Sobre los métodos de optimización

Un problema de interés en muchas ciencias, tanto sociales como experimentales -economía, sociología, demografía, física, química o biología-, es el de encontrar el mejor resultado para una problemática determinada; en este sentido, se debe entender primero qué significa "el mejor resultado", una vez establecido el criterio para esto, es posible comparar soluciones y también establecer que pueden existir varias deseables para la satisfacción de nuestros objetivos; es importante también agregar que podría ser de interés hallar las peores soluciones. En matemáticas a los métodos de modelaje que tienen el fin de hallar las mejores o peores soluciones se les denomina métodos de optimización.

Las matemáticas disponen de un conjunto de métodos que pueden ser aplicados a problemáticas en ciencias, como las mencionadas anteriormente; con ellas se modela la situación problemática y se determinan, cuando es posible, soluciones que después son interpretadas a la luz de las teorías en particular de donde provenga el problema; de esta forma, en economía se modela la preferencia de un consumidor y se determina la mejor elección de una cesta de consumo sujeto a un presupuesto, o bien, para una propuesta de política pública se determina la mejor estrategia para invitar a la población a participar en ciertos programas dado un conjunto de incentivos.

Las problemáticas que hacen uso de las técnicas de optimización pueden necesitar hacer análisis en corte transversal o longitudinal, el primero tiene que ver con la observación en tiempo fijo, por ejemplo, estudiar las características de los hogares en relación con otras variables para finales de 2015, mientras que el segundo tiene que ver con el estudio de indicadores o variables a lo largo del tiempo, por ejemplo, el comportamiento de la tasa de mortalidad en los últimos 30 años; asimismo, la modelación y su estudio se pueden realizar en los supuestos de tiempo discreto o continuo.

En ciencias sociales, los métodos estadísticos son los más conocidos, por ejemplo los de estadística multivariada como el análisis de discriminante, de conglomerados, modelación logit o probit y, sin lugar a dudas, el método más conocido es el de regresión lineal y series de tiempo; después de éstos, los métodos de modelación como los de programación lineal y no lineal, o programación dinámica cada vez están más en uso. La modelación matemática que proviene directamente del cálculo y el análisis matemático representa una fuente importante de herramientas para aplicarse en diferentes ramas del conocimiento y sus aportaciones a los métodos de optimización han enriquecido al conjunto de ópticas para las ciencias sociales como la economía y la administración.

En economía, en los problemas de elección de cestas de consumo y planes de producción que maximicen la utilidad de la sociedad, se ha utilizado a la topología y a las propiedades de ciertas funciones continuas como la Cobb-Douglas, entre otros elementos del cálculo, para establecer resultados de interés; en teoría de la empresa, la necesidad de llegar a establecer costos mínimos y utilidad máxima, o la determinación de planes óptimos de producción, reducción o ampliación de la capacidad instalada de una empresa, en un determinado periodo, ha provocado su incursión en el manejo de herramienta como la programación lineal, la programación dinámica, las condiciones de Kunh Tucker, o el cálculo de variaciones y el control óptimo.

En un planteamiento general el problema de optimización radica en encontrar un vector de x* tal que f (x*) ≥ f (x) (o también puede ser f (x*) ≤ f (x) para cualquier otro vector x, sujeto a un cierto conjunto de restricciones, donde a f (x) se le conoce como la función objetivo.

Ejemplo: encontrar la cesta de un consumidor que compra los bienes x, y, cuyos precios son 5 y 4 pesos, que tiene preferencias modeladas por la función de utilidad f (x,y)=x²y, con un nivel de ingreso igual a 250 pesos. El problema queda planteado como

En un problema de programación lineal la función objetivo es lineal con restricciones lineales también; en un problema donde se utilicen las condiciones de Kunh-Tucker la función objetivo y las restricciones no son necesariamente lineales.

Una técnica de optimización interesante desarrollada desde el siglo XVIII es la que propone el cálculo de variaciones; un problema básico que se resuelve en este terreno es el de hallar una trayectoria y (t) que maximice a la función

desde un punto inicial y(0)=A hasta un punto final y(T)=Z; por ejemplo en física se está interesado en calcular la trayectoria de una partícula y(t), que se dirija desde A hasta Z que maximice la energía cinética de todo el recorrido, donde esta energía se representa por F [t,y(t),y'(t)], la cual depende del tiempo, la posición y la velocidad de la partícula; en economía si y(t) representa al consumo de una sociedad F [t,y(t),y'(t)] puede considerarse como la utilidad que se obtiene por ese consumo y se trata de maximizar la utilidad total en todo el recorrido desde A hasta Z.

El método de cálculo de variaciones en varias aplicaciones en ciencia social, se interesa por encontrar las trayectorias de consumo, inversión, gasto, costos, entre otras, en un periodo determinado que maximicen la utilidad, o la ganancia total en todo el recorrido de la trayectoria. La técnica del cálculo de variaciones aplicado en economía, la administración, o finanzas, está en la búsqueda de soluciones para la planeación; todas las técnicas de optimización para ciencias sociales son aplicadas para ayudar a la toma de decisiones.

Antecedentes históricos sobre el cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones, a partir de problemas propuestos, aparece alrededor del siglo XVIII; distintos personajes interesados en el problema de maximización o minimización de funciones abordaron problemas de los campos de la física o de la naciente matemática pura con esta nueva técnica. Entre los matemáticos y físico famosos de aquella época interesados en los problemas del cálculo de variaciones encontramos a Isaac Newton (1642-1727), Leonard Euler (1707-1783), Johann Bernoulli (1667-1748) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Euler publicó en 1744 el Método de búsqueda de líneas curvas con propiedades de máximo o mínimo, o la resolución del problema isoperimétrico tomado en su sentido más amplio, considerado el primer libro en la historia sobre cálculo de variaciones.

Por otro lado, con sólo 19 años, Lagrange se interesaba por los trabajos de Euler sobre los problemas de extremos, y en particular por los problemas isoperimétricos (entre todas las curvas cerradas en el plano de perímetro fijo, ¿qué curva, si la hay, maximiza el área de la región que encierra?). Dado que los métodos de Euler para el cálculo de variaciones eran excesivamente complicados, tratándose de un tema de análisis puro, Lagrange desplaza las consideraciones geométrico-analíticas de Euler para sustituirlas por un método puramente analítico y un simbolismo más apropiado. En 1755 describe, en una carta dirigida a Euler, su método, al que llama "método de variación", pero que Euler denominará "cálculo de variaciones". Su método puede ilustrarse a partir del problema fundamental de hacer máxima o mínima la integral de un funcional que depende a su vez de una función y su derivada. El método de variaciones se aplicó, tras su descubrimiento, sobre todo en física, especialmente en mecánica, y llegó a ser una disciplina matemática independiente.¹

En lo que respecta a las primeras aportaciones de Newton al cálculo de variaciones tenemos que, según M. Kline,² el primer problema importante del cálculo de variaciones fue propuesto y resuelto por Newton en el libro II de sus Principia, estudiando la forma que debería tener una superficie de revolución, moviéndose en el agua (o cualquier otro fluido) a velocidad constante a lo largo de su eje, para ofrecer una resistencia mínima al movimiento, se planteó el estudio de mínimos de funcionales de la forma³

El problema de la braquistócrona, o curva de descenso más rápido, es otro de los problemas más antiguos en la historia del cálculo de variaciones. La primera solución fue dada por Johann Bernoulli en 1696, aunque también otros matemáticos y físicos dieron soluciones, entre ellos, Jacob Bernoulli, Leibniz y Newton. En 1696, Johann Bernoulli publicó una carta dirigida a los matemáticos de la época, proponiendo un problema sobre las líneas de deslizamiento más rápidas, o braquistócronas. En este problema se pide determinar la curva que une dos puntos dados "a" y "b" de tal manera que al deslizar un cuerpo por esta curva, sin fricción, el tiempo de recorrido sea el mínimo (Figura 1).

Actualmente el cálculo de variaciones o cálculo variacional es un campo de estudio clásico y fundamental de las matemáticas. Su desarrollo ha sido paralelo a la evolución de los conceptos centrales del análisis matemático.⁴ En lo que respecta a las aplicaciones, muchos de los conceptos centrales de la física teórica, la ingeniería y actualmente también de las ciencias sociales, en particular la economía, están en estrecha relación con el cálculo variacional. Problemas como ¿cuál es la trayectoria de producción que maximiza la utilidad de un monopolista? o ¿cuál es la trayectoria que debe seguir el consumo de una sociedad para maximizar su utilidad en un periodo determinado? aparecen entre las aplicaciones más conocidas en el área económica.

La ecuación de EULER

El problema fundamental del cálculo de variaciones consiste en encontrar una función y ( t ) que maximice o minimice a la función

Sujeto a

y (0)=A

y (T)=Z

con A, T, Z datos

a la función y (t) que resuelve el problema se le llama función extrema y se le pide que sea continua con primera derivada continua. A la función F se le pide que tenga derivadas parciales hasta las segundas.

La ecuación de Euler es la condición básica de primer orden en el cálculo de variaciones. Supongamos una función p(t)>0 con t∈(0,T) tal que

si y ^* es la trayectoria o función extrema buscada, construyamos la función

la cual genera una familia de funciones entre las cuales está la función extrema que resulta de hacer ε = 0.⁵

Ahora bien, se puede considerar a V como una función que depende de ε, de esta forma es posible visualizar el problema de la búsqueda de la función extrema recurriendo al cálculo tradicional proponiendo

desarrollando esta expresión se tiene:

E integrando por partes la integral del segundo sumando de (1) se tiene

Sustituyendo esto en (1) se tiene

Esto nos dice que

De esta forma se tiene como condición necesaria que

a la cual se conoce como la ecuación de Euler

Como

La ecuación de Euler puede escribirse también como

Si se tiene una función y(t) que maximiza o minimiza el funcional V[y(t)] entonces se satisface la ecuación de Euler, es decir, la ecuación de Euler por sí sola no determina si se está maximizando o minimizando al funcional, en este sentido se tiene que si la función del integrando F[t, y(t), y'(t)] es cóncava (convexa) entonces la ecuación de Euler se convierte en una condición suficiente para que y ( t ) maximice (minimice) al funcional V [y ( t )].⁶

Aplicación a un problema de minimización de costos de producción

Para ejemplificar el uso de la ecuación de Euler en la solución de problemas de optimización en las áreas de economía y la administración, se presenta un caso ad hoc de minimización de los costos de producción.⁷ Se trata de una aplicación del cálculo de variaciones al problema de producción de un bien durante determinado periodo, donde se quiere minimizar el costo total, incluyendo tanto los costos de producción como los de inventario, ya que para ciertos bienes como alimentos o vacunas, los costos de almacenaje pueden ser importantes. Para esto se proponen funciones de costo y de inventario hipotéticas, que cumplan con las características generales de estas funciones: el costo de producción es una función creciente de la tasa de producción del bien, mientras que el costo de inventario depende de la cantidad ya producida y del periodo durante el que se tenga que almacenar.

Si se supone, por ejemplo, que una empresa debe entregar B unidades del bien en un periodo T, lo que se busca es encontrar el cronograma de producción en dicho periodo, para cumplir con el pedido al menor costo posible. En esta aplicación se trata de ejemplificar el procedimiento para determinar dicho cronograma utilizando el criterio que deriva de la aplicación de la ecuación de Euler.

Se asume que el costo de producir una unidad depende de la tasa de producción y es una función creciente, mientras que el costo unitario de mantener el inventario permanece constante durante el intervalo.

Se define a x(t) como el inventario acumulado en el tiempo t con x(0)=0 (no hay existencias en el inventario al inicio del periodo) y al final del periodo T, x (T) = B (aquí B representa el volumen de inventario al final del periodo).

Se establece que velocidad de cambio del inventario es igual a la tasa de producción tp (t) , entonces se tiene.

El costo unitario de producción es una función de la tasa se producción,

ya que producir los bienes a una mayor tasa (velocidad) saldrá más costoso que hacerlo a una tasa menor, por lo tanto se trata de una función creciente:

Entonces el costo total de producción en cualquier tiempo t es la suma del costo de producción, más el costo de inventario. El costo de producción está dado por el producto del costo de producción unitario multiplicado por la cantidad producida en el intervalo, mientras que el costo de inventario es el producto del costo unitario c2 por la cantidad producida hasta ese momento x(t).

El objetivo del problema es encontrar la trayectoria de la tasa de producción x' (t) y el inventario x (t) que minimice el costo total de producir las B unidades en un tiempo T. Para resolverlo es necesario conocer la función de costo unitario de producción f(tp(t)) ; a modo de ejemplo vamos a suponer que la función es creciente, o sea con primera derivada positiva pero decreciente, y proponemos que la función sea proporcional a la raíz cuadrada de la tasa de producción (Gráfica 1):

con c1 constante de proporcionalidad.

El costo total de producción en cualquier tiempo t es la suma del costo de producción, primer sumando de la siguiente expresión, más el costo de inventario, segundo sumando (véase 5), luego sustituyendo en ésta la expresión de la función de la tasa de producción descrita en (6) se tiene

El problema se reduce entonces a encontrar la tasa de producción x'(t) y el inventario x(t) que minimice el costo total, esto es

La forma más simple de producción es hacerlo a una tasa constante, la otra alternativa es utilizar el método del cálculo de variaciones. A continuación se presentan ambas alternativas y se compararán los resultados.

Situación 1. Un plan posible se encuentra suponiendo que la tasa de producción es constante x'(t)=B/T, entonces el inventario acumulado en un tiempo t queda como

y el costo total será

La siguiente alternativa es encontrar una función x'(t) por medio del método de cálculo de variaciones como se muestra a continuación, para luego comparar los costos que resultan con los calculados en la situación 1.

Situación 2. Para el funcional que aparece en la integral de la ecuación (8)

se aplica la condición de Euler de la cual emergerá la trayectoria que minimiza el costo; lo anterior se sustenta en el hecho de que la función de la integral es convexa (como ya se mencionó en este documento).⁸ De esta forma la trayectoria x(t) que minimiza el costo debe satisfacer la condición establecida en (2)

donde

sustituyendo estas dos últimas expresiones en la ecuación de Euler se llega a

de donde resulta una ecuación diferencial no lineal.

Para integrar 11), se hace el cambio de variable u=x' y du=x''dt; de esta forma, reordenando se tiene que

lo que se traduce

o sea

Sustituyendo u=x' se tiene

Integrando nuevamente

La solución contiene dos constantes de integración k₁ y k₂ las cuales se calcularan a partir de las condiciones iniciales. También aparece el parámetro α que tiene que ver con la relación entre las constantes c₂ /c₁.

Utilizando la condición x(0)=0

Así también, como x(T)=B

De la última igualdad se llega a una ecuación de segundo grado en k ₁ de donde se obtiene

La condición para que la solución sea un número real viene dada por

pero como se definió

en la expresión (12), esta última desigualdad dependerá del costo de almacenaje y del coeficiente del costo de producción

La relación anterior muestra que para que exista solución es importante que la relación entre el costo de almacenaje y el coeficiente del costo de producción no supere cierto valor cuyo máximo depende de la relación entre B y T, la cantidad de unidades a producir y el tiempo para realizarlo. También se puede ver que para una dada relación, la cantidad de bienes a producir debe estar por encima de cierto nivel

Sustituyendo x(t) y x'(t) en (7), en términos de k₁ y k₂ e integrando, el costo total será

Comparación entre costos

Para evaluar ambas situaciones y poder comparar los costos totales (ecuaciones 10 y 17), la primera con una tasa de producción constante dada por x'=B/T y la segunda con una tasa

encontrada optimizando según la condición de Euler, se calcula para varios conjuntos de valores que se presentan en el siguiente cuadro, donde se comparan los costos tanto de producción como de inventario. Como los costos dependen solamente de cuatro parámetros, B: cantidad a producir, T: periodo de tiempo para la producción, c₁ : coeficiente de proporcionalidad del costo de producción y c₂ : costo de almacenaje unitario, para poder comparar los costos, se le asigna el mismo valor a los tres primeros parámetros y se incrementa el valor del costo de almacenaje para observar cuál es el ahorro que se logra al producir a la tasa indicada por la trayectoria óptima de Euler, respecto al costo obtenido a tasa constante. En el Cuadro 1 se muestran los costos para los mismos valores con ambos criterios.

En todos los casos se mantiene la relación B/T=100 y c₁ =2 Los primeros seis casos son a tasa de producción constante B/T y se observa que sólo se incrementa el costo de almacenaje al aumentar el costo unitario c₂ . Los casos 7 a 12 repiten los mismos valores que los casos 1 a 6 pero la tasa de producción es variable y está dada por la solución encontrada por el método de Euler

En la Gráfica 3a se puede observar el valor de la tasa de producción durante el periodo (0, T) para algunos de estos casos, mientras que en la Grafica 3b se observa el nivel de inventario para los mismos casos. En todos los casos, el costo de almacenaje es menor que si se produce a tasa constante y en todos los casos resulta en una disminución del costo de producción que aumenta a medida que crece el costo unitario de inventario. En la última columna del cuadro se muestran los porcentajes de ahorro obtenidos en cada caso al compararlo con la situación equivalente a tasa constante. Los costos totales de producción mínimos obtenidos para los distintos valores de costo de almacenaje según Euler se muestran en la Grafica 4.

Para el caso 1, con tasa de producción constante, y con (c₁, c₂ ) = (2, 2), el costo total es de 4 400 que corresponden a 4 000 de costos de producción más 400 de costos de almacenaje. En el caso de producir con la tasa variable obtenida, para los mismos valores (c₁, c₂ ) = (2, 2) y

Caso 7, el costo total sería de 4 392, con un costo de producción de 4 009 y el costo de almacenaje se reduce a 383; se observa que aunque hay un incremento en el costo de producción, disminuye el costo de almacenaje, obteniéndose una reducción del 0.18%; pero si se incrementa el costo de almacenaje, los casos 3 y 9, en que c1 y c2 toman los valores 2 y 6 respectivamente, el costo total a tasa de producción constante es de 5 200 y disminuye a 5 120 utilizando la tasa calculada con la ecuación de Euler, con una disminución de 1.54%; para los casos 6 y 12 con (c₁, c₂ ) = (2, 12) el ahorro es de 4.94%. En todos los casos se obtiene una disminución significativa del costo de almacenaje (de hasta casi 30%) aunque también se observa un incremento en el costo de producción que no sobrepasa al 10%, obteniéndose en todos los caso reducciones en el costo total de producción.

Conclusiones