionada con el tipo de enseñanza recibida (^{Carpenter et al., 2003}; ^{Kaput, 2000}), ya que el currículo de matemáticas no contempla de forma explícita el álgebra, al considerarla fuera del alcance de las capacidades cognitivas de los estudiantes de Educación Primaria. Consideramos, al igual que otros estudios empíricos en línea con la early algebra, que los estudiantes de Primaria pueden aprender y comprender conceptos algebraicos elementales y utilizar modos y expresiones de pensamiento algebraicos y valoramos positivamente que vaya “en aumento el número de educadores matemáticos e investigadores que consideran que el álgebra debe ser parte del currículo propio de la Educación Primaria” (^{Molina, 2009, p. 139}).

5.2. Utilización de estrategias y flexibilidad en su uso

Las estrategias aditivas son casi exclusivas en las cuestiones de generalización cercana, mientras que las estrategias funcionales, locales y globales, son mayoritarias, respectivamente, en las de generalización lejana y regla general.

Los estudiantes que realizaron las cuestiones de generalización cercana con estrategias aditivas y después tuvieron la suficiente flexibilidad para cambiar a estrategias funcionales para realizar la generalización lejana y expresar la regla general fueron los que alcanzaron un mayor nivel de éxito, siendo la secuencia “estrategia aditiva sobre dibujo-estrategia funcional local-estrategia funcional global” la secuencia más exitosa. Estas observaciones confirman la idea de ^{Zapatera y Callejo (2011)} de que “las estrategias más utilizadas han sido las aditivas y las más eficaces las funcionales […] los alumnos con mayor nivel de éxito presentaron una mayor flexibilidad en la utilización de las estrategias” (p. 599).

Hemos constatado que muchos estudiantes intentaron responder utilizando erróneamente el razonamiento proporcional, especialmente en la generalización lejana y en la regla general, confirmando así los resultados de ^{García Cruz (1998)} sobre “el uso amplio de métodos inapropiados como la proporcionalidad directa” (p. 3). Este abuso de estrategias proporcionales en tareas de no proporcionalidad ha sido puesto de manifiesto en diversas investigaciones (^{De Bock, van Dooren, Janssens & Verschaffel, 2002}), por lo que se hace necesario proponer a los estudiantes tareas en las que deban distinguir situaciones de proporcionalidad de las que no lo son.

Resulta significativo que ningún estudiante haya utilizado el método deconstructivo en el que interviene la sustracción, para resolver las tareas planteadas en el problema. A los alumnos les resulta más fácil sumar elementos en cada término que restar los elementos comunes, coincidiendo con ^{Rivera y Becker (2008)} que afirman que “el método deconstructivo es el más difícil de alcanzar” (p. 81).

5.3. Trayectoria de aprendizaje de la generalización de patrones

En los dos procesos de la generalización de patrones, directo e inverso, existe una progresión en las cuestiones planteadas que pone de manifiesto los niveles de dificultad y de conocimiento que requieren. De esta forma los niveles de dificultad y de conocimiento son menores en las cuestiones de generalización cercana, y aumentan en la generalización lejana y en la expresión verbal de la regla general alcanzando niveles muy altos en la expresión algebraica de la regla.

Al analizar de forma conjunta los resultados de los dos procesos observamos que la progresión era lineal, por lo que pudimos establecer una trayectoria de aprendizaje con diez niveles que marca la progresión de los estudiantes y que puede ayudar a los maestros a evaluar la evolución del pensamiento algebraico de sus estudiantes en el contexto de la generalización de patrones.

La trayectoria de aprendizaje se inicia en el nivel 0 con los estudiantes que no son capaces de continuar la sucesión al no respetar las estructuras espacial y numérica y acaba en el nivel 9 con los estudiantes que son capaces de expresar algebraicamente la regla general del proceso inverso. Para determinar estos niveles en la trayectoria de aprendizaje fijamos los descriptores del conocimiento de la generalización de patrones que deben poseer los estudiantes de cada nivel y precisamos también los saltos cognitivos que deben superar para realizar la transición al nivel superior (Figura 18).

Por otra parte, la categorización en niveles nos ha permitido estudiar la evolución de los estudiantes por cursos, observando la existencia de un progreso continuo entre los cursos. Este progreso alcanza su máximo entre 4º y 5º, lo que marca la existencia de dos ciclos: un primer ciclo formado por los alumnos de 3º y 4º que se sitúan en torno al nivel 3 y un segundo ciclo formado por los alumnos de 5º y 6º que se sitúan en torno al nivel 5.

5.4. Implicaciones para la enseñanza de las matemáticas

Deseamos que esta investigación contribuya a que los maestros reconozcan y valoren la importancia de la generalización de patrones en la construcción del conocimiento matemático y que les sirva como un recurso para introducir y desarrollar el pensamiento algebraico en sus alumnos y para valorar su progresión mediante la trayectoria de aprendizaje descrita.

Animamos a los maestros a plantear desde los primeros años de escolarización tareas de generalización que incluyan la exploración de patrones para que sus alumnos sean capaces de descubrir, extender y analizar las leyes que gobiernan las relaciones y expresarlas de forma verbal y simbólica e introducir así el pensamiento algebraico tal y como propone la early algebra.