Introducción

Este artículo se centra en investigar las creencias sobre las matemáticas que tienen los estudiantes de educación secundaria en centros públicos de la ciudad de Medellín, Colombia. En Colombia el estudio sobre el aprendizaje de las matemáticas se ha tratado generalmente desde aspectos cognitivos (^{López, Hederich-Martínez y Camargo, 2012}; ^{Toro-Carvajal, Ortíz-Álvarez, Jiménez-García y Agudelo-Calle, 2012}; ^{Arévalo y González, 2013}), meta-cognitivos (^{Zambrano, 2008}; ^{Iriarte, 2011}; ^{Santos y Lozada, 2013}) y curriculares (^{Gómez, 2002}; ^{Murcia y Henao, 2015}; ^{Ángulo, Reyes, Triana y Aristizábal, 2016}), sin considerar las dimensiones afectivas, ni el papel que juegan las creencias en el aprendizaje de esta materia. El objetivo del presente estudio es adaptar y validar un cuestionario como primer paso en el análisis sistemático y riguroso de las creencias sobre las matemáticas de los estudiantes colombianos. En particular se pretende adaptar y validar la versión del MRBQ (Mathematics-Related Beliefs Questionnaire) refinada por ^{Diego-Mantecón (2013)}, que ha sido evaluada en diferentes contextos socio-culturales.

El estudio de las creencias se hace necesario cuando se busca comprender las causas de ciertas acciones que pueden conducir al fracaso o al éxito escolar en una materia tan significativa, pero a la vez tan estigmatizada como las matemáticas. En los últimos años se han atribuido distintos significados al término creencias; en este estudio se definen como un sistema de conocimiento subjetivo, personal y no siempre compartido (^{Pajares, 1992}; ^{Pehkonen, 1999}; ^{Parra, 2005}; ^{Diego-Mantecón, 2012}, ²⁰¹³). Se construyen y desarrollan durante la vida como fruto de las experiencias personales y de las interacciones con el entorno (^{Pehkonen y Pietilä, 2003}), sirviendo a su vez como filtros a través de los que se procesan nuevas experiencias e informaciones. Estas nuevas experiencias se incorporan a un sistema de creencias ya existente, ayudando a consolidar o modificar creencias previas (^{Beck, 1976}; ^{Knapp y Beck, 2008}). Las creencias pueden además mantenerse con diferentes grados de convicción, no siendo necesariamente compartidas y por lo tanto disputables (^{Hidalgo, Maroto y Palacios, 2015}). De acuerdo con ^{Diego-Mantecón (2012)} las creencias anteceden a las actitudes, determinando y condicionando nuestras acciones en respuesta a determinadas situaciones y contextos.

Creencias sobre las matemáticas, conceptualización y evaluación

A continuación, se detalla la influencia de las creencias en el aprendizaje de las matemáticas, así como su conceptualización a la hora de estudiarlas. Se presen-tan también los instrumentos existentes para su evaluación, destacando como herramienta principal el MRBQ.

Metodología

Como se ha indicado con anterioridad las creencias son una variable funda-mental en el aprendizaje de las matemáticas, permitiendo identificar factores que influyen en este proceso. Disponer de un cuestionario como el MRBQ que evalúe de forma fiable las creencias acerca de las matemáticas se hace por lo tanto necesario. En concreto, este estudio tiene como objetivo proporcionar a la comunidad educativa una adaptación y validación del MRBQ al contexto colombiano, ya que en la actualidad no se conocen instrumentos que identifiquen con fiabilidad las creencias en este contexto.

Para evitar problemas de equivalencia conceptual y lingüística (^{Helms, 1992}; ^{Osborn, 2004}) se tomó como base la versión de ^{Diego-Mantecón (2013)} que había sido traducida al español y validada en España. Además de adaptar los ítems para establecer equivalencia transcultural, éstos fueron también revisados para incrementar su validez de contenido (^{De Vellis, 2003}; ^{McQueen y Knussen, 2002},) y establecer su validez interna (^{Sarantakos, 2013}; ^{Cohen, Manion y Morrison, 2003}), aspectos no considerados en estudios anteriores de este instrumento. Para incrementar la validez de los ítems en términos de contenido, y asegurar que evaluaban los aspectos pretendidos por los investigadores (^{McQueen y Knussen, 2002}), éstos fueron revisados por un comité de expertos. En este sentido varios de los ítems, en particular aquellos que incluían más de una idea, se eliminaron o reformularon al conducir a respuestas sesgadas. Por ejemplo, el ítem ‘Las matemáticas son una asignatura necesaria y que vale la pena’ se reformuló de la siguiente manera ‘Las matemáticas son una asignatura necesaria’.

La validez interna se refiere al grado en el que el diseño de los instrumentos puede afectar a los resultados del estudio (^{Sarantakos, 2013}). En este trabajo se incrementó la validez interna de los ítems verificando que estos eran comprensibles por los sujetos a investigar, tal y como sugieren ^{Cohen et al. (2003)}. Para ello se administró inicialmente el cuestionario a un grupo de 30 estudiantes de secundaria, con características similares a las de la muestra principal. Varios ítems que resultaron confusos para los alumnos fueron refinados, mejorando la redacción y sintetizando la información. Durante este proceso también se reformularon aquellos ítems que en el instrumento original estaban orientados negativamente, por ser este un factor que reduce la calidad de las respuestas y afecta la consistencia interna de las escalas (^{Suárez-Álvarez et al., 2018}). Por ejemplo, el ítem ‘A mi profesor no le preocupa cómo nos sentimos en clase’ se reformuló ‘A mi profesor le preocupa cómo nos sentimos en clase’.

Una vez realizados los ajustes anteriores, el cuestionario fue aplicado a una muestra no aleatoria de 670 estudiantes (357 hombres y 313 mujeres) a la que los investigadores tenían acceso. Los participantes eran de edades comprendidas entre los 14 y 15 años, siguiendo la línea de los estudios originales. Esta edad se corresponde en Colombia con el noveno curso de educación secundaria. Los estudiantes pertenecían a seis centros públicos situados en la periferia de la ciudad de Medellín y representativos de un nivel socioeconómico bajo, correspondiéndose con los niveles 1 y 2 de estratificación en una escala de 6 niveles, donde 1 es el nivel más bajo. El cuestionario fue administrado directamente por uno de los investigadores para evitar sesgos en la recogida de datos.

Análisis de datos y resultados

Para evaluar la validez del instrumento en el contexto colombiano se aplicó un análisis factorial con rotación ortogonal, como en los estudios originales. Antes de computar el análisis factorial se realizó un escrutinio de los datos para evaluar el grado de adecuación de este análisis a la muestra. Se computó una matriz de correlaciones para eliminar aquellos ítems que correlacionaban muy bajo (con valores inferiores a 0.20) o muy alto (con valores superiores a 0.90), y que por lo tanto no son recomendables a la hora de aplicar análisis factorial (^{Field, 2009}). También se computó el test de adecuación muestral de Kaiser Meyer-Olkin (KMO) y la prueba de esfericidad de Bartlett que arrojó un valor de 0.921 con una p < 0.00005, lo que sugirió que los datos eran adecuados para aplicar análisis factorial (^{Field, 2009}).

A diferencia de los estudios anteriores realizados con el MRBQ no se forzó la extracción de cuatro factores, sino que se consideró el criterio de ^{Kaiser (1960)} y el test de ^{Cattell (1978)} para determinar los factores a extraer. El criterio de Kaiser recomienda extraer el número de factores correspondientes a los valores propios mayores que uno, y el test de Cattell aquellos que indica el punto de inflexión del gráfico de sedimentación. En este caso, se optó por la extracción de 10 factores recomendados por el criterio de Kaiser ya que permitían una interpretación más completa de los datos. Los 10 factores extraídos explican una varianza de 56.34%. En la tabla 3 se muestran los factores extraídos con sus respectivos ítems y cargas factoriales.

Para etiquetar los factores extraídos se consideraron los ítems con mayor carga factorial en cada columna; de acuerdo con ^{Field (2009)} y ^{De Vellis (2003)} estos son los que mejor representan el significado de los factores. El factor 1 se etiquetó como Dominio afectivo del profesor al incluir ítems con expresiones relacionadas con las emociones del profesor, durante la interacción con los alumnos y su aprendizaje, tales como ‘trata de hacer las clases interesantes’ o ‘quiere que disfrutemos’. El factor 2 hace alusión a la Competencia e interés por las matemáticas ya que incluye ítems relacionados con la percepción de uno mismo sobre su capacidad a la hora de trabajar las matemáticas (v.g. ‘Puedo comprender incluso el tema más difícil’) e ítems relacionados con el interés o gusto por esta materia (v.g. ‘Me interesan las matemáticas’). El factor 3 se etiquetó Valor intrínseco de las matemáticas al aparecer en éste expresiones relaciona-das con el valor de las matemáticas en sí mismas (v.g. ‘Las matemáticas son importantes para mí’) y no por un valor externo que se pueda obtener de su estudio o aprendizaje. El factor 4 se identificó Valor extrínseco de las matemáticas al contener ítems tales como ‘se utilizan en la vida cotidiana’ o ‘nos permiten comprender mejor el mundo en el que vivimos’ relacionados con la utilidad de las matemáticas como herramienta para resolver situaciones reales y comprender nuestro entorno. El factor 5 se relacionó con una Visión reduccionista de las matemáticas; expresiones como ‘obtener la respuesta correcta es lo más importante’ o ‘sólo hay una manera de encontrar la solución correcta’ evidencian un enfoque práctico y limitado de las matemáticas, percibiéndose éstas en términos de resultados a los que se llega por una sola vía.

El factor 6 se relaciona con un Enfoque constructivista de las matemáticas. Ítems como ‘Discutir diferentes métodos de resolución es una buena manera de aprender’ o ‘Hacemos mucho trabajo en equipo’ entroncan con una enseñanza constructivista en la que se enfatiza el proceso de resolución sobre el propio resultado, y se valora el aprendizaje colaborativo. El factor 7 hace referencia a una Demanda cognitiva alta al aparecer en éste ítems que resaltan la importancia de los procesos de comprensión (v.g. ‘Entender por qué una solución es correcta es tiempo bien invertido’) frente a los de memorización (v.g. ‘Tener buena memoria no es lo más importante para aprender matemáticas’). El factor 8, Competencia comparada, incluyó dos ítems que reflejan el deseo por mostrar una alta capacidad y reconocimiento frente a los demás: ‘Quiero demostrar a mi profesor que soy mejor que otros’ y ‘Me esfuerzo estudiando para demostrar lo bueno que soy’. El factor 9 se designó Dominio de excelencia al representar las matemáticas como accesibles sólo para aquellos capaces de pensar y esforzarse mucho (v.g. ‘Todo el mundo tiene que pensar mucho para resolver un problema de matemáticas’). Finalmente, el factor 10 se etiquetó Enfoque tradicionalista de las matemáticas ya que hace alusión a una enseñanza centrada en los contenidos y su memorización. Así lo reflejan ítems tales como: ‘Mi profesor sólo quiere que memoricemos el contenido’ o ‘Para mi profesor es más importante el contenido de la asignatura que prestarnos atención’.

Una vez extraídos y etiquetados los factores se aplicó un segundo análisis factorial en cada uno de ellos para asegurar su unidimensionalidad; posterior-mente se computó el alfa de Cronbach para conocer su fiabilidad (^{Wells y Wollack, 2003}). Como muestra la tabla 3, tres de los factores presentaron una consistencia interna alta (^{Field, 2009}) con alfas superiores a 0.80, tres una consistencia media con valores entre 0.54 y 0.66, y el resto una consistencia baja con valores entre 0.40 y 0.50.

Discusión de resultados

Los resultados descritos anteriormente muestran que, si no se fuerza la extracción de factores y se atiende a los criterios de extracción, el MRBQ genera un modelo de 10 factores que se corresponde, en gran medida, con el modelo teórico propuesto por ^{Op’t Eynde et al. (2002)}. Estos 10 factores se alinean en concreto con las 11 sub-dimensiones de creencias descritas inicialmente en su modelo y no con las cuatro dimensiones que se han venido identificando en los estudios empíricos hasta el momento (ver por ejemplo Op’t Eynde y De Corte, 2003; ^{Gómez-Chacón et al., 2006}; ^{Diego-Mantecón, 2013}; y ^{De Corte, 2015}). Estos resultados son significativos, ya que la identificación de los 10 factores permite un estudio más detallado de las creencias del estudiante, posibilitando análisis más precisos sobre su influencia en el aprendizaje.

Los resultados del presente estudio muestran que varias de las dimensiones inicialmente propuestas por ^{Op’t Eynde et al. (2002)}, y que emergieron en estudios anteriores bajo un mismo factor, ahora surgen separadas en factores diferentes. Por ejemplo, las dimensiones sobre ‘la importancia de las matemáticas’, ‘la utilidad de las matemáticas’ y ‘la orientación extrínseca a la meta’, consideradas entidades independientes en el modelo teórico, aparecen representadas en este estudio por los factores ‘Valor intrínseco de las matemáticas’, ‘Valor extrínseco de las matemáticas’ y ‘Competencia comparada’. En estudios anteriores estas dimensiones emergieron repetidamente bajo un mismo factor: en los trabajos de ^{Gómez-Chacón et al. (2006)} y ^{De Corte (2015)} aparecieron bajo el factor ‘Creencias sobre el significado y la competencia en matemáticas’, y en el de ^{Diego-Mantecón (2013)} bajo el factor denominado ‘Relevancia de las matemáticas en la vida real’. Forzar la extracción de cuatro factores ha provocado que diferentes dimensiones de creencias se aglutinen bajo un mismo factor. Este hecho ha impedido análisis pormenorizados de cada dimensión lo que ha dificultado conocer con precisión los tipos de creencias que influyen más en el rendimiento académico del estudiante. Contar con factores unidimensionales, como los obtenidos en el presente estudio, permitirá establecer relaciones entre los diferentes tipos de creencias, proporcionando información más precisa sobre su influencia en el aprendizaje de las matemáticas.

De acuerdo con lo anterior, el modelo de 10 factores es más explicativo que el modelo de cuatro y da cuenta de varias de las dimensiones subyacentes que componen el modelo teórico, lo que posibilitará comprender más amplia-mente el espectro de creencias de los estudiantes. Estos resultados no se hubieran obtenido forzando la extracción de cuatro factores. Es importante destacar que el estudio de ^{Diego-Mantecón (2013)}, que revelaba sub-factores a través de un segundo análisis factorial, ya sugería trabajar con factores unidimensionales. En este sentido, el presente estudio respalda el análisis de ^{Diego-Mantecón (2013)}, en cuanto a la búsqueda de factores unidimensionales, y lo mejora en cuanto al hecho de no forzar la extracción de un determinado número y guiarse por criterios de extracción contrastados, como el de ^{Kaiser (1960)} y el de ^{Cattell (1978)}, que resultan útiles en estudios de carácter exploratorio (^{Yong y Pearce, 2013}). Como se ha descrito anteriormente, el análisis de ^{Diego-Mantecón (2013)} identificó seis dimensiones de creencias, después de aplicar el segundo análisis factorial, frente a las 10 obtenidas en el presente estudio.

Desde el punto de vista analítico y de fiabilidad del instrumento, los 10 factores extraídos explican una varianza de 56.34% superior a la de los cuatro factores descritos en estudios anteriores. Como se ha indicado previamente, los factores extraídos por ^{Op’t Eynde y De Corte (2003}), ^{Diego-Mantecón (2013}) y ^{De Corte (2015)} explicaron varianzas de 38.3%, 39.4% y 46.8% respectivamente. Importante, los 10 factores obtenidos en el presente estudio son unidimensionales; es decir, cada uno representa una única variable de creencias. Tres de ellos mostraron una consistencia interna alta con alfas de Cronbach superiores a 0.80, lo que les aporta fiabilidad para ser utilizados en el contexto colombiano. Otras tres mostraron una consistencia media con valores entre 0.54 y 0.66, y el resto una consistencia baja con valores entre 0.40 y 0.50. Estos últimos son

susceptibles de ser refinados en futuros estudios para mejorar su fiabilidad, pero son factores potencialmente consistentes ya que apenas incluyen dos ítems. Por ejemplo, el factor ‘Visión reduccionista de las matemáticas’ que generó una alfa de 0.49, está conformado únicamente por dos ítems ‘Obtener la respuesta correcta en matemáticas es más importante que entender por qué ésta es correcta’ y ‘Sólo hay una manera de encontrar la solución correcta a un problema de matemáticas’. Estos ítems arrojaron unas cargas factoriales aceptables de 0.734 y 0.632 respectivamente, sugiriendo que la fiabilidad del factor se puede mejorar en investigaciones posteriores con la inclusión de nuevos ítems que ayuden a conformar la variable que representan.

Como muestra la tabla 3, la mayoría de los factores con una consistencia media o baja son aquellos que se han generado a partir de dos o tres ítems máximo. Este reducido número en cada factor se debe a que las escalas originales -diseñadas por ^{Op’t Eynde y De Corte (2003)} para validar su modelo teórico- se han ido distorsionando tras las continuas adaptaciones del MRBQ. Inicialmente el MRBQ constaba de 58 ítems, este número se redujo a 40 en el primer estudio de ^{Op’t Eynde y De Corte (2003)} con estudiantes flamencos, después de forzar la extracción de cuatro factores. Los estudios posteriores se centraron, por lo general, en adaptar o mejorar la fiabilidad de estos cuatros factores a un contexto particular, y no en perfeccionar las escalas originales encaminadas a evaluar las 11 variables del modelo teórico. Por ejemplo, ^{Gómez-Chacón et al. (2006)} añadieron cuatro ítems nuevos a los 40 resultantes del estudio de ^{Op’t Eynde y De Corte (2003)} para evaluar las creencias de estudiantes españoles. De forma similar, ^{Diego-Mantecón (2006}) y ^{Diego-Mantecón et al. (2007)} incorporan 33 a los 40 existentes con el objetivo de mejorar la fiabilidad de los cuatro factores extraídos en investigaciones previas, y adaptar el instrumento al contexto eslovaco, inglés y español. Como en estudios previos, ^{Diego-Mantecón (2006}, ²⁰¹³⁾ forzó la extracción de cuatro factores para facilitar la comparación de datos.

En síntesis, los autores que han empleado el MRBQ se han centrado, por lo general, en mejorar la fiabilidad de los cuatro factores extraídos en el estudio de ^{Op’t Eynde y De Corte (2003)}, eliminando ítems originales y diseñando otros nuevos. Estos estudios han obviado las dimensiones de creencias inicialmente propuestas en el modelo teórico de ^{Op’t Eynde et al. (2002)} y las escalas originales diseñadas para su evaluación (^{Op’t Eynde y De Corte, 2003}). Esto explica que en el presente trabajo algunos de los 10 factores extraídos estén constituidos únicamente por dos ítems. La fiabilidad de estos factores es susceptible de aumentar al incluir nuevos ítems y mejorar las escalas originales que representan.

Conclusiones

Como se ha descrito inicialmente, el objetivo fundamental del presente estudio era adaptar y validar la versión española del MRBQ al contexto colombiano, para ofrecer a la comunidad educativa un instrumento fiable que posibilite identificar y analizar las creencias de los estudiantes. Los resultados mostraron cierto grado de consistencia del instrumento para su uso en el contexto colombiano, sirviendo este como base para el desarrollo de uno más refinado que permita evaluar las creencias con mayor fiabilidad.

Este trabajo reveló, a diferencia de estudios anteriores, que el MRBQ replica en cierto grado el modelo teórico inicialmente propuesto por ^{Op’t Eynde et al. (2002)} y que había sido obviado, al menos parcialmente, en otras investigaciones. En particular, los resultados revelan que el MRBQ genera, en el contexto colombiano, un modelo de 10 factores -que permite una mayor comprensión e interpretación de las creencias de los estudiantes- y no uno de cuatro como el que se había obtenido reiteradamente en evaluaciones anteriores. Estos 10 factores representan más fielmente el modelo teórico original; cada uno de ellos está bien definido y ha mostrado ser unidimensional, lo que constituye un primer paso hacia la construcción de un instrumento válido para el estudio de las creencias acerca de las matemáticas en Colombia.

Es importante resaltar que algunos de los factores identificados se generaron a partir de sólo dos ítems y mostraron un valor de fiabilidad medio-bajo. Es, por lo tanto, necesario llevar a cabo nuevos estudios encaminados a refinar y completar las escalas que representan estos factores, mejorando la edición de algunos ítems e incorporando otros nuevos que ayuden a incrementar la consistencia de los factores. La realización de estos estudios ayudará a la construcción de un instrumento más sólido, que facilitará análisis más rigurosos y como consecuencia resultados más precisos sobre las creencias y su influencia en el aprendizaje de las matemáticas.