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PRESENTACIÓN
La geometría analítica vincula el álgebra y la geometría, al asociar n-uplas de números con puntos y ecuaciones con figuras, y al aplicar los métodos del álgebra y del cálculo a la geometría elemental. La base del estudio de la geometría analítica es la definición de un sistema de referencia, llamado también sistema de coordenadas. Esta rama de las matemáticas tiene múltiples aplicaciones en diversas áreas del desarrollo de la humanidad (topografía, física, biomatemática, astronomía, ingeniería, arquitectura, arqueología, cartografía, sociología, geografía, marketing, economía, logística, etc.) y está presente en la formación básica de profesionales de diversos campos. Por tal razón, es una rama de las matemáticas que debe hacer parte de los currículos de la formación de profesores.
La asignatura anual Geometría I, de primer año de la carrera Profesorado en Matemática (PM) de la Universidad Nacional de Rosario (Argentina), está constituida por dos partes: geometría sintética (Figura 1a) y geometría analítica (Figura 1b), desarrolladas en el primer y segundo semestre respectivamente. En este artículo se entiende por “geometría analítica elemental” a la conformada por los bloques temáticos señalados en la Figura 1b.
Figura 1. Bloques temáticos de la asignatura Geometría I del PM sobre: a) Geometríasintética; b) Geometría analítica
En el programa de Geometría I 3, se alude a esta segunda parte de la materia como el momento en que se introducen conceptos algebraicos que permiten resolver algunos de los problemas que se presentan en la primera parte, con estrategias diferentes, además de tratarse temas nuevos. Se presenta la primera vinculación entre dos ramas de las matemáticas (álgebra y geometría) en la carrera, y es la oportunidad ideal para que los alumnos se introduzcan en el trabajo interdisciplinario, logren interpretar un mismo concepto desde dos puntos de vista diferentes, valoren qué estrategia es la más conveniente para resolver un determinado problema.
En el plan de estudios de la carrera de referencia, la geometría analítica actúa como soporte conceptual y de lenguaje para diversos bloques temáticos a tratar a posteriori, tales como cálculo en una y varias variables, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, modelización matemática, para el desarrollo de otras geometrías. Además, si se considera el espectro laboral de los egresados de la carrera (nivel secundario, tanto bachiller como técnico, y nivel superior, tanto en ciencias exactas como aplicadas), sin duda la geometría analítica elemental está presente. Por otro lado, lo que se aprende en el primer año de la carrera como profesor de matemáticas ineludiblemente sienta las bases sobre las cuales se edifica el conocimiento matemático puesto al servicio de la enseñanza.
Al consultar estudios de otros investigadores referidos a la didáctica de la geometría analítica, resulta evidente la preeminencia de aquellos que tratan acerca de problemáticas sobre dificultades cognitivas al aprender geometría analítica, sobre aquellos que se enfocan en su enseñanza en la formación de profesores. Así, por ejemplo, se encuentra el trabajo de Arellano y Oktaç (2009) quienes aluden a una falta de relación entre los registros gráfico y algebraico, al realizar conversiones entre ellos, en el tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales por parte de alumnos que están finalizando la escuela secundaria. En cuanto al registro coloquial en la lengua natural, Dallemole, Oliveira y Moreno (2014) le asocian a su naturaleza plurifuncional una mayor complicación, al efectuar conversiones entre este registro y el algebraico cuando los estudiantes que ingresan a la licenciatura en matemáticas trabajan con recta y circunferencia.
Es así que estos estudios señalan lo difícil que resulta el aprendizaje de la geometría analítica al finalizar la escolaridad secundaria e iniciar estudios superiores. Los investigadores se enfocan en contenidos puntuales en los que hacen notar la complejidad subyacente a las conversiones entre registros de representación (Duval, 1999), aspecto inherente a la propia génesis de la geometría analítica.
Por otro lado, entre los problemas de la enseñanza de la geometría analítica, Alves, Mendoça y Coletti (2010) señalan un nivel prioritariamente técnico en el desarrollo de los temas recta y plano en documentos oficiales y en libros de texto. Adicionalmente, concluyen que en el nivel secundario no se explica la transición del marco geométrico al algebraico, y en el nivel superior se avanza rápidamente hacia el estudio de espacios más abstractos, quedando perdido el eslabón esencial para la comprensión de la geometría analítica. Acerca de los libros de texto para la formación de los matemáticos, Karrer y Navas (2013) consideran que estos están fuertemente orientados al uso de registros monofuncionales discursivos (como el algebraico). Las autoras avanzan hacia una propuesta de enseñanza, que aborda el contenido de superficies esféricas empleando un software de geometría dinámica tridimensional, que potencia la habilidad de visualización para favorecer la comprensión de la conversión entre los registros algebraico y gráfico. Un estudiante que desarrolla esta habilidad, trasciende las fases sintético-geométrica y analítico-aritmética y logra posicionarse en un modo de pensamiento más analítico-estructural. Resultado que concuerda con lo planteado por Bonilla y Parraguez (2013). Por ello, estas últimas insisten en propuestas de enseñanza en las que se promueva dicho modo de pensamiento y lo ejemplifican en particular con el contenido elipse.
Parecería, entonces, que basta mejorar la enseñanza para favorecer la superación de las dificultades estudiantiles en diversos contenidos de geometría analítica elemental. Cómo se cimentan las bases en la formación docente inicial en geometría analítica, es el asunto que le incumbe a este estudio. Y esto debido básicamente a dos razones:
la trascendencia de la geometría analítica como rama de las matemáticas, más allá de un contenido puntual;
la influencia del desempeño de los docentes que le enseñan a los futuros profesores, dada la importancia para la formación, de los modelos de enseñanza vividos (Santaló, 1999).
Ante la discontinuidad entre la geometría sintética de los primeros años de secundaria y la geometría analítica de los últimos4, Gascón (2002) propone conectar en la enseñanza de la geometría en secundaria, las técnicas sintéticas con las analíticas a fin de poner de manifiesto su complementariedad. Son justamente las limitaciones de las técnicas sintéticas las que dan sentido a las técnicas analíticas: de ahí la necesidad de establecer tal continuidad.
En esta dirección, Gascón (2002) sugiere retomar aquellos problemas que habiéndose intentado con técnicas sintéticas quedaron sin resolver y, recíprocamente, proponer problemas cuya resolución resulte más sencilla y natural mediante técnicas sintéticas que analíticas. También, para acentuar aún más la complementariedad, se pueden proponer problemas que para ser resueltos de manera general requieren técnicas analíticas, pero necesitan previamente de técnicas sintéticas para diseñar la estrategia de resolución.
En un trabajo posterior (Gascón, 2003), reconoce que no es tarea fácil tal integración analítico-sintética, dado el “autismo temático” prevaleciente en la escuela secundaria, exhibido en los documentos oficiales, los libros de texto y, sobre todo, en los profesores. De este modo, un espacio propicio de indagación lo constituye la formación inicial de profesores de matemáticas, para estudiar en éste cómo se propicia, por medio de la enseñanza, y desde el aporte disciplinar que se brinda en la asignatura Geometría I del PM (en las clases introductorias), la configuración de un conocimiento matemático para enseñar geometría analítica elemental. Básicamente interesa conocer la formación que se ofrece a los futuros profesores a través del análisis de la activación de los dominios del conocimiento matemático para enseñar (MKT) (Ball, Thames y Phelps, 2008).
Desde que existe esta materia en el currículo (año 2002) se ha impartido de la misma manera: primer cuatrimestre geometría sintética y segundo cuatrimestre geometría analítica, pudiéndose correr el riesgo del “autismo temático” del que habla Gascón (2003), potenciado aún más aquí debido a que se está formando a quienes luego serán los encargados de enseñar (futuros profesores). Profundizar en la manera en que los dominios del MKT emergen en las clases, asociados a qué contenidos vistos y qué acciones desarrolladas por el profesor, es una de las principales motivaciones de este trabajo. Esto posibilitará, en parte y a la luz de los referentes considerados, aproximarnos a conocer la formación que el PM ofrece en geometría analítica elemental.
ENCUADRE TEÓRICO
El tópico conocimiento y habilidades de los profesores es uno de los cinco ejes de relevancia para las investigaciones relativas a la formación de profesores de matemáticas (Sánchez, 2011). Engloba, básicamente, aquello de lo que debe disponer un docente para generar una buena enseñanza. Se reconoce a Shulman (1986) como el precursor de esta línea de investigación sobre la formación del profesor, con una propuesta de categorías para conceptualizar la clase de conocimiento requerido en la enseñanza de cualquier materia.
Ball et al. (2008), de la Universidad de Michigan, avanzan en la línea de investigación de Shulman (1986), orientándola hacia las matemáticas. Según estos autores, la mayoría de la gente está de acuerdo en que conocer matemáticas es importante para su enseñanza. Sin embargo, lo que abarca tal conocimiento y su alcance aún amerita indagación especializada. Por y para ello estos autores proponen un conjunto de seis dominios de MKT que han de disponer los profesores (Tabla 1). Estos dominios, conjugados con fenómenos del dominio geométrico, se constituyen en las categorías de análisis del presente estudio.
Ball y Bass (2003) introducen la necesidad de conceptualizar el conocimiento matemático para enseñar (MKT) a partir de la observación del trabajo de profesores en aulas de matemáticas. Este modelo teórico surge y se nutre de investigaciones empíricas en contextos de aula. Ball et al. (2008) sugieren que un sentido más claro de las categorías de conocimiento requerido para la enseñanza, puede dar información acerca del diseño de materiales de soporte para docentes en ejercicio y docentes en formación. Agregan que los estudios de esta índole ayudan a clarificar un currículum sustancial para la formación de docentes, profesionalmente fundado y atravesado por la práctica profesional. Estas ideas concuerdan con la formación integral a la que se apunta en la Propuesta de Estándares para la Acreditación de las carreras de Profesorado Universitario en Matemática (Consejo Interuniversitario Nacional, 2013)así como con resultados de investigaciones recientes en esta línea, en tanto campo multifacético de estudio (Ponte, 2014) que da importancia a diversos factores que entretejen los conocimientos matemáticos necesarios para la enseñanza (Chapman, 2015). En sintonía con la línea de Ball, en el trabajo que aquí se plantea, se procura caracterizar la formación que se ofrece a futuros profesores, a partir de la observación de la actuación del docente a cargo de una asignatura del nivel superior universitario (carrera de Profesorado en Matemática) en la rama de la geometría analítica (a nivel elemental, de introducción de contenidos básicos).
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
La investigación se abordó mediante un estudio de caso (Stake, 1999), tiene un enfoque eminentemente cualitativo, con algunos aportes cuantitativos, y su alcance es principalmente descriptivo (Hernández, Fernández y Baptista, 2006).Para recolectar la información, se observaron las tres primeras clases de geometría analítica de la asignatura Geometría I del PM. Esta asignatura se desarrolla, según el calendario académico, de marzo a noviembre; las clases observadas transcurrieron del 13 al 21 de agosto.
Se utilizó el análisis del contenido, como técnica de procesamiento de la información, que permite estudiar el contenido manifiesto de la información recabada y clasificar sus diferentes partes, de acuerdo con las categorías de análisis (Cabrera, 2009; Mundina, 2005).
Para conseguir el objetivo propuesto, y considerando los registros de clases en sí mismos como un medio para lograrlo, se recurrió a una segmentación del contenido que se desarrolló en las clases, de acuerdo al esquema propuesto por Coll, Colomina, Onrubia y Rochera (1992) y que se sintetiza en la Figura 2.
En este esquema se consideran como unidades de análisis las sesiones de trabajo, constituidas puntualmente por cada una de las clases que se desarrollan en el marco de una secuencia didáctica asociada a un cierto bloque temático. En un nivel micro, se tienen en cuenta los segmentos de interactividad, que responden a una determinada estructura de participación; pueden agruparse en configuraciones de segmentos de interactividad y se secuencian constituyendo, para cada sesión, un mapa de interactividad. Para profundizar en el proceso de construcción de significados se recurre a una unidad de análisis mucho más fina, de naturaleza esencialmente semiótica: los mensajes que a su vez pueden agruparse en configuraciones de mensajes.
La unidad de análisis de esta investigación está constituida por cada una de las tres sesiones de clase, siendo subunidades las configuraciones de mensajes (ocho, ocho y nueve en cada sesión respectivamente), delimitadas de acuerdo al contenido matemático de referencia. El análisis se efectuó a través del MKT; sus seis dominios (Tabla 1) son las categorías del estudio. Cada categoría está constituida por una cierta cantidad de modalidades de acciones del profesor (entre seis y catorce), identificadas a partir de un proceso gradual de inmersión en los datos.
El proceso de delimitación de las modalidades de acciones del profesor y de articulación de las mismas con las categorías estuvo conformado por cinco fases:
Transcripción fiel de lo acontecido en la clase, en cuanto a manifestaciones explícitas orales del profesor y de los alumnos (actos de habla) así como representaciones escritas en el pizarrón por parte del profesor (aclaraciones entre paréntesis entre los actos de habla).
Familiarización con los datos a partir de una lectura global de las transcripciones realizadas.
Primera identificación de los datos(mensajes) con aspectos particulares de los dominios del MKT (modalidades preliminares).
Perfeccionamiento de las modalidades iniciales, a partir de lo detectado en todas las clases, procurando minimizar la cantidad de las mismas pero resguardando la diversidad de la información que brindan.
Revisión de la asociación modalidad-mensajes para eventualmente mejorar la denominación y pertinencia de las modalidades.
Es así que cada modalidad se asocia con uno o más mensajes (extractos de transcripciones) que, si bien pueden estar expresados con palabras distintas, tienen la misma naturaleza semiótica (referida a lo que intenta representarse a través de la denominación de la modalidad).
La activación de los diferentes dominios del MKT, a través de las modalidades emergentes, sirve en el presente estudio para caracterizar la formación relativa a geometría analítica elemental en el PM.
RESULTADOS: PRIMERA PARTE “LA EMERGENCIA DE LAS MODALIDADES”
A continuación se comparten las modalidades surgidas al analizar las sesiones de clase de geometría analítica elemental. Están agrupadas según los dominios del MKT(Tabla 2 a Tabla 7). Para cada unase consigna la frecuencia de detección y se ejemplifica mediante mensajes que aludieron a esa noción.
En la Tabla 2 se muestran las 13 modalidades relativas al dominio conocimiento común del contenido reconocidas en las tres sesiones de clase de Geometría I. Seis refieren al tratamiento matemático del contenido. Esto se produce en los planos conceptual y procedimental. El profesor insiste en ocasiones en el significado y la dimensión geométrica de referencia. También efectúa apreciaciones sobre la precisión matemática y la notación, para referirse a los objetos matemáticos involucrados. Otras dos modalidades puntualizan acerca de las denominaciones empleadas, tanto al introducir términos matemáticos como al realizar asociaciones entre cierto nombre y la representación gráfica. Las restantes cinco modalidades aluden a los procesos de desarrollo matemático y van desde la ampliación de casos o de contenidos hasta la generalización, deducción e institucionalización.
Table 2 Modalidades emergentes en el dominio “conocimiento común del contenido”
* Indica el número de sesión (de 1 a 3) y el número de acto de habla del profesor (llegando a 71 en la sesión 1, 129 en la sesión 2 y 215 en la sesión 3 de clases).
Las ocho modalidades emergentes para el dominio conocimiento en el horizonte matemático se presentan en la Tabla 3. En dos de ellas se proponen relaciones a través del currículum, más allá de lo que se está desarrollando en ese momento. Tal es el caso cuando el profesor vincula la geometría sintética con la analítica y cuando insinúa vinculaciones matemáticas posteriores. También aparecen apreciaciones del profesor que usualmente expresa quien conoce las matemáticas en un nivel superior al que está enseñando, como por ejemplo advertir sobre el alcance de las caracterizaciones matemáticas y valorar estéticamente ciertas representaciones matemáticas. El encuadre epistemológico se plasmó a través de otras dos modalidades: fundamentación de la importancia del surgimiento de la geometría analítica y mención de la evolución de conceptos en la historia de las matemáticas, haciendo además alusiones a la historia de las matemáticas y las aplicaciones al ubicar en el tiempo ciertos hechos fundamentales y conectar con una situación real.
Tabla 3 Modalidades emergentes en el dominio “conocimiento en el horizonte matemático”
| Modalidades | Frec. | Ejemplos de mensajes |
|---|---|---|
| Insinuación de vinculaciones matemáticas posteriores | 16 | Un versor es un vector de norma, de módulo 1, siempre que diga norma va a ser módulo… norma es un concepto más general. (2-111) |
| Alcance de las caracterizaciones matemáticas | 8 | Esta es la ley del paralelogramo y esto es muy útil, ya lo vamos a ver, para descomponer un vector como suma de otros dos, ¿sí?, pero es menos general que la definición que nosotros vimos de suma porque esta definición no vale para vectores que están alineados, en cambio aquella sí. (3-169) |
| Fundamentación de la importancia del surgimiento de la geometría analítica | 5 | Lo que hizo Descartes, la idea revolucionaria de Descartes fue transformar problemas geométricos de medición en problemas algebraicos, los cuales, uno los puede resolver de manera exacta y saber de manera exacta quién es este punto. (1-54) |
| Conexión con una situación real | 4 | Tengo tres barcos que van navegando en línea recta, a una determinada velocidad constante (…) Entonces a mí me interesa saber, si los barcos siguen navegando en esa dirección, si se van a chocar o no se van a chocar, ¿sí? (1-54) |
| Mención de la evolución de conceptos en la historia de las matemáticas | 2 | Entonces, si es un conjunto de puntos del plano o del espacio, ¿por qué lo llamamos lugar geométrico? (…) Pero ustedes tienen que pensar que cuando esto se empieza a estudiar, no existía la teoría de conjuntos. (1-63) |
| Ubicación en el tiempo de hechos fundamentales de la historia de las matemáticas | 2 | Entonces la geometría analítica se debe a Descartes, que es del año (...) y su método del 1637. (1-49) |
| Valoración estética de las representaciones matemáticas | 1 | Esa es una forma, es más elegante incluso que la que está en el apunte. (2-111) |
| Vinculación geometría sintética-geometría analítica | 1 | Yo voy a hacer un par de dibujos y voy a escribir un par de ecuaciones y ustedes me van a decir qué tienen que ver unos con otros. (1-56) |
Los modos de activación del conocimiento especializado del contenido se resumen en la Tabla 4, con sus 14 modalidades constitutivas. Seis de ellas se concretan a través de gráficos; el profesor hace representaciones, ejemplificaciones y demostraciones por medio de este registro. También insiste, en ocasiones, en el adecuado empleo de los gráficos, promoviendo la interpretación, la precisión así como diversos procedimientos de representación del objeto geométrico. El registro simbólico también está presente en dos modalidades: la escritura matemática propiamente dicha y su vinculación con enunciados coloquiales. Otras cuatro modalidades dan cuenta de aclaraciones que hace el profesor para robustecer matemáticamente lo que se va desarrollando. Así por ejemplo, procede a re-significar el conocimiento, dar sentido a las denominaciones, reformular preguntas de modo de desentrañar la cuestión matemática y, acorde a esto, emplear un lenguaje accesible sin que se pierda la esencia en cuestión. En esta construcción también se ayuda con ejemplos que propone, presentes en las restantes dos modalidades, atendiendo al orden en que se los presenta y a la variedad en la elección de los mismos.
El conocimiento del contenido y de los estudiantes, en este caso de geometría analítica elemental y de futuros profesores respectivamente, comprende nueve modalidades (Tabla 5). En cinco se explicitan previsiones o supuestos acerca de los estudiantes en situación de aprendizaje: sobre sus creencias, sus dificultades, sus errores habituales, qué les puede resultar menos complejo o directamente desprovisto de complejidad. Y, en ese marco, emergen otras dos modalidades en las que el profesor indaga sobre el entendimiento en la clase y realiza ejemplificaciones de acuerdo al nivel de abstracción de los alumnos. También se tienen en cuenta las respuestas de los estudiantes (las restantes dos modalidades), al considerarlas cuando se agrega una justificación por parte del docente o bien cuando el profesor las potencia mediante la justificación solicitada a los alumnos.
Tabla 5 Modalidades emergentes para el dominio “conocimiento del contenido y de los estudiantes”
| Modalidades | Frec. | Ejemplos de mensajes |
|---|---|---|
| Consideración de las respuestas de los estudiantes con justificación dada por el docente | 25 | Tres, porque el espacio tiene tres dimensiones. (2-5) No... “x” e “y” pueden ser cualquiera. (2-50) |
| Indagación sobre entendimiento | 13 | ¿Se entendió esto de cómo dar coordenadas y cómo marcar los puntos en el espacio? (2-15) ¿Quedó claro lo que es que dos vectores sean iguales? (2-111) |
| Ejemplificación según nivel de abstracción de los alumnos | 6 | Como si tuviéramos una cuadrícula, las cuadras son cuadradas, básicamente, la coordenada en “x” me dice cuánto me tengo que mover en la dirección horizontal y la coordenada en “y” me dice cuánto me tengo que mover en la dirección vertical para llegar a ese punto. (2-72) |
| Supuesto sobre menor complejidad | 6 | Bien, vamos a hacer el (-1; 2; 0),este es más fácil. (2-13) La forma más simple es usando esta igualdad. (2-96) |
| Previsión de dificultades | 4 | Ojo que este es el eje z en el espacio, parece el “y” de cuando uno dibuja los ejes en el plano, ya se van a tener que acostumbrar a dibujar, el “x” e “y” están abajo. (2-64) |
| Previsión de errores | 3 | Cuidado cuando dibujen porque subir 1 no quiere decir que tiene que llegar hasta acá (señalando la coordenada 1 del eje z). (1-13) |
| Supuesto de ausencia de complejidad | 3 | Esto es trivial. (2-100) Es lógico que me iba a dar lo mismo. (3-182) |
| Potenciación de las respuestas de los alumnos desde la justificación | 2 | Bien, ¿por qué? (3-186) |
| Previsión de creencias | 2 | Es uno de los hechos más importantes, por más que ahora les parezca una pavada. (1-32) |
Las 11 modalidades reconocidas en el dominio conocimiento del contenido y de la enseñanza se muestran en la Tabla 6. Tres de ellas se relacionan con las formas de orientar la explicación por parte del profesor, ya sea cuando invita a los alumnos a participar, direcciona preguntas por él formuladas o recapitula lo desarrollado al momento. Va hilvanando las ideas con lo previo (dos modalidades), al evocar conocimientos que deberían estar a disposición y al usar ideas relativamente recientes. A veces se vale de metáforas y analogías o de ejemplos vinculados con la cotidianeidad (otras dos modalidades). También emplea algunos recursos tales como fibrones de colores para remarcar, elementos del aula para modelizar y el apunte por él escrito que se constituye en material de estudio. En ocasiones hace explícitos comentarios que aluden a la administración del tiempo de la clase.
El conocimiento del contenido y del currículum tiene seis modalidades asociadas (Tabla 7). En tres de ellas el profesor alude a la propia asignatura Geometría I, ya sea con respecto a la articulación de los contenidos que van desarrollando, la vinculación entre las partes teórica y práctica de la materia así como la organización y preparación del material de estudio de la misma. También, en otra modalidad, se mencionan algunas potenciales relaciones con contenidos de otras asignaturas de la carrera. Y en las dos restantes se referencia al nivel secundario de educación, en los planos del qué (contenidos) y del cómo (forma de trabajo).
Con respecto a la frecuencia de activación de cada modalidad por cada dominio es posible apreciar que todos los dominios del MKT son activados en las clases de Geometría I, con predominio del conocimiento común y del especializado del contenido. También se pueden identificar cuáles son, dentro de cada dominio, las modalidades que más/menos emergen. Por ejemplo, en el conocimiento del contenido y de la enseñanza se aprecia una marcada diferencia entre las frecuencias absolutas de las modalidades invitación a la participación y uso de metáforas y analogías, de 32 y 1 respectivamente. Además se observa, al comparar los dominios entre sí, que la cantidad de activaciones difiere bastante de uno a otro. Así es el caso del conocimiento especializado del contenido que tiene 14 modalidades cuyas frecuencias están entre 2 y 74, y del conocimiento del contenido y del currículum con 6 modalidades entre los valores 1 y 10.
Con el fin de mostrar la manera en que se llevó a cabo la categorización y de ejemplificar el modo en que se realizaron las asociaciones modalidad-mensaje, se presenta a continuación un extracto de la primera sesión de clase que se considera relativamente representativo de la misma. Se pueden advertir activaciones de cuatro de los seis dominios del MKT y, a su vez, dentro de cada categoría, se recorren distintas modalidades. Además, en el extracto seleccionado es posible observar un “salto” de configuración (de la tercera a la cuarta) asociado a un cambio en cuanto al contenido de referencia: se cierra el tratamiento sobre la correspondencia biunívoca entre puntos de la recta y números reales y se comienza a trabajar con la correspondencia en el plano.
1-32: No es… bueno, está bien, va a ser distancia, pasa que todavía no tengo definida la distancia[conocimiento en el horizonte matemático: insinuación de vinculaciones matemáticas posteriores]. Va a ser tal que, en un sistema que yo haya fijado, de medición, la longitud del segmento , me da ese número o el módulo de ese número, porque podría ser negativo, por la longitud del , ¿bien? Entonces yo les doy el número real y va a ser un punto “P” que esté a la derecha de “O”, porque es positivo, de manera que el segmento sea un múltiplo del y si les doy menos ;, al punto lo ubico a la izquierda del “O”[conocimiento común del contenido: procedimental]. Entonces la correspondencia también es sobreyectiva; dado un número real cualquiera, siempre encuentro un punto “P” tal que tenga a ese número real como coordenada[conocimiento común del contenido: institucionalización]. Por eso decimos que es una correspondencia biunívoca, ¿bien? La importancia de este hecho es fundamental, es uno de los hechos más importantes, por más que ahora les parezca una pavada [conocimiento del contenido y de los estudiantes: previsión de creencias], que no le encontremos mucho sentido, decir, bueno, a un punto le asigno un número o, está bien, es algo que a lo mejor es trivial, pero que ha revolucionado la historia de las matemáticas[conocimiento en el horizonte matemático: fundamentación de la importancia del surgimiento de la geometría analítica]. [Cambio de configuración] Vamos a ver, ahora, cómo damos coordenadas en el plano. ¿Se acuerdan cómo dábamos coordenadas en el plano?[conocimiento del contenido y de la enseñanza: evocación de conocimientos previos] (mientras borra el pizarrón). A ver, ¿qué tenía que hacer para dar coordenadas en el plano?[conocimiento común del contenido: procedimental] (pausa). ¿Qué quiere decir dar coordenadas en el plano?[conocimiento común del contenido: significado] (nadie responde). No lo vimos hace tanto como para que ya se lo hayan olvidado [conocimiento del contenido y de la enseñanza: evocación de conocimientos previos], a ver, ¿Qué hace…? (algunos alumnos comentan entre sí posibles respuestas). No, no hace falta que den una definición formal ni mucho menos, porque tampoco vimos una cosa muy formal. Piensen, a ver, ¿qué se les viene a la cabeza cuando piensan en coordenadas de puntos en el plano? [conocimiento del contenido y de la enseñanza: invitación a la participación]
Cada una de las modalidades emergentes permite “acercar” el contenido de los mensajes a las categorías del estudio (dominios del MKT) en pos de caracterizarlas, con el fin de alcanzar el objetivo propuesto: conocer la formación que se ofrece a los futuros profesores en geometría analítica elemental a través de la activación de los dominios del MKT.
Resultados: segunda parte “lo sucedido en las clases”
Cabe recordar que las unidades de análisis de la investigación, son cada una de las tres sesiones de clase de Geometría I. Las subunidades de análisis, de acuerdo al contenido matemático de referencia, son las configuraciones de mensajes identificadas. A su vez, las configuraciones de mensajes agrupan las modalidades.
En la sesión 1 se reconocieron ocho configuraciones de mensajes:
Idea global de la esencia de la geometría analítica.
Procedimiento base para la correspondencia entre la recta y el conjunto de los números reales.
Análisis de la propiedad de biunicidad para la correspondencia en la recta numérica.
Procedimiento base para la correspondencia en el plano cartesiano.
Análisis de la propiedad de biunicidad para la correspondencia entre el plano cartesiano y el conjunto de pares de números reales.
Importancia de la geometría analítica y del método de Descartes.
Relación 1-1 como base de la geometría analítica.
Ampliación de la relación 1-1.
En la Tabla 8 se presentan las frecuencias absolutas de activaciones de cada dominio, cuyo contenido —de acuerdo a las modalidades emergentes— será sintetizado a continuación.
Con el propósito de esclarecer el contenido de la Tabla 8, se presenta una secuencia sintetizada de activaciones de las distintas modalidades para cada dominio del MKT, correspondientes a la sesión 1.
• Conocimiento común del contenido
Secuencialmente: procedimientos y conceptos (con significados) → ampliación de casos (atendiendo a la precisión matemática) → institucionalización/procedimientos (para ampliar casos) → introduce términos matemáticos/ → retoma conceptos y significados → deducciones e institucionalización. Transversal: significados.
• Conocimiento en el horizonte matemático
Sobre el final: ubicación en el tiempo de hechos → conexión con situaciones reales → vinculación sintético-analítica → evolución de conceptos matemáticos. Transversalmente: insinúa vinculaciones matemáticas posteriores / presenta fundamentos sobre la importancia del surgimiento de esta rama de las matemáticas.
• Conocimiento especializado del contenido
Inicio: re-significación de conocimientos. Comienzo, intermedio y final: escritura simbólica (siempre con otra modalidad). Transversal: representación gráfica.
• Conocimiento del contenido y de los estudiantes
En la primera mitad de la clase: respuestas de los estudiantes con justificación dada por el docente (con 7 activaciones).
• Conocimiento del contenido y de la enseñanza
En la segunda mitad de la clase: inicia la actividad de la configuración de mensajes evocando conocimientos previos. Transversal: invita explícitamente a los alumnos a participar.
• Conocimiento del contenido y del currículum
Inicio y final: articulaciones de esta parte de la asignatura (geometría analítica) con la anterior (geometría sintética), entre otras modalidades con escasa aparición.
En la segunda sesión de clase fueron ocho las configuraciones de mensajes identificadas:
Representación de un punto en el espacio.
Lugares geométricos de dimensión 0, 1 y 2.
Operaciones con lugares geométricos.
Lugares geométricos de dimensión 3.
Introducción a vectores.
Igualdad de vectores.
Propiedades de la igualdad de vectores.
Ángulo entre vectores.
Una síntesis de la activación de los dominios en las configuraciones de mensajes, indicándose sólo las frecuencias de las modalidades, se presenta en la Tabla 9.
procede a comentar de manera sucinta algunas particularidades de la activación de cada uno de los dominios para la sesión 2.
• Conocimiento común del contenido
Secuencialmente: procedimientos que amplían lo desarrollado en la clase anterior → detenimiento en lo conceptual → deducciones Transversal: instancias parciales de institucionalización, acompañadas de significados.
• Conocimiento en el horizonte matemático
Intermedio y final: alcance de las caracterizaciones matemáticas, acompañado por insinuaciones de vinculaciones matemáticas posteriores, entre otras modalidades menos recurrentes.
• Conocimiento especializado del contenido
Inicio: representación acompañada de precisión. Sobre el final: representación → ejemplificaciones e interpretaciones en dicho registro. Transversal: representación gráfica / escritura simbólica acompañada de re-significación del conocimiento.
• Conocimiento del contenido y de los estudiantes
Secuencialmente: consideración de las respuestas de los estudiantes con justificación dada por el docente y ejemplificación según el nivel de abstracción de los alumnos, acompañadas por previsión de dificultades y errores así como indagación sobre entendimiento → consideración de las respuestas de los estudiantes con justificación dada por el docente. Transversalmente: comentarios acerca del grado de complejidad de lo que se está desarrollando.
• Conocimiento del contenido y de la enseñanza
Al introducir nociones o al ejemplificar: vinculaciones con elementos concretos, ya sea del aula o de la cotidianeidad. Transversal: direccionamiento de preguntas acompañado de invitación a los alumnos a participar/ se busca anclar lo que se está construyendo mediante evocación de conocimientos previos y uso de ideas recientes.
• Conocimiento del contenido y del currículum
Secuencial: se articula con otras asignaturas → se realizan suposiciones sobre la forma de trabajo en el nivel secundario de educación (acompañadas de comentarios sobre el material de estudio y vinculaciones con la práctica).Transversal: articulación en la misma asignatura Geometría I.
Las siguientes son las nueve configuraciones de mensajes de la sesión 3. En la Tabla 10 se resumen las frecuencias de activaciones de los dominios del MKT.
Definición de suma de vectores.
Análisis por casos del módulo del vector suma.
Buena definición de la suma de vectores.
Enunciación de las propiedades de la suma de vectores.
Demostración de propiedades.
Regla del paralelogramo para la suma de vectores.
Diferencia de vectores.
Regla del paralelogramo para la diferencia de vectores.
Producto de un número real por un vector.
Acerca de las activaciones en esta tercera sesión es posible advertir:
• Conocimiento común del contenido
Secuencial: se presentan conceptos junto a procedimientos asociados → se institucionaliza. Sólo en una configuración: se realizan deducciones.
• Conocimiento en el horizonte matemático
Al inicio y en dos momentos intermedios: vinculaciones matemáticas posteriores.
• Conocimiento especializado del contenido
Transversal: representación gráfica acompañada de otras acciones desde lo gráfico: ejemplificación, interpretación y demostración/ escritura simbólica acompañada de enunciado coloquial simultáneo en algunas instancias.
• Conocimiento del contenido y de los estudiantes
Intermedio y final: indagación sobre entendimiento (en configuraciones asociadas a demostraciones o justificaciones de reglas). Inicio y cierre: consideración de las respuestas de los alumnos con justificación dada por el docente.
• Conocimiento del contenido y de la enseñanza
En distintos momentos de la clase: promoción de la participación de los estudiantes (no se evidencia cuando enuncia propiedades, presenta reglas o expone una definición) / se alude al apunte diseñado por el docente como material de estudio para los alumnos / se usan colores para resaltar ideas / se evocan conocimientos previos (cuando se enuncian propiedades). Intermedio y final: administración del tiempo.
• Conocimiento del contenido y del currículum
Inicio: articulaciones de contenidos y forma de trabajo con el nivel secundario. Intermedio: articulación con contenidos de otras asignaturas. De manera aislada: vinculaciones con lo desarrollado previamente en esta asignatura.
CONCLUSIONES
Este estudio tuvo como foco de análisis las clases introductorias de geometría analítica en la formación de profesores de matemáticas, mediante observaciones de lo que dice y hace el profesor que imparte la clase (formador de formadores). Acorde con lo señalado por Ball y Bass (2003), se ha procurado conceptualizar el MKT en una rama (geometría analítica elemental) y nivel (primer año de estudios superiores para profesor en Matemática) determinados.
En cuanto al conocimiento especializado del contenido, se valora especialmente el énfasis puesto por el docente en las representaciones gráficas realizadas, en abundancia, apoyadas muchas veces con explicaciones en lenguaje coloquial o simbólico. Esto se constituye en un elemento clave en una formación de profesores de matemáticas, que intenta superar lo que Arellano y Oktaç (2009) señalan en cuanto a una falta de comunicación entre los distintos registros semióticos en la enseñanza. También lo es para lo que Karrer y Navas (2013) observan en relación con una ausencia del tratamiento de registros plurifuncionales, así como para atender las dificultades que describen Dallemol et al. (2014).
Las clases observadas permiten vislumbrar acciones formativas orientadas a revertir el panorama de la escuela secundaria descrito por Alves et al. (2010) debido a que, por ejemplo: se explicita el significado de los conocimientos que se van construyendo (conocimiento común del contenido); se (re)trabajan los contenidos supuestamente abordados en el nivel secundario (conocimiento del contenido y del currículum); se vinculan los marcos geométrico y algebraico que constituyen la geometría analítica(conocimiento en el horizonte matemático) y se establecen conexiones entre los enfoques sintético y analítico de la geometría (conocimiento del contenido y del currículum). Todo ello pareciera indicar que se propende por formar profesores de forma que se trasciende un nivel técnico de enseñanza.
Sobre esto último se resalta que en las clases, en coincidencia con lo que proponen Bonilla y Parraguez (2013), para favorecer la comprensión de los estudiantes y desarrollar su pensamiento específico, se produce una constante vinculación geometría-álgebra (articulando los registros gráfico, simbólico y coloquial) por medio de la cual se le otorga sentido geométrico a las ecuaciones que se obtienen sin priorizar las técnicas analíticas.
Por otro lado, en el conocimiento especializado del contenido es posible advertir profundidad en el tratamiento de lo gráfico al involucrarse operaciones mentales diversas, ya sea en la representación gráfica en sí, como en otras acciones que robustecen el proceso. De hecho se recurre a lo gráfico en momentos en que se requiere rigor matemático, potenciando su utilidad, por ejemplo al hacer una demostración. Se cree que de este modo se contribuye a emplear los gráficos de una manera que dista de un uso instrumental de símbolos y que posibilita construir una concepción global del objeto representado. Todo ello pareciera señalar que la formación que se ofrece en el PM intenta superar un eventual “autismo temático” o falta de complementariedad entre enfoques en la enseñanza de la geometría (Gascón, 2003).
El análisis de los resultados refleja que todos los dominios del MKT, en mayor o menor medida, son activados en las clases de geometría analítica observadas. A su vez, la diversidad de modalidades que se han detectado da indicios de la profundidad y riqueza de los conocimientos que se ponen en juego en dichas clases, incluso más allá de lo específicamente disciplinar. De esta manera, se ha logrado caracterizar la formación que se ofrece a los futuros profesores de matemáticas en el PM en lo concerniente a geometría analítica elemental desde los dominios del MKT activados en clases disciplinares.
El principal aporte de este artículo en cuanto a la investigación especializada, radica no sólo en la caracterización de la formación que ofrece el PM en esta rama de las matemáticas, sino también en el amplio espectro de modalidades que se han logrado detectar. Estas podrían ser consideradas como encuadre, en estudios posteriores relativos al tema, respecto de qué es posible “encontrar” al interior de cada dominio. En este sentido, puede servir para orientar metodológicamente otros estudios que usen el modelo MKT en investigaciones relativas a la formación de profesores de matemáticas, en particular para quienes quieran emplear dicho modelo teórico y diseñar un instrumento para analizar descriptivamente un discurso.
Finalmente se destaca que este trabajo contiene información específica de numerosas cuestiones a tener en cuenta por parte de un profesor en sus clases de geometría analítica elemental, por lo que permite repensar la enseñanza a nivel cuerpo docente en el marco de la carrera PM y, más ampliamente, contribuye a la reflexión y a la formación continua de docentes en matemáticas.
