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INTRODUCCIÓN
En el ámbito de la educación matemática hay un interés creciente por promover interacciones en el aula que favorezcan la participación, la argumentación y la autonomía intelectual de los estudiantes como parte de una educación de calidad (Krummheuer, 2011; Rees y Roth, 2019; Resnick et al., 2015; Sfard, 2001; Yackel y Cobb, 1996). Esto ha llevado a diversas adecuaciones de marcos curriculares en varios países. Sin embargo, a pesar de estas adecuaciones y del consenso entre los expertos acerca de la necesidad de cristalizarlas en procesos de enseñanza/ aprendizaje, la investigación continúa mostrando que la interacción en la mayoría de las aulas sigue estando dominada por profesores que saben, imparten y evalúan, y por estudiantes que recitan, repiten y ejercitan (Alexander, 2015; Martinic y Villalta, 2016; Wells y Mejía, 2005). La actividad docente todavía se caracteriza por la formulación de preguntas cerradas (Radovic y Preiss, 2010), por la exposición de información y por demostración de técnicas (Preiss et al., 2011). Por su parte, las actividades más frecuentes de los estudiantes son la ejercitación individual, la repetición de información, la ejecución mecánica de técnicas, y la resolución de problemas estereotípicos previamente ejemplificados por el profesor (Preiss, 2011). Actividades que requieren un nivel de elaboración, argumentación y razonamiento, y que involucran escasamente la metacognición (Preiss et al., 2016). En muchas aulas, esta interacción, repetida en el tiempo, termina por limitar el aprendizaje de los estudiantes (Cazden, 2001; Mercer y Dawes, 2014), inhibiendo su participación espontánea con opiniones, ideas y cuestionamientos, limitando el diálogo y la evaluación entre pares, favoreciendo el trabajo individual por sobre el colaborativo (Rees y Roth, 2019).
Por supuesto, abundan los reportes de propuestas alternativas implementa-das con distintos niveles de éxito en el aula (De Longhi, 2012; Mortimer y Scott, 2002; Rees y Roth, 2019; Sardà y Sanmarti, 2000; van Es y Sherin, 2008; Solar y Deulofeu, 2016). Sin embargo, a pesar de estas importantes experiencias y de los nuevos énfasis que promueven los programas y organizaciones curriculares, estas propuestas todavía constituyen la excepción y no la norma.
Ante esta realidad, creemos que poner el foco en la argumentación en el aula puede ser una vía para mejorar la práctica docente. En particular, brindan-do oportunidades de aprendizaje a los estudiantes por medio de la promoción de la argumentación. Por oportunidades de aprendizaje nos referimos a las acciones docentes que potencialmente facilitan el aprendizaje de las matemáticas, tales como la creación de situaciones de interacción entre estudiantes y docentes parar desarrollar habilidades de pensamiento matemático más extensas, o el planteamiento de actividades abiertas para que los estudiantes puedan explorar y analizar cuestiones matemáticas (Ferrer et al., 2014).
La investigación acerca de la argumentación sugiere que es una actividad clave para el aprendizaje (Schwarz, 2009). Argumentar permite a los estudiantes hacer públicas sus ideas, volviéndolas así objetos de discusión y evaluación (Chi, 2000; Monaghan, 2010). Además, requiere de quien expone estas ideas que se responsabilice de su justificación (Krummheuer, 1995), propiciando el desarrollo de culturas matemáticas orientadas al diálogo (Goizueta, 2019), en las que la construcción de conocimientos se entiende como una actividad crítica, reflexiva y colectiva (Conner et al., 2014; Krummheuer, 2007).
A pesar de la evidencia que se sigue acumulando y que ubica a la argumentación como una actividad relevante en el aula, aún no son claros los mecanismos de aprendizaje que se dan en situaciones argumentativas (Schwarz, 2009). Para contribuir en este sentido, en el artículo analizamos la interacción que emerge en dos aulas donde el profesor promueve la argumentación en los estudiantes, y analizamos las oportunidades de aprendizaje que surgen. A partir de los resultados obtenidos, discutimos la necesidad de considerar la argumentación como un elemento clave en el diseño de actividades de aprendizaje que promuevan interacciones educativamente significativas en el aula.
MARCO CONCEPTUAL
La interacción en el aula de matemáticas
Estudios sobre interacción en el aula han identificado distintos patrones de interacción recurrentes y discutido sus consecuencias en el aprendizaje. Entre estos patrones, resulta paradigmático el diálogo triádico (Mehan, 1979), tanto por el volumen de investigación como por ser ampliamente identificado como el más frecuente.
En su forma más simple, el diálogo triádico (IRF) consiste en tres movimientos, i. una Iniciación (I), usualmente una pregunta o solicitud del profesor; ii. una Respuesta (R), mediante la cual el estudiante reacciona a la pregunta o solicitud; y iii. una Retroalimentación (F), con la que el profesor da seguimiento a la respuesta (Wells, 1993). La retroalimentación puede dar continuidad a la conversación ampliando o redirigiendo las respuestas, por ejemplo, mediante nuevas preguntas (Retroalimentación de Reinicio), o bien puede darla por terminada, por ejemplo, para iniciar una nueva, para incluir nuevas ideas o para propiciar respuestas alternativas (Retroalimentación de Cierre). Con frecuencia, la retroalimentación es algún tipo de evaluación, mediante la cual el profesor sanciona la adecuación de la respuesta (Retroalimentación de Evaluación). En el caso de una tarea matemática, esta puede referirse, por ejemplo, a la corrección de un resultado numérico, a la exactitud de una información o a la pertinencia de una idea o procedimiento. El diálogo triádico suele darse en forma de cadenas de estos elementos y puede implicar a uno o varios interlocutores.
Aunque existe acuerdo acerca de la ubicuidad del patrón IRF en las aulas, no hay acuerdo acerca de sus consecuencias, alcances y limitaciones educativas (Wells, 1993). Algunos autores consideran que es un modo adecuado de moni-toreo del aprendizaje de los estudiantes, así como un modo natural de enfatizar conocimientos (Mercer, 1992) y de enmendar errores (Newman et al., 1989). Algunos más consideran positivamente el diálogo triádico a la hora de acercar-se y reproducir formas culturales de participación (Roth y Radford, 2011) o de comenzar a participar en discursos socialmente aceptados (Sfard, 2001).
Otros autores critican esta forma de interacción por ser excesivamente frecuente y educativamente pobre, aduciendo que limita la acción del estudiante, sus posibilidades de ofrecer alternativas, manifestar su opinión, tomar la iniciativa, realizar preguntas y conversar con sus pares (Lemke, 1990; Rees y Roth, 2017; Wood, 1998). Según sus críticos, al interactuar de esta forma los estudiantes frecuentemente dejan de relacionar las acciones del profesor con los aspectos matemáticos de la tarea y, en cambio, las entienden como alusiones y sugerencias en relación con la respuesta correcta, aquella que deben encontrar. Repetidos en el tiempo, estos patrones de interacción se integran al repertorio de normas sociales y socio-matemáticas del aula (Yackel y Cobb, 1996), conformando de manera progresiva concepciones y prácticas alejadas de la indagación, la reflexión y la autonomía.
Coincidimos con Wells (1993) en que el desacuerdo respecto a las consecuencias educativas del diálogo triádico estriba en que se suele discutir como si todas sus instancias fuesen esencialmente similares. Sin embargo, hay estudios que sugieren que el patrón IRF puede conducir a distintas oportunidades de aprendizaje para el alumnado, en función de las normas socio-matemáticas que median la interacción.
Herbel-Eisenmann y Breyfogle (2005), y Wood (1998) comparan situaciones de aula en las que se observan cadenas de patrones IRF, concluyendo que, aunque conforman el mismo patrón de interacción, se observan diferencias importantes. En algunas, el profesor dirige y selecciona las respuestas de los estudiantes, organizando y conectando las ideas para llegar a la respuesta esperada, sin que resulte claro que los estudiantes alcancen a comprender estas conexiones; conformando un patrón de embudo (Bauersfeld, 1980). En su versión más directiva, el profesor restringe progresivamente la acción de los estudiantes hasta reducirla a la mera recitación de la respuesta que ha sugerido de manera velada (ver, por ejemplo, Steinbring, 2005, p. 75). En cambio, en otras situaciones, el profesor promueve mediante sus solicitudes que los estudiantes compartan y aclaren las soluciones que presentan, discutiendo sus propias ideas matemáticas. En estos casos, las acciones del profesor dirigen el foco de atención hacia distintos aspectos de las soluciones propuestas, facilitando la reflexión y la discusión de los estudiantes sobre estas, conformando lo que las autoras denominan un patrón de enfoque. La diferencia entre estas dos situaciones estriba en las normas socio-matemáticas que median la interacción. Se conforma un patrón de embudo cuando se espera que los estudiantes lleguen a una respuesta particular, la cual el profesor conoce de antemano y a la cual dirige a los estudiantes. En cambio, se conforma un patrón de enfoque cuando se espera que los estudiantes planteen y se hagan responsables de sus propias soluciones, de modo que las acciones del profesor están dirigidas a enfocar aspectos sobresalientes de tales soluciones para dirigir la reflexión colectiva.
Coincidimos, pues, con Wells en que el diálogo triádico no tiene una connotación negativa o positiva per se; en cambio, sus posibilidades, limitaciones y consecuencias están en función de las condiciones específicas en las que emerge en el aula.
En la literatura, por otro lado, los patrones de interacción son frecuentemente considerados como expresiones de las intenciones y preferencias pedagógicas del profesor. Hanrahan (2006), por ejemplo, sugiere que la frecuencia con que aparece el patrón IRE (i.e. donde la retroalimentación es de evaluación) en el aula se debe a la intención del profesor de reforzar su autoridad en relación con el saber y la enseñanza. En contraste con esta posición, y así lo asumimos en este estudio, Roth y Gardener (2012) sugieren que los patrones de interacción son fenómenos culturales asociables con situaciones determinadas. El patrón IRE surge regularmente en circunstancias en las que el depositario de cierto conocimiento realiza las preguntas, más allá de sus intenciones y papel institucional. Siguiendo a estos autores, consideramos que los patrones de interacción son
rasgos culturales que los participantes reconocen, a los que se orientan y contribuyen a reproducir. (…) Esto es, no hay un patrón dominante en el aula, lo que podría llevar a concluir que este ha sido implementado por el profesor. En cambio, los patrones emergen en ciertos tipos de situaciones y de manera independiente de los participan-tes particulares (Rees y Roth, 2017, p. 32; nuestra traducción).
De modo que la frecuencia con que se dan ciertos patrones de interacción en el aula es una consecuencia de la frecuencia con que se presentan ciertas situaciones y no necesariamente el reflejo de las intenciones o preferencias pedagógicas del profesor. La frecuente aparición en el aula de interacciones de tipo IRE estaría asociada a la frecuencia con que se dan situaciones en las que alguien (típicamente el profesor) formula una pregunta o solicita información o una acción (típicamente a un estudiante) esperando una respuesta que conoce de antemano. En tales situaciones, quien es reconocido como depositario del conocimiento suele poner en acción alguna estrategia evaluativa. De modo que “cambiar los patrones de interacción depende más de cambiar las situaciones que de cambiar las intenciones del profesor” (Rees y Roth, 2017, p. 20; nuestra traducción).
La argumentación en el aula de matemáticas
En este estudio nos interesamos por conocer los patrones de interacción que emergen en situaciones de aula en las que el profesor organiza la actividad matemática para propiciar la argumentación de sus estudiantes.
Analíticamente, damos cuenta de la argumentación en dos sentidos: en relación con la gestión docente para apoyar la argumentación de los estudiantes y en relación con la estructura de la actividad argumentativa.
En relación con la gestión docente para apoyar la argumentación, en estudios previos (Solar y Deulofeu, 2016; Goizueta y Solar, 2019) hemos identificando tres estrategias comunicativas (Lee, 2006) que promueven la argumentación colectiva en el aula de matemáticas. Hemos mostrado que el fomento de la participación con acciones docentes tales como gestionar con flexibilidad la participación de los estudiantes durante la clase, o favorecer la descripción y explicación de procedimientos e ideas promueve la argumentación. Una segunda estrategia es la gestión del error por medio de acciones docentes tales como evitar sancionar las respuestas erróneas, procurando que los estudiantes las señalen y discutan. Una tercera estrategia son las preguntas deliberadas que favorecen la explicación de respuestas y procedimientos propios y de otros, o preguntas que procuren mantener el foco en la discusión, de modo que las ideas no se disipen en varios temas. En este artículo damos cuenta del apoyo docente a la argumentación de los estudiantes en términos de estas estrategias comunicativas.
Para dar cuenta de la actividad argumentativa en el aula, en línea con estudios previos (Goizueta y Solar, 2019) y con los planteamientos de otros autores (Ayalon y Even, 2016; Krummheuer, 1995), entendemos esta como la actividad mediante la cual una persona hace disponibles, para otros o para si misma, razones con las que justificar, convencer o reflexionar sobre cierta posición. Un intercambio es argumentativo cuando las acciones de los participantes son interpretadas como una expresión de razones para establecer o discutir la validez de una cierta posición, ya sea de manera explícita o implícita. Así, ser argumentativo no es una propiedad de los textos -orales o escritos- o de las acciones, sino que emerge de la interpretación contextual que de estos realizan quienes interactúan u observan una interacción (Mariotti y Goizueta, 2018). Llamamos argumentos a los textos o a las acciones mediante los cuales quienes interactúan expresan tales razones. Un argumento puede ser producido por una persona o por varias, en cuyo caso hablamos de argumentación colectiva (Conner et al., 2014; Krummheuer, 1995).
Para dar cuenta de la estructura de la actividad argumentativa adoptamos el modelo de Toulmin (2003), quien propone seis elementos estructurantes de un argumento: la «conclusión» (C) es la posición que quien argumenta pretende justificar y de la que quiere convencer a sus interlocutores o a sí mismo; los «datos» (D) son la evidencia que presenta para fundar su argumento; la «garantía» (G) permite la inferencia de la conclusión a partir de los datos; mientras que el «respaldo» (R) aporta legitimidad a la garantía. El «calificador modal» (CM) califica la conclusión en términos de la certeza que el argumento le otorga, y el «refutador» (Ref) establece las condiciones en las que la garantía no consiente la inferencia de la conclusión a partir de los datos aportados.
En este estudio adaptamos la estructura propuesta por Toulmin, en que el refutador (Ref) actúa sobre el calificador modal (CM), para destacar la relación que existe entre la garantía (G), el refutador (Ref) y el respaldo (R) (figura 1). Durante una discusión en el aula, tanto la garantía (G) como el refutador (Ref) pueden tener el mismo grado de certeza para los interlocutores, por lo que el respaldo (R) es necesario para apoyar -o discutir- tanto la garantía como el refutador. Por otro lado, entendemos que el dato (D) no es solo una afirmación o hecho, puede ser también una pregunta que realiza el docente (Solar y Deulofeu, 2016).
PREGUNTA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN
Coincidimos con Ayalon y Even (2016) en que aún se requiere más investigación acerca del papel del profesor en el desarrollo de la argumentación del estudiantado. Por otro lado, coincidimos con Rees y Roth (2017) en la necesidad de estudiar y comprender los patrones de interacción emergentes a partir de características específicas que estructuran la actividad del aula. Con la intención de contribuir en ambos sentidos, en este estudio ponemos el foco en la relación entre la argumentación del aula y los patrones de interacción emergentes. Desde esta doble perspectiva, planteamos la pregunta de investigación que orienta nuestro estudio: ¿Qué patrones de interacción emergen cuando el profesor promueve la argumentación en el aula de matemáticas? En estudios previos hemos abordado la gestión del profesor para el apoyo de la argumentación de los estudiantes (Solar y Deulofeu, 2016; Solar et al., 2020; Goizueta y Solar, 2019). Sin embargo, en aquellos estudios la interacción no fue considerada de manera analítica, ni estudiamos su estructuración como consecuencia de la situación creada por la gestión del profesor. Es en este sentido que este artículo aporta a la literatura sobre el tema.
ENFOQUE METODOLÓGICO
Realizamos un estudio de casos exploratorio (Yin, 2014) para entender la relación entre los procesos argumentativos promovidos y mediados por un par de profesoras en aulas de matemáticas y los patrones de interacción emergentes. Los datos que presentamos fueron recogidos en el marco de una investigación más amplia, relacionada con el desarrollo de la argumentación en el aula de matemáticas. Las docentes que fueron parte de esta investigación participaron en un programa de desarrollo profesional con el propósito de promover la argumentación en el aula de matemáticas (Solar et al., 2016). Este programa se implementó en la ciudad de Concepción, Chile, contó con la participaron de 10 profesoras de distintos niveles de educación primaria (grados 1-8), y tuvo una duración de 8 meses. Se realizo una observación no participante de ocho clases de seis profesoras (se observaron dos clases para dos profesoras y una clase en los otros cuatro casos). Las clases fueron grabadas (90 minutos) para su análisis retrospectivo. Todos los participantes firmaron un consentimiento informado autorizando este registro.
Para realizar el análisis de los patrones de interacción emergentes, se seleccionaron dos clases, una de la profesora Matilde y otra de la profesora Carmen, en las que se observaron momentos específicos y acotados de argumentación promovidos por acciones docentes. En este artículo presentamos un episodio de cada una de estas clases. Un análisis en profundidad sobre el desarrollo de la argumentación en la clase de Matilde es presentado por Solar y Deulofeu (2016).
Se realizaron dos análisis complementarios de estos datos, i) en relación con la estructura de la argumentación y su gestión por la profesora, y ii) en relación con la interacción entre los participantes. Reportamos la relación entre estos aspectos del aula. Es decir, caracterizamos la situación de aula en relación con la actividad argumentativa y analizamos la interacción que emerge en estas circunstancias. El análisis conjunto de estos dos aspectos se realizó mediante el software de análisis cualitativo de datos ATLAS.ti.
Tabla 1 Códigos sobre argumentación colectiva (adaptado de Solar y Deulofeu, 2016)
| Código | Descriptor | Código | Descriptor |
|---|---|---|---|
| Dato | Un estudiante o el profesor aporta un dato en el marco de la interacción. Este puede ser un hecho, información, teorema o procedimiento que se considera compartido. | Promover Dato | El profesor promueve que los estudiantes aporten datos como parte de una interacción. Puede hacerlo de manera directa, por ejemplo solicitando información o haciendo una pregunta, o de manera indirecta, estimulando la participación. |
| Conclusión | Un estudiante o el profesor se posiciona en relación con aquello que se discute, un problema o a una pregunta. | Promover Conclusión | El profesor promueve que los estudiantes se posicionen en relación con aquello que se discute, un problema o a una pregunta. |
| Garantía | Un estudiante o el profesor aporta razones para justificar una posición. | Promover Garantía | El profesor promueve que los estudiantes justifiquen lo que dice o lo que hace. Por ejemplo, mediante preguntas del tipo ¿por qué? o ¿cómo llegaste a esa solución? |
| Refutación | Un estudiante o el profesor discute una posición aportando razones. Es posible que exprese otra posición o que solamente problematice aquella que discute. | Promover Refutación | El profesor promueve que aparezcan distintas respuestas y posiciones entre los estudiantes y que estas sean discutidas. por ejemplo, preguntando ¿alguien obtuvo un resultado distinto?, ¿alguien resolvió la tarea de otro modo?, ¿por qué no estás de acuerdo con la respuesta de tu compañera?, ¿por qué crees que tu respuesta es más adecuada? |
| Respaldo | Un estudiante o el profesor provee conocimiento básico (definiciones, propiedades, teoremas) que respalda la validez de la garantía o de la refutación, según sea el caso. | Promover Respaldo | El profesor promueve que los estudiantes respalden sus justificaciones o sus refutaciones recurriendo a conocimiento básico (definiciones, propiedades, teoremas). |
| Calificador Modal | Un estudiante o el profesor califica una posición para expresar cierto nivel de certeza. | Promover Calificador Modal | El profesor promueve que los estudiantes expresen de manera explícita el nivel de certeza que sus justificaciones proveen a las posiciones que sostienen. |
En la tabla 2 mostramos los códigos de estrategias comunicativas del profesor para apoyar la argumentación, mediante los que analizamos su gestión de la argumentación en el aula.
Tabla 2 Códigos estrategias comunicativas para apoyar la argumentación (adaptado de Solar y Deulofeu, 2016)
| Código | Descriptor |
|---|---|
| Fomento de la participación | El profesor realiza acciones para fomentar la participación de los estudiantes. Ejemplos de estas acciones son gestionar con flexibilidad la participación de los estudiantes durante la clase, o favorecer la descripción y explicación de procedimientos e ideas de los estudiantes |
| Gestión del error | El profesor realiza acciones para gestionar los errores de los estudiantes. Ejemplos de estas acciones son evitar sancionar las respuestas erróneas, procurando que los estudiantes las señalen, o abstenerse de validar las respuestas antes de su socialización y discusión. |
| Preguntas deliberadas | El profesor realiza preguntas deliberadas para favorecer la explicación de respuestas y procedimientos propios y de otros estudiantes, o para mantener abierta la discusión, o para mantener el foco de la discusión para que las ideas de los estudiantes no se disipen en varios temas de discusión. |
Estrategia de análisis de la interacción
Para el análisis de la interacción, se codificaron una a una las intervenciones de los participantes según su función en la interacción (tabla 3). Las retroalimentaciones del docente se codificaron para diferenciar la intención comunicativa: Inicio, respuesta, retroalimentación de reinicio, retroalimentación de cierre, y retroalimentación de evaluación. A partir de las estructuras de las interacciones y de la intención comunicativa, este análisis permite acceder a los significados matemáticos que se ponen en juego en la interacción (Howard, 2002).
Tabla 3 Códigos sobre interacción
| Código | Descriptor |
|---|---|
| Inicio | El profesor realiza acciones que permiten iniciar un intercambio. Ejemplo de ello es dar inicio a que los estudiantes socialicen las respuestas a las tareas matemática, o preguntas que profundicen en respuesta de los estudiantes que genera un nuevo patrón de interacción. |
| Respuesta | El estudiante responde a una pregunta, solicitud o acción anterior del profesor. |
| Retroalimentación de Reinicio | El profesor realiza acciones con el propósito de retroalimentar al estudiante para reiniciar un intercambio. Ejemplo de ello son preguntas de profundización ante respuestas de los estudiantes. |
| Retroalimentación de Cierre | El profesor realiza acciones con el propósito de cerrar la interacción, indicando conformidad con los intercambios sin evaluar las intervenciones de los estudiantes. |
| Retroalimentación de Evaluación | El profesor realiza acciones con el propósito de cerrar la interacción evaluando las intervenciones de los estudiantes. |
En las transcripciones de los episodios puede verse la codificación realizada en relación con la actividad argumentativa y la función en la interacción. Para facilitar la comprensión del análisis, evitamos el uso de los códigos sobre estrategias comunicativas del profesor en las transcripciones. Realizamos este análisis en los párrafos que siguen a cada transcripción, dando cuenta, a la vez, de la relación entre la gestión de la argumentación y la interacción emergente en el aula, relación que caracterizamos en términos de los patrones de interacción de embudo y enfoque.
ANÁLISIS Y RESULTADOS
El caso del aula de Matilde
La clase comienza con Matilde presentando la siguiente pregunta: “Un número entero y su inverso distan en la recta 12 unidades. ¿Qué números son?” Según su planificación, con esta tarea pretendía activar conocimientos previos sobre el valor absoluto, los que pretendía utilizar en otras tareas durante la clase. La profesora esperaba que los estudiantes respondieran correctamente con la solución -6 y 6. Sin embargo, la mayoría responde que los números son -12 y 12. En vez de evidenciar el error, la profesora sugiere leer nuevamente el problema y pregunta por el significado del término distar, centrando la discusión en la distancia entre -12 y 12. Varios estudiantes señalan que es 12, sugiriendo que la distancia a considerar es del 0 hasta el 12, sin considerar la distancia entre -12 y 0. Matilde, por medio de preguntas, promueve que varios estudiantes comiencen a darse cuenta de que la distancia debe considerarse desde el -12, generando una interacción centrada en la discusión de las ideas puestas en juego por los estudiantes.
En la tabla 4 se muestra la transcripción de este diálogo. En dos columnas se muestra la asignación a cada intervención de códigos sobre argumentación e interacción. En la codificación de la argumentación hay intervenciones no codificadas, pues son intervenciones que no forman parte de la discusión acerca de la noción de distancia (e.g., [6] y [19]).
Tabla 4: Argumentación y función interaccional en discusión sobre distancia entre -12 y 12
| Participante | Intervenciones | Argumentación | Interacción | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Matilde: | Ya, ¿y qué distancia habría del -12, Daniel, al +12? | Dato | Inicio |
| 2 | Pablo: | 12 unidades. | Conclusión 1 | Respuesta |
| 3 | Estudiantes: | 24. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 4 | Rafael: | No, 12 señorita. | Conclusión 1 | Respuesta |
| 5 | Roberto: | O sea no, sería 12. | Conclusión 1 | Respuesta |
| 6 | Matilde: | Tenemos… | ||
| 7 | Roberto: | Porque del 0 se empieza a contar de nuevo. | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 8 | Constanza: | Sí. | Respuesta | |
| 9 | Claudio: | No. | Respuesta | |
| 10 | Matilde: | Si de aquí hasta aquí tenemos una distancia de 12, ¿he llegado al inverso de -12? [Señala en la pizarra la distancia que hay de -12 hasta 0] | Promueve refutación conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 11 | Estudiantes: | No. | Respuesta | |
| 12 | Matilde: | Miren, voy de -12 a su inverso. Avanzo. ¿Cuánto llevo hasta aquí? [señala el 0 en la recta numérica] | Promueve refutación | Retroalimentación de reinicio |
| 13 | Estudiantes: | 12. | Conclusión 1 | Respuesta |
| 14 | Javier: | Es como multiplicarlo por 2 y sería 24. | Refutación conclusión 1 Conclusión 2 | Respuesta |
| 15 | Arturo: | 24. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 16 | Matilde: | ¿Cuánto avancé para llegar al inverso? | Promueve Refutación conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 17 | Estudiantes: | 24. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 18 | Matilde: | ¿Cuál es la distancia de -12 hasta 12? | Promueve Refutación conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 19 | Juan: | Sería del -6 al 6 entonces [respuesta al problema y no a la pregunta, que no es considerada por la profesora] | Respuesta | |
| 20 | Estudiantes: | 24. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 21 | Matilde: | Distan 24 unidades entre estos dos valores. | Conclusión 2 | Evaluación |
| 22 | Estudiantes: | Sería del -6 al 6 entonces [Matilde no parece tomar en cuenta esta respuesta] | Respuesta | |
| 23 | Estudiantes: | No. | Respuesta | |
| 24 | Estudiantes: | Así. | Respuesta | |
| 25 | Matilde: | ¿Son estos? | Promueve refutación | Retroalimentación de reinicio |
| 26 | Rodrigo: | No. | Respuesta | |
| 27 | Marcelo: | Es que nosotros nos dejamos llevar porque decía 12 unidades, por eso estamos con el 12 ahora. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 28 | Matilde: | Ya, entonces, ¿los encontramos? | Promueve conclusión | Retroalimentación de reinicio |
| 29 | A: | No. | Respuesta | |
| 30 | A: | Sí. | Respuesta | |
| 31 | Matilde: | Ya, ¿qué opinas Marcelo? | Promueve refutación | Retroalimentación de reinicio |
| 32 | Marcelo: | Nosotros nos dejamos llevar por… porque dice 12 unidades, por eso estamos haciendo todo con el 12. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 33 | Estudiantes: | Sí | Respuesta | |
| 34 | Marcelo: | Y se supone que tiene que…, el resultado tiene que dar 12 unidades y ese no es un número. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 35 | Matilde: | ¿A ver, Ignacio? | Promueve refutación | Retroalimentación de reinicio |
| 36 | Ignacio: | Porque ahí dice un número, no da el número y por abajo dice 12 unidades y nosotros dijimos que era 12, pero no está hablando de esos números la distancia. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 37 | Estudiantes: | Esa es la distancia [refiriéndose a las 12 unidades a las que se refiere Iván] | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 38 | Matilde: | Y hasta dibujamos.. ¿Sería cuánta distancia…? | Promueve conclusión 2 | Retroalimentación de reinicio |
| 39 | Estudiantes: | 24. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 40 | Matilde: | Nos daría 24 de distancia. | Conclusión 2 | Cierre retroalimentación |
Argumentación e interacción
Al inicio del episodio, el proceso argumentativo se desencadena por la pregunta de Matilde “¿qué distancia habría del -12 y 12?” [1]. Aparecen dos conclusiones diferentes, la respuesta de Pablo y Rafael: “12 unidades” (conclusión 1) [2 y 4], y la respuesta de varios estudiantes: “24” (conclusión 2) [3]. Roberto apoya la conclusión 1 con la garantía que “del 0 se empieza a contar de nuevo” [7]. Matilde no evalúa estas respuestas y realiza preguntas de retroalimentación para suscitar el razonamiento de Roberto, utilizando como apoyo la recta numérica [10-12]. Con ello propicia que emerja una refutación de la conclusión 1 en la intervención de Javier: “es como multiplicarlo por 2 y sería 24” [14], la que sostiene la conclusión 2, compartida por Arturo [15]. Esta refutación sugiere que hay distancia en los números negativos, lo que provoca que algunos estudiantes comiencen a cambiar su respuesta [20]. Otros, como Juan [19], comienzan a reconocen que los números buscados son -6 y 6. En vez de retroalimentar esa respuesta, Matilde sigue focalizada en la distancia entre los números, ya que aún hay estudiantes, como Marcelo e Ignacio, que siguen discutiendo sobre la distancia entre -12 y 12 [27-35].
Desde el punto de vista de la interacción, esta se organiza mediante cadenas de Respuestas de estudiantes y Retroalimentaciones de reinicio de la profesora, mediante las cuales Matilde posibilita que los estudiantes refuten sus ideas y se aclare la noción de distancia, la cual está en el centro de la discusión. Ejemplos de estas intervenciones son “si de aquí hasta aquí tenemos una distancia de 12, ¿he llegado al inverso de -12?” [10], “Miren, voy de -12 a su inverso. Avanzo. ¿Cuánto llevo hasta aquí?” [ 12], “¿Cuál es la distancia de -12 hasta 12?” [18], “Ya, ¿qué opinas Marcelo?” [31]. En estas intervenciones resulta crucial que la profesora evite evaluar las posiciones de los estudiantes, relanzando la discusión continuamente mediante Retroalimentaciones de reinicio, centrando la discusión en las ideas acerca de la distancia entre -12 y 12. De esta manera se conforma un patrón de enfoque en el que emergen conexiones matemáticas importantes, como la distancia en los números negativos. Es solo al final del diálogo que Matilde realiza una Retroalimentación de cierre, con la que recoge las ideas de los estudiantes y llega a un acuerdo con el grupo clase “Nos daría 24 de distancia” [40].
En el episodio se observan las tres estrategias comunicativas para apoyar la argumentación. Matilde fomenta la participación de los estudiantes propiciando y gestionando sus intervenciones de manera que emergen distintas posiciones sobre la distancia entre -12 y 12. Observamos también la gestión del error que realiza la profesora, quien evita sancionar las respuestas incorrectas iniciales, permitiendo a los estudiantes señalarlas y discutirlas. Esto se puede apreciar, por ejemplo, en las preguntas de Matilde para suscitar en las intervenciones de Marcelo e Ignacio [27 y 36], en las que refutan la conclusión 1. Finalmente, las preguntas deliberadas de Matilde mantienen el foco en las ideas que han expresado los estudiantes. Por ejemplo, la profesora realiza preguntas para que los estudiantes elaboren sus ideas sobre la distancia en la recta numérica [10, 12 y 16], permitiendo que las discutan para dotar de significado la respuesta -12 y 12 y así transitar hacia la respuesta correcta.
De este modo, nuestro análisis sugiere que la promoción de la argumentación mediante el fomento de la participación, la gestión del error y la realización de preguntas deliberadas, propicia la emergencia de un patrón de enfoque.
EL CASO DEL AULA DE CARMEN
En el curso de 7º grado, con el objetivo de analizar traslaciones de figuras geométricas planas, la profesora Carmen plantea una tarea matemática para ser desarrollada en parejas, consistente en trasladar distintas figuras geométricas (triángulo, trapecio, cuadrado) realizando tres movimientos verticales y horizontales indicados en las instrucciones. Una vez que los estudiantes han realizado la tarea en parejas, pregunta si podrían haber trasladado las figuras a la misma ubicación con menos movimientos del mismo tipo. Carmen tenía como propósito que los estudiantes observaran que se requieren al menos dos movimientos, uno vertical y otro horizontal, para trasladar cualquier figura de un lugar a otro. Carmen solicita a Bernardo y Carlos que pasen a la pizarra electrónica cuadriculada a trasladar un cuadrado A según las instrucciones iniciales. En este caso, para obtener el cuadrado A’ las instrucciones son: tres cuadros hacia abajo, siete cuadros hacia la derecha, dos cuadros hacia arriba. Después de que los estudiantes muestran esta traslación, Carmen pregunta si hay otros movimientos que permitan obtener el mismo resultado [1]. En la tabla 5 se muestra la transcripción del diálogo que sigue a esta pregunta y la asignación de códigos sobre argumentación e interacción a cada intervención.
Tabla 5: Actividad argumentativa e interacción en traslación del cuadrado
| Participante | Intervenciones | Argumentación | Interacción | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Carmen | ¿De qué otra forma podríamos escribir estas instrucciones con esa traslación que tenemos ahí? ¿Pudiesen haber cambiado las instrucciones? | Dato | Inicio |
| 2 | Estudiantes | Sí. (varios estudiantes responden) | Respuesta | |
| 3 | Carmen | ¿Cómo? | Promueve conclusión | Retroalimentación de reinicio |
| 4 | Bernardo | Yo. | Respuesta | |
| 5 | Carmen | Demuestre, a ver. | Promueve garantía | Respuesta |
| 6 | Bernardo | Podría ser cuatro hacia abajo. (indica el cuadrado original) | garantía | Respuesta |
| 7 | Carmen | ¿Ya? | Promueve garantía | Retroalimentación de reinicio |
| 8 | Bernardo | Y los mismos siete hacia la derecha, y 3 hacia arriba, llego a la misma altura. (3 movimientos) | Garantía (Conclusión 1, implicita) | Respuesta |
| 9 | Carmen | ¿Cuántos hacia abajo? | Promueve garantía conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 10 | Estudiante | Cuatro. | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 11 | Estudiantes | De A a B hacia abajo es lo mismo… | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 12 | Carlos | Aunque también se podría hacer de… | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 13 | Carmen | (profesora interrumpe a Carlos) Ehh… a ver Bernardo, me dijiste cuatro puntos hacia abajo. A ver, demuéstreme los cuatro, cuente los cuatro hacia abajo. | Promueve garantía conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 14 | Bernardo | Yo decía hacer la figura de… | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 15 | Carmen | Ya, dímelo, a ver. Uno… | Promueve garantía conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 16 | Bernardo | Uno, dos, tres… uno, dos, tres, cuatro. (indica cuadrado original) | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 17 | Carmen | Cuatro. (se dirige a una estudiante) ¡Catalina! ¿O quién de ustedes acaba de hacer un comentario de esos cuatro puntos que había que bajar hacia abajo? Alguien lo comentó. ¿Fuiste tú Catalina? | Promueve refutación conclusión 1 | Retroalimentación de Cierre/ Inicio |
| 18 | Catalina | Ajá. | Respuesta | |
| 19 | Carmen | Cuéntame. | Promueve refutación conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 20 | Catalina | Que es un cuadrado hacia abajo, nada más. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 21 | Carmen | ¿Por qué? Si él dice cuatro. | Promueve refutación conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 22 | Catalina | Porque de A a A’ hay un cuadrado de diferencia. (2 movimientos) | Refutación conclusión1 (conclusión 2 implícita) | Respuesta |
| 23 | Carmen | La clase es de ustedes. | Promueve refutación | Retroalimentación de reinicio |
| 24 | Catalina | (Catalina se dirige a la pizarra e indica el cuadrado trasladado) De A a A’ hay sólo un cuadrado porque si A estuviera aquí, A’ está aquí y hay un cuadrado entre medio de las dos no más. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 25 | Gonzalo | Profesora, además está… está… No, es que no quiero pasar. | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 26 | Carmen | Ehh… la clase es de ustedes, yo solo estoy acá observando. | Promueve refutación | Retroalimentación de reinicio |
| 27 | Gonzalo | (Gonzalo se dirige a la pizarra) Que lo que había ehh… es lo mismo, porque dijo que aquí estaba cuatro y después se… ¿Cuántos de lado dijiste? | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 28 | Bernardo | Siete. | Respuesta | |
| 29 | Gonzalo | Siete. Que sería aquí el… aquí el… sería aquí, después empezaría aquí y no quedaría de la misma forma que quedó arriba (dibuja un nuevo cuadrado trasladado) | Refutación conclusión 1 | Respuesta |
| 30 | Bernardo | Sí, pero yo dije después tres hacia arriba. | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 31 | Carmen | ¡Bernardo! Pero hay algo que está correcto. | Promueve garantía conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 32 | Bernardo | Sí. | Respuesta | |
| 33 | Carmen | ¿Cuántos espacios dijiste hacia la derecha? | Promueve garantía conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 34 | Bernardo | Siete. | Garantía conclusión 1 | Respuesta |
| 35 | Carmen | Ya, ¿eso estaba correcto o no? | Promueve garantía conclusión 1 | Retroalimentación de reinicio |
| 36 | Estudiantes | Sí. | Respuesta | |
| 37 | Carmen | Ya. ¿Qué habría que modificar entonces Bernardo de lo que...? | Promueve garantía conclusión 2 | Retroalimentación de reinicio |
| 38 | Gonzalo | Los cuadraditos hacia abajo. | Garantía 2 | Respuesta |
| 39 | Carmen | ¿Estás de acuerdo con lo que te comentaron tus compañeros? | Promueve garantía conclusión 2 | Retroalimentación de cierre |
| 40 | Bernardo | Sí. | Respuesta | |
| 41 | Carmen | Entonces, ¿qué habría que modificar? | Promueve garantía conclusión 2 | Retroalimentación de reinicio |
| 42 | Bernardo | Los cuadraditos hacia abajo no más. | Garantía 2 | Respuesta |
| 43 | Carmen | Ya. ¿Cuántos tendrían que ser efectivamente? | Promueve conclusión 2 | Retroalimentación de reinicio |
| 44 | Bernardo | Uno. (2 movimientos) | Conclusión 2 | Respuesta |
| 45 | Carmen | Uno solo. ¿Está de acuerdo el resto? | Promueve conclusión 2 | Retroalimentación de cierre |
| 46 | Alejandro | Profesora. | Respuesta | |
| 47 | Carmen | Coméntelo hacia allá. Vamos, vamos. | Promueve garantía conclusión 2 | Retroalimentación de reinicio |
| 48 | Alejandro | (Alejandro se dirige a la pizarra e indica el cuadrado original) Para hacerla más fácil, podría contar aquí así un, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, y uno hacia abajo. Y le daría así mismo. (indica desde el cuadrado original hasta el cuadrado trasladado) | Garantía conclusión 2 | Respuesta |
| 49 | Carmen | Sí. ¿Están de acuerdo o no? | Promueve conclusión 2 | Retroalimentación de cierre |
| 50 | Estudiantes | Sí. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 51 | Carmen | Es más simple lo que dijo Alejandro. | Promueve garantía conclusión 2 | Retroalimentación de evaluación |
| 52 | Estudiantes | Sí. | Conclusión 2 | Respuesta |
| 53 | Carmen | Muchisísimo más simple. La idea es que esto, que puede ser muy complejo, ustedes traten de hacerlo... traten de hacerlo mucho más simple. Eso va a depender de la capacidad que tengamos nosotros de identificar las posiciones, el sentido, la dirección, la magnitud. Recuerden que estamos trabajando esos tres conceptos. ¿Ya? ¿Estamos de acuerdo con esto? | Conclusión 2 | Retroalimentación de evaluación |
| 54 | Estudiantes | Sí. | Respuesta | |
| 55 | Carmen | Ya, fantástico. | Retroalimentación de evaluación |
Argumentación e interacción
Al inicio del episodio, la pregunta de Carmen desencadena la argumentación. Bernardo concluye que es posible trasladar el cuadrado A hasta A’ con tres movimientos distintos a los instruidos inicialmente (conclusión 1 implícita) [8], y declara la garantía de dicha conclusión [6-8] (figura 1). Carmen promueve la
refutación de la conclusión 1 solicitando a Catalina que intervenga, quien afirma que basta un movimiento hacia abajo [20] (figura 2), lo cual es equivalente a la composición de los movimientos verticales realizados por Bernardo. Esto genera una nueva conclusión: bastan 2 movimientos (conclusión 2 implícita) [22]. Carmen incita a los estudiantes a continuar de manera autónoma, insistiendo en que “la clase es de uds” [22 y 25], lo que provoca que Catalina continúe refutando [24] y que se incorpore Gonzalo a la discusión [27] para cuestionar la respuesta de Bernardo (figura 3). Bernardo defiende su postura señalando que había mencionado un tercer movimiento [30] para trasladar el cuadrado A hasta A’. Carmen en vez de seguir discutiendo la conclusión 1 de Bernardo, reconduce la interacción promoviendo la discusión de la conclusión 2 [39-53]. Finalmente, Alejandro pasa a la pizarra a demostrar la traslación sugerida por Catalina [48], garantizando así la conclusión 2 (figura 4).
Desde el punto de vista de la interacción, la mayoría de las intervenciones de Carmen corresponden a Retroalimentaciones de reinicio, como respuesta a las intervenciones de los estudiantes. A través de ellas, Carmen suscita la elaboración de los razonamientos de los estudiantes [3-19 y 33], manteniendo el foco sobre ellos y posibilitando que sean discutidos y refutados [17 y 21]. Sugiere, incluso, la responsabilidad de los estudiantes por la conducción del diálogo cuando señala “la clase es de uds, yo solo estoy acá observando” [23 y 26]. Carmen evita evaluar las posiciones de los estudiantes, relanzando la discusión continuamente alrededor de sus ideas. Ello se puede apreciar luego de la intervención de Gonzalo, quien intenta refutar los tres movimientos señalados por Bernardo [29]. Por medio de una secuencia de retroalimentaciones de reinicio [31, 33, 35 y 37], Carmen suscita el razonamiento de Bernardo para que analice su respuesta, pues, si bien es correcta, tres no es el número mínimo de movimientos para trasladar la figura. Solo hacia el final del episodio las intervenciones de Carmen corresponden a Retroalimentaciones de cierre [39, 45 y 49] y a Retroalimentaciones de evaluación [51], con las que recoge las ideas de los estudiantes para llegar a un acuerdo y concluir que se requieren dos movimientos para la traslación [53 y 55]. Si bien en las acciones de Carmen se observan rasgos de un patrón de embudo, como el hecho de no seguir profundizando en la conclusión 1 de Bernardo para dar paso a la conclusión 2, también se observa que suscitan el razonamiento de Bernardo y propician que los estudiantes analicen el número de movimientos para trasladar la figura, rasgos propios de un patrón de enfoque.
Respecto a las estrategias comunicativas para apoyar la argumentación, en el episodio se destaca el fomento de la participación por medio de acciones que favorecen la descripción y explicación de procedimientos e ideas de Bernardo, Catalina, Gonzalo y Alejandro. También se destacan las preguntas deliberadas; Carmen en vez de hacer preguntas retóricas para guiar la discusión de los procedimientos descritos según sus propias ideas, realiza preguntas para suscitar el pensamiento de los estudiantes, delegando en ellos, hasta cierto punto, la responsabilidad de la conducción de la discusión, rasgos propios de un patrón de enfoque.
Observamos así que, si bien algunos rasgos de la interacción podrían indicar un patrón de embudo, la gestión de Carmen de las interacciones de los estudiantes da cuenta de manera preponderante de patrón de enfoque en el episodio analizado.
DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
En los casos de Matilde y Carmen, se observa que la promoción de la argumentación en la clase favorece la emergencia de patrones de interacción de tipo enfoque. Esta relación se ha analizado desde la actividad argumentativa de los estudiantes y de las acciones docentes para promover la argumentación. En lugar de dirigir la conversación hacia las respuestas esperadas, Matilde y Carmen organizan la actividad matemática de sus estudiantes alrededor de la expresión de sus ideas, brindando oportunidades para que sean aclaradas y discutidas, fomentando la participación. Crucialmente, ambas se abstienen de evaluar las posiciones de sus estudiantes y de posicionarse ellas mismas, realizando preguntas que permiten que el diálogo continúe para que emerjan las ideas de los estudiantes. El análisis de la actividad en estas aulas sugiere que aún falta un importante camino por recorrer para que los estudiantes protagonicen no solo el contenido de las conversaciones, sino también su gestión -aprender a argumentar no solo implica saber qué decir, sino también qué y cuándo preguntar. En las aulas de Matilde y Carmen siguen siendo ellas las que gestionan gran parte de la discusión, realizando las solicitudes y las preguntas clave.
En ambas aulas observamos que el trabajo matemático es gestionado deli-beradamente por la profesora alrededor de las posiciones y argumentos de los estudiantes, conformándose así las circunstancias en las que nos interesa dar cuenta de los patrones de interacción emergentes, objetivo de este estudio. Las interacciones en las aulas de Matilde y Carmen se caracterizan por diálogos triádicos en los que la profesora provee la retroalimentación, generalmente, para reiniciar la conversación. Estas interacciones conforman patrones de enfoque (Herbel-Eisenmann y Breyfogle, 2005), en los que dos o más estudiantes participan del diálogo para comprender y contrastar sus ideas con la intención de negociar significados y progresar hacia respuestas comunes.
Según Rees y Roth (2017), los patrones IRE y los patrones de embudo surgen en situaciones en las que alguien pregunta esperando una respuesta que conoce de antemano. En las aulas que observamos, aunque seguramente las profe-soras esperan cierta respuesta a la tarea matemática, lo que esperan escuchar -y por tanto el foco de sus acciones docentes- es el razonamiento del estudian-te, el cual no conocen -o quieren conocer en los términos del estudiante. En otras palabras, y aunque no es posible la generalización, nuestros resultados sugieren que las situaciones caracterizadas por la gestión docente orientada a la promoción de la actividad argumentativa de los estudiantes facilitan la
emergencia de patrones de enfoque; distintos a aquellos que caracterizan muchas aulas de matemáticas, donde los estudiantes se limitan a recitar, repetir y ejercitar, y el profesor a impartir y evaluar (Alexander, 2015; Martinic y Villalta, 2016; Radovic y Preiss, 2010; Wells y Mejía, 2005).
Esto tiene consecuencias educativas importantes en términos de las oportunidades de aprendizaje para los estudiantes. Por un lado, la promoción de la argumentación lleva al estudiante a hacer público su razonamiento, responsabilizándose de este ante el grupo (Krummheuer, 1995) y haciéndolo objeto -al menos potencialmente- de discusión y revisión; instancia que Bruner (1996) considera esencial para el aprendizaje. Esto brinda al grupo la oportunidad de compartir y negociar significados personales, permitiendo construir significados compartidos y promoviendo el diálogo como parte de la construcción de cono-cimientos en el aula. En las aulas que estudiamos, esto sucede de manera incipiente e implícita en la conversación. Posiblemente porque el mero hecho de generar oportunidades para comunicar ideas matemáticas no garantiza que esto efectivamente suceda, menos aún que lleguen a ser discutidas. Decidir qué es relevante comunicar como parte de la actividad matemática, hacerlo en términos apropiados y discutir sobre ello es algo que los estudiantes también deben aprender como parte de la conformación de una cultura indagatoria en el aula de matemáticas (Goizueta, 2019).
Lograr que la clase de matemáticas tenga como foco la argumentación requiere de cambios en la práctica docente y, por lo tanto, tiene implicaciones en la formación del profesorado. Aunque la investigación sobre el apoyo docente para la argumentación es aún escasa en comparación con la creciente investigación en argumentación (Ayalon y Even, 2016), diversos estudios destacan la importancia del trabajo docente para la gestión de la argumentación colectiva (Conner et al., 2014), para el establecimiento de normas y estándares para la argumentación matemática (Yackel, 2002; Yackel y Cobb, 1996), y para la mediación entre el conocimiento y las prácticas matemáticas que se pretenden enseñar y la cultura matemática conformada en el aula (Boero, Douek y Ferrari, 2008). En línea con estos autores, y con nuestros estudios previos (Solar y Deulofeu, 2016; Solar et al., 2020; Goizueta y Solar, 2019), nuestros resultados sugieren que es necesario el desarrollo de competencias que permitan al profesor gestionar la actividad matemática alrededor de la argumentación de sus estudiantes. En particular, resulta crucial el reconocimiento de patrones de pensamiento de los estudiantes y la gestión del diálogo y la contingencia (Solar et al., 2020), de manera que las ideas de los estudiantes puedan ser expresadas, aclaradas, justificadas y discutidas por ellos mismos. Futuras investigaciones deberán abordar cómo trasladar también este protagonismo a los estudiantes, como parte del desarrollo de su autonomía intelectual. En línea con el planteamiento de Rees y Roth (2017, 2019), nuestros resultados sugieren que para que tales cambios ocurran, no basta con cambiar las intenciones pedagógicas del profesor; es necesario diseñar situaciones de aula que permitan formas de interacción educativamente significativas.
